专题14 全等三角形（6类重点考向）（解析版）.docx

1、 专题14 全等三角形目录一览知识目标（新课程标准提炼）中考解密（分析考察方向，精准把握重难点）重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）考向一 三角形的面积考向二 三角形的内角和考向三 全等三角形的判定与性质考向四 全等三角形的应用考向五 角平分线的性质与判定考向六 线段的垂直平分线的性质最新真题荟萃（精选最新典型真题，强化知识运用，优化解题技巧）1. 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；2. 掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；3. 掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4. 掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；5. 证明定理：两角

2、分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；6. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分值为1015 分，预计2024年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查三角形中位线、内外角性质、三角形三边关系等知识点，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用。在解答题中会出现三角形全等的判定和性质,这部分知识主要考查基础。考向一 三角形的面积1（2022桂林）如图，在ABC中，B22.5，C45，若AC2，则ABC的面积是（）AB1+C2D2+【思路点拨】如图，过点A作ADAC于A，交BC于D，过点A

3、作AEBC于E，先证明ADC是等腰直角三角形，得ADAC2，ADC45，CDAC2，再证明ADBD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答【规范解答】解：如图，过点A作ADAC于A，交BC于D，过点A作AEBC于E，C45，ADC是等腰直角三角形，ADAC2，ADC45，CDAC2，ADCB+BAD，B22.5，DAB22.5，BDAB，ADBD2，ADAC，AECD，DECE，AECD，ABC的面积BCAE（2+2）2+故选：D【真题点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性质是解本题的关键2（2022遂宁）如图，D、E、F分别是ABC三边

4、上的点，其中BC8，BC边上的高为6，且DEBC，则DEF面积的最大值为（）A6B8C10D12【思路点拨】过点A作AMBC于M，交DE于点N，则ANDE，设ANa，根据DEBC，证出ADEABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到DEa，列出DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最值即可【规范解答】解：如图，过点A作AMBC于M，交DE于点N，则ANDE，设ANa，DEBC，ADEB，AEDC，ADEABC，DEa，DEF面积SDEMNa（6a）a2+4a（a3）2+6，当a3时，S有最大值，最大值为6故选：A【真题点拨】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出DEF面积S的函数表达式

5、，根据配方法求最值是解题的关键3（2023台州）如图，点C，D在线段AB上（点C在点A，D之间），分别以AD，BC为边向同侧作等边三角形ADE与等边三角形CBF，边长分别为a，b，CF与DE交于点H，延长AE，BF交于点G，AG长为c（1）若四边形EHFG的周长与CDH的周长相等，则a，b，c之间的等量关系为 5a+5b7c；（2）若四边形EHFG的面积与CDH的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 a2+b2c2【思路点拨】（1）由ADE和CBF是等边三角形，可得CDH和ABG是等边三角形，DEBG，CFAG，即知EGAGAEca，GFBGBFcb，根据四边形EHFG的周长与CDH的周长相

6、等，有2（ca）+（cb）3（a+bc），故5a+5b7c；（2）由S四边形EHFGSABGSBCFSADE+SCDH，四边形EHFG的面积与CDH的面积相等，可得SABGSBCF+SADE，即c2a2+b2，从而可得a2+b2c2【规范解答】解：（1）ADE和CBF是等边三角形，AADEBBCF60，CDH和ABG是等边三角形，DEBG，CFAG，四边形EHFG是平行四边形，ABAGBGc，CHDHCDAD+BCABa+bc，EGAGAEca，GFBGBFcb，四边形EHFG的周长与CDH的周长相等，2（ca）+（cb）3（a+bc），整理得：5a+5b7c，故答案为：5a+5b7c；（2）

7、S四边形EHFGSABGSBCFSADE+SCDH，四边形EHFG的面积与CDH的面积相等，SABGSBCFSADE+SCDHSCDH，SABGSBCF+SADE，ABG，ADE和CBF是等边三角形，c2a2+b2，c2a2+b2，故答案为：a2+b2c2【真题点拨】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是用含a，b，c的代数式表示相关线段的长度考向二 三角形的内角和4（2023聊城）如图，分别过ABC的顶点A，B作ADBE若CAD25，EBC80，则ACB的度数为（）A65B75C85D95【思路点拨】由平行线的性质可求ADC得度数，再利用三角形的内角和定理可求解【规范解答】解：ADBE

8、，ADCEBC80，CAD+ADC+ACB180，CAD25，ACB180258075，故选：B【真题点拨】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质及三角形内角和定理是解题的关键5（2023徐州）如图，在ABC中，若DEBC，FGAC，BDE120，DFG115，则C55【思路点拨】根据平行线的性质，三角形内角和定理进行计算即可【规范解答】解：DEBC，BDE120，B18012060，FGAC，DFG115，A18011565，C180BA55，故答案为：55【真题点拨】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是正确解答的前提考向三 全

9、等三角形的判定与性质解题技巧/易错易混1.从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路.2.若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目6（2023凉山州）如图，点E、点F在BC上，BECF，BC，添加一个条件，不能证明ABFDCE的是（）AADBAFBDECCABDCDAFDE【思路点拨】根据B

10、ECF求出BFCE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可【规范解答】解：BECF，BE+EFCF+EF，即BFCE，当AD时，利用AAS可得ABFDCE，故A不符合题意；当AFBDEC时，利用ASA可得ABFDCE，故B不符合题意；当ABDC时，利用SAS可得ABFDCE，故C不符合题意；当AFDE时，无法证明ABFDCE，故D符合题意；故选：D【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等7（2023呼和浩特）如图，在RtABC中，ABC90，ABBC，点P为AC边上的中

11、点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PMPN若BM1，则PMN的面积为（）A13BC8D【思路点拨】依据题意，连接BP，然后先证明BMPCNP，从而CNBP1，又由等腰RtABC可得BC4，从而在RtMBN中可以求得MN，又MPNP，从而可得MN的值，进而可以得解【规范解答】解：如图连接BP在RtABC中，ABC90，ABBC，点P为AC边上的中点，BPAC，CBPABPABC45，BCA45，BPCPAC2MBPNCP18045135BPAC，PMPN，BPM+MPC90，CPN+MPC90BPMCPN又BPCP，MBPNCP，BMPCNP（ASA）BMCN1，MPNP

12、在RtBPC中，BC4在RtMBN中，MN又在RtMPN中，MPNP，MP2+NP2MN2MPNPSPMNMPNP故选：D【真题点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键8（2022泰安）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，ABC60，BC2AB下列结论：ABAC；AD4OE；四边形AECF是菱形；SBOESABC，其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【思路点拨】通过判定ABE为等边三角形求得BAE60，利用等腰三角形的性质求得EAC30，从而判断；利用有一组邻边相等的平

13、行四边形是菱形判断，然后结合菱形的性质和含30直角三角形的性质判断；根据三角形中线的性质判断【规范解答】解：点E为BC的中点，BC2BE2CE，又BC2AB，ABBE，ABC60，ABE是等边三角形，BAEBEA60，EACECA30，BACBAE+EAC90，即ABAC，故正确；在平行四边形ABCD中，ADBC，ADBC，AOCO，CADACB，在AOF和COE中，AOFCOE（ASA），AFCE，四边形AECF是平行四边形，又ABAC，点E为BC的中点，AECE，平行四边形AECF是菱形，故正确；ACEF，在RtCOE中，ACE30，OECEBCAD，故正确；在平行四边形ABCD中，OAO

14、C，又点E为BC的中点，SBOESBOCSABC，故正确；正确的结论由4个，故选：A【真题点拨】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键7（2022大庆）如图，正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的两个动点，且正方形ABCD的周长是BEF周长的2倍连接DE，DF分别与对角线AC交于点M，N，给出如下几个结论：若AE2，CF3，则EF4；EFN+EMN180；若AM2，CN3，则MN4；若2，BE3，则EF4其中正确结论的序号为 【思路点拨】根据已知条件可得EFAE+FC，即可判断，进而推出EDF45，判断正

15、确，作DGEF于点G，连接GM，GN，证明GMN是直角三角形，结合勾股定理验证，证明BEFMNG30，即可判断【规范解答】解：正方形ABCD的周长是BEF周长的2倍，BE+BF+EFAB+BC，EFAE+FC，若AE2，CF3，则EF2+35，故错误；如图，在BA的延长线上取点H，使得AHCF，在正方形ABCD中，ADCD，HADFCD90，在AHD和CFD中，AHDCFD（SAS），CDFADH，HDDF，HDFC，又EFAE+CF，EFAE+AHEH，在DEH和DEF中，DEHDEF（SSS），HDEFDE，HEFD，HEDFED，CDF+ADFADH+ADFHDF90EDFHDE45，H

16、DFCDFE，EMNHED+EAM45+DEF，EFN+EMNDFC+45+DEFDFE+EDF+DEF180，则EFN+EMN180，故正确；如图，作DGEF于点G，连接GM，GN，在AED和GED中，AEDGED（AAS），同理，GDFCDF（AAS），AGDGCF，ADEGDE，GDFCDF，点A，G关于DE对称轴，C，G关于DF对称，GMAM，GNCN，EGMEAM45，NGFNCF45，MGN90，即GMN是直角三角形，若AM2，CN3，GM2，GN3，在RtGMN中，MN，故错误；MGAM，且2，BE3，在RtGMN中，sinMNG，MNG30，EFN+EMN180，EMN+AME

17、180，且CFNEFN，AMECFN，2AME2CFN，即AMGCFG，GMNBFE，BEFMNG30，cosBEFcosMNG，EF2，故错误，综上，正确结论的序号为，故答案为：【真题点拨】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键考向四 全等三角形的应用解题技巧/易错易混一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键8（2022扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形状的玻璃坏了，需要重新配一块小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为

18、了方便表述，将该三角形记为ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）AAB，BC，CABAB，BC，BCAB，AC，BDA，B，BC【思路点拨】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案【规范解答】解：A利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；B利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；CAB，AC，B，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；D根据A，B，BC，三角形形状确定，故此选项不合题意；故选：C【真题点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键9（2023雄县一

19、模）为测量一池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案方案：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，并使COAO，DOBO，连接DC，最后测出DC的长即可； 方案：如图，先确定直线AB，过点B作直线BEAB，在直线BE上找可以直接到达点A的一点D，连接DA，作DCDA，交直线AB于点C，最后测量BC的长即可 下列说法正确的是（）A，都不可行B，都可行C可行，不可行D不可行，可行【思路点拨】根据全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质求解即可【规范解答】解：方案：COAO，DOBO，AOBCOD，AOBCOD（SAS）

20、，ABCD，可行；方案：DCDA，ACD是等腰三角形，BEAB，ABBC，可行，综上所述，都可行故选：B【真题点拨】此题考查了全等三角形的判定方法和等腰三角形三线合一性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键10（2022百色）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形ABCD，其中ABCD2米，ADBC3米，B30（1）求证：ABCCDA；（2）求草坪造型的面积【思路点拨】（1）利用全等三角形的判定方法，结合三边关系得出答案；（2）直接利用全等三角形的性质以及直角三角形中30度所对边与斜边的关系的得出对应边长，进而得出答案【规范解答】（1）证明：在ABC

21、和CDA中，ABCCDA（SSS）；（2）解：过点A作AEBC于点E，AB2米，B30，AE1米，SABC31（平方米），则SCDA（平方米），草坪造型的面积为：23（平方米）【真题点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键考向五 角平分线的性质与判定11（2022鄂尔多斯）如图，AOE15，OE平分AOB，DEOB交OA于点D，ECOB，垂足为C若EC2，则OD的长为（）A2B2C4D4+2【思路点拨】过点E作EHOA于点H，根据角平分线的性质可得EHEC，再根据平行线的性质可得ADE的度数，再根据含30角的直角三角形的性质可得DE

22、的长度，再证明ODDE，即可求出OD的长【规范解答】解：过点E作EHOA于点H，如图所示：OE平分AOB，ECOB，EHEC，AOE15，OE平分AOB，AOC2AOE30，DEOB，ADE30，DE2HE2EC，EC2，DE4，ADE30，AOE15，DEO15，AOEDEO，ODDE4，故选：C【真题点拨】本题考查了角平分线的性质，含30角的直角三角形的性质，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键12（2022北京）如图，在ABC中，AD平分BAC，DEAB若AC2，DE1，则SACD1【思路点拨】过D点作DHAC于H点，如图，根据角平分线的性质得到DEDH1，然后根据三角形面积公式

23、计算【规范解答】解：过D点作DHAC于H点，如图，AD平分BAC，DEAB，DHAC，DEDH1，SACD211故答案为：1【真题点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等13（2023绵阳）如图，在O中，点A，B，C，D为圆周的四等分点，AE为切线，连接ED并延长交O于点F，连接BF交AC于点G（1）求证：AD平分CAE；（2）求证：ADEABG；（3）若AE3，AG3GC，求cosCBF的值【思路点拨】（1）利用圆周四等分点得到BACDACACB45，再根据切线的性质得到CAE90，所以DAE45，从而可判断AD平分CAE；（2）根据圆内接四边形的性质证明ADEA

24、BF，则可利用“SAS”判断ADEABG；（3）过G点GHBC于H点，如图，先利用ADEABG得到AGAE3，所以CG1，AC4，再根据圆周角定理得到ABC90，则可计算出BC2，接着CHGH，所以BH，然后利用勾股定理计算出BG，于是根据余弦的定义可计算出cosCBF的值【规范解答】（1）证明：点A，B，C，D为圆周的四等分点，AC为直径，BACDACACB45，AE为切线，ACAE，CAE90，DAE45，AD平分CAE；（2）证明：ABF+ADF180，ADE+ADF180，ADEABF，在ADE和ABG中，ADEABG（SAS）；（3）解：过G点GHBC于H点，如图，ADEABG，AG

25、AE3，AG3CG，CG1，AC4，AC为直径，ABC90，ACB45，BCAC2，在RtCGH中，CHGHCG，BHBCCH2，在RtBGH中，BG，cosHBG，即cosCBF的值为【真题点拨】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质和解直角三角形考向六 线段的垂直平分线的性质14（2022湖北）如图，在矩形ABCD中，ABBC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F下列结论：四边形AECF是菱形；AFB2ACB；ACEFCFCD；若AF平分BA

26、C，则CF2BF其中正确结论的个数是（）A4B3C2D1【思路点拨】根据题意分别证明各个结论来判断即可【规范解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），OEOF，AEAFCFCE，即四边形AECF是菱形，故结论正确；AFBFAO+ACB，AFFC，FAOACB，AFB2ACB，故结论正确；S四边形AECFCFCDACOE2ACEF，故结论不正确；若AF平分BAC，则BAFFACCAD9030，AF2BF，CFAF，CF2BF，故结论正确；故选：B【真题点拨】本题主要考查长方形的综合题，熟练掌握长方形的性质，基本作图，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性

27、质等知识是解题的关键15（2022青海）如图，在RtABC中，ABC90，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，BAE10，则C的度数是 40【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质可得AEEC，从而可得EACC，然后利用三角形内角和定理可得EAC+C80，进行计算即可解答【规范解答】解：ED是AC的垂直平分线，AEEC，EACC，ABC90，BAE10，EAC+C180BAEABC80，EACC40，故答案为：40【真题点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键1（2023北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线

28、AC同侧，ABBC，AC90，EABBCD，连接DE设ABa，BCb，DEc，给出下面三个结论：a+bc；a+b；（a+b）c上述结论中，所有正确结论的序号是（）ABCD【思路点拨】根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；将c用a和b表示出来，再进行比较【规范解答】解：过点D作DFAC，交AE于点F；过点B作BGFD，交FD于点GDFAC，ACAE，DFAE又BGFD，BGAE，四边形ABGF为矩形同理可得，四边形BCDG也为矩形FDFG+GDa+b在RtEFD中，斜边c直角边a+b故正确EABBCD，AEBCb，在RtEAB中，BEAB+AEBE，

29、a+b故正确EABBCD，AEBCBD，又AEB+ABE90，CBD+ABE90，EBD90BEBD，BEDBDE45，BEcsin45cc2（a2+2ab+b2）2（a2+b2）+4ab2（a2+b2），c故正确故选：D【真题点拨】本题考查全等三角形的性质虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心2（2022西宁）如图，MON60，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PEOM于点E，PFON于点F则以下结论错误的是（）AAOB是等边三角形BP

30、EPFCPAEPBFD四边形OAPB是菱形【思路点拨】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论【规范解答】解：以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，OAOB，MON60，AOB是等边三角形，A的结论正确，不符合题意；分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在MON的内部相交于点P，PAPB，在OPA和OPB中，OPAOPB（SSS），POAPOBPEOM，PFON，PEPFB的结论正确，不符合题意；PEOM，PFON，PEAPFB90在RtPAE和RtPBF中，RtPAERtPBF（HL）C

31、的结论正确，不符合题意；由作图过程可知：OB与PB不一定相等，四边形OAPB是菱形不成立，D的结论错误，符合题意，故选：D【真题点拨】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键3（2021陕西）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线若AC6cm，CDBC，则线段CE的长度是（）A6cmB7cmC6cmD8cm【思路点拨】过B作BMAC于M，过D作DNCE于N，由等腰三角形的性质得到AMCM3，CNEN，根据全等三角形判定证得BCMCDN，得到BMCN，在R

32、tBCM中，根据勾股定理求出BM4，进而求出【规范解答】解：由题意知，ABBCCDDE5cm，AC6cm，过B作BMAC于M，过D作DNCE于N，则BMCCND90，AMCMAC63，CNEN，CDBC，BCD90，BCM+CBMBCM+DCN90，CBMDCN，在BCM和CDN中，BCMCDN（AAS），BMCN，在RtBCM中，BC5cm，CM3cm，BM4（cm），CN4cm，CE2CN248（cm），故选：D【真题点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得BCMCDN是解决问题的关键4（2023青龙县三模）要得知某一池塘两端A，B的距离

33、，发现其无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案方案：如图1，先过点B作BFAB，再在BF上取C，D两点，使BCCD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测量DE的长即可；方案：如图2，过点B作BDAB，再由点D观测，用测角仪在AB的延长线上取一点C，使BDCBDA，则测量BC的长即可对于方案、，说法正确的是（）A只有方案可行B只有方案可行C方案和都可行D方案和都不可行【思路点拨】在两个图中分别根据全等三角形的判定方法证明三角形全等，再根据全等三角形的性质即可得证【规范解答】解：ABBF，ABC90，DEBF，EDC90，在ABC和EDC中，ABCEDC（ASA），ABED，

34、故方案可行；BDAB，ABDCBD，在ABD和CBD中，ABDCBD（ASA），ABBC，故方案可行；综上可知，方案和都可行，故选：C【真题点拨】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键5（2022宜昌）如图，在ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD若AB7，AC12，BC6，则ABD的周长为（）A25B22C19D18【思路点拨】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DBDC，然后即可得到AB+BD+ADAB+DC+ADAB+AC，从而可以求得ABD的周长【规范解答】解：由题意可得

35、，MN垂直平分BC，DBDC，ABD的周长是AB+BD+AD，AB+BD+ADAB+DC+ADAB+AC，AB7，AC12，AB+AC19，ABD的周长是19，故选：C【真题点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答6（2023辽宁）如图，线段AB8，点C是线段AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转120得到线段BD，连接CD，在AB的上方作RtDCE，使DCE90，E30，点F为DE的中点，连接AF，当AF最小时，BCD的面积为 【思路点拨】连接CF，证明ACF为直角三角形，根据勾股定理列出AF2CF2+AC2，设BCx，则AC8x，

36、建立关于x的二次函数关系式，求出x2时，AF最小，再求出顶角是120的三角形BCD的面积即可【规范解答】解：连接CF，则CFDFEF，EDC90E60，FCD60DCB（180120）30，FCBFCD+DCB60+3090，ACF是直角三角形设BCx，则AC8x，BCBDx，CDCFx，由勾股定理得：AF2当x2时，AF有最小值BCBD2，CBD120，SBCD22故答案为：【真题点拨】本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120的等腰三角形面积的计算，建立二次函数关系式是本题的突破口7（2022宜宾）数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求

37、面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为S现有周长为18的三角形的三边长满足a：b：c4：3：2，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为 3【思路点拨】根据题意先求出a、b、c，再代入公式进行计算即可【规范解答】解：根据a：b：c4：3：2，设a4k，b3k，c2k，则4k+3k+2k18，解得：k2，a4k428，b3k326，c2k224，S3，故答案为：3【真题点拨】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握8（2023成都）如图，已

38、知ABCDEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上若BC8，CE5，则CF的长为 3【思路点拨】根据全等三角形的对应边相等得到EFBC8，计算即可【规范解答】解：ABCDEF，BCEF，又BC8，EF8，EC5，CFEFEC853故答案为：3【真题点拨】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键9（2023重庆）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D为BC上一点，连接AD过点B作BEAD于点E，过点C作CFAD交AD的延长线于点F若BE4，CF1，则EF的长度为 3【思路点拨】先证明ABECAF（AAS），根据全等三角形的性质可得AF

39、BE4，AECF1，进一步可得EF的长【规范解答】解：BEAD，CFAD，BEAAFC90，BAE+ABE90，BAC90，BAE+FAC90，FACABE，在ABE和CAF中，ABECAF（AAS），AFBE，AECF，BE4，CF1，AFBE4，AECF1，EFAFAE413，故答案为：3【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键10（2022深圳）已知ABC是直角三角形，ABC90，AB3，BC5，AE2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CDDEF是AE边上的一点，连接BD和BF，且FBD45，则AF长为 【思路

40、点拨】将线段BD绕点D顺时针旋转90，得到线段HD，连接BH，利用SAS证明EDHCDB，得EHCB5，BGHBDH90，从而得出HEDCAB，则ABFEHF，即可解决问题【规范解答】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于G，BDH是等腰直角三角形，HBD45，FBD45，点B、F、H共线，又EDC是等腰直角三角形，HDBD，EDHCDB，EDCD，EDHCDB（SAS），EHCB5，DHECBD，BGHBDH90，HEAB，ABFEHF，AE2，AF，故答案为：【真题点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质

41、等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键11（2023衢州）已知：如图，在ABC和DEF中，B，E，C，F在同一条直线上下面四个条件：ABDE；ACDF；BECF；ABCDEF（1）请选择其中的三个条件，使得ABCDEF（写出一种情况即可）（2）在（1）的条件下，求证：ABCDEF【思路点拨】（1）根据两三角形全等的判定定理，选择合适的条件即可（2）根据（1）中所选条件，进行证明即可【规范解答】解：（1）由题知，选择的三个条件是：；或者选择的三个条件是：证明：（2）当选择时，BECF，BE+ECCF+EC，即BCEF在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS）当选择时，BECF，BE+ECCF

42、+EC，即BCEF在ABC和DEF中，ABCDEF（SAS）【真题点拨】本题考查全等三角形的证明，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键12（2023陕西）如图，在ABC中，B90，作CDAC，且使CDAC，作DEBC，交BC的延长线于点E求证：CEAB【思路点拨】根据余角的性质证得ADCE，然后根据AAS即可证得ABCCED，据全等三角形的对应边相等，即可证得【规范解答】证明：DCAC于点C，ACB+DCB90ABC90，ACB+A90ADCEDEBC于点E，E90BE在ABC和CED中，ABCCED（AAS）ABCE【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等的基本思路是证明三

43、角形全等13（2023聊城）如图，在四边形ABCD中，点E是边BC上一点，且BECD，BAEDC（1）求证：EADEDA；（2）若C60，DE4时，求AED的面积【思路点拨】（1）利用AAS证明ABEECD，即可证明结论；（2）先证明AED为等边三角形，可得AEADED4，过A点作AFED于F，利用等边三角形的性质可得EF2，再根据勾股定理求得AF的长，利用三角形的面积公式可求解【规范解答】（1）证明：BAEDC，AECB+BAEAED+CED，BAECED，在ABE和ECD中，ABEECD（AAS），AEED，EADEDA；（2）解：AEDC60，AEED，AED为等边三角形，AEADED4

44、，过A点作AFED于F，EFED2，AF，SAEDEDAF【真题点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识的综合运用，证明ABEECD是解题的关键14（2022黄石）如图，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE90，且点D在线段BC上，连CE（1）求证：ABDACE；（2）若EAC60，求CED的度数【思路点拨】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得ACEABD，利用等腰直角三角形的性质可求得ACEABDAED45，再根据三角形的内角和定理可求解AEC的度数，进而可求可求解【规范解答】（1）证明：BACDAE9

45、0，BACCADDAECAD，即BADCAE，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）；（2）解：ABDACE，ACEABD，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ACEABDAED45，EAC60，AEC180ACEEAC180456075，CEDAECAED754530【真题点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键15（2022柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，ABDE，BCEF有下列三个条件：ACDF，ABCDEF，ACBDFE（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF你选取的条件为（填写

46、序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定ABCDEF的依据是 SSS（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论ABCDEF求证：ABDE【思路点拨】（1）根据SSS即可证明ABCDEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得AEDF，再根据平行线的判定即可解决问题【规范解答】（1）解：在ABC和DEF中，ABCDEF（SSS），在上述三个条件中选取一个条件，使得ABCDEF，选取的条件为，判定ABCDEF的依据是SSS故答案为：，SSS；（答案不唯一）（2）证明：ABCDEFAEDF，ABDE【真题点拨】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理

47、，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键16（2022资阳）如图，在ABC中（ABBC），过点C作CDAB，在CD上截取CDCB，CB上截取CEAB，连接DE、DB（1）求证：ABCECD；（2）若A90，AB3，BD2，求BCD的面积【思路点拨】（1）由CDAB得ABCECD，而CDCB，CEAB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明ABCECD；（2）由A90，根据全等三角形的对应角相等证明BEDCEDA90，设BEx，由BD2BE2CD2EC2DE2，列方程（2）2x2（3+x）232，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出BCD的面积【规

48、范解答】（1）证明：CDAB，CDCB，CEAB，ABCECD，在ABC和ECD中，ABCECD（SAS）（2）解：A90，CEDA90，BED180CED90，设BEx，ECAB3，BD2，CDBC3+x，BD2BE2CD2EC2DE2，（2）2x2（3+x）232，整理得x2+3x100，解得x12，x25（不符合题意，舍去），BE2，BC3+25，DE4，SBCDBCDE5410，BCD的面积为10【真题点拨】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识与方法，证明三角形全等以及根据勾股定理列方程是解题的关键17（2022长沙）如图，AC平分BAD

49、，CBAB，CDAD，垂足分别为B，D（1）求证：ABCADC；（2）若AB4，CD3，求四边形ABCD的面积【思路点拨】（1）由AC平分BAD，得BACDAC，根据CBAB，CDAD，得B90D，用AAS可得ABCADC；（2）由（1）ABCADC，得BCCD3，SABCSADC，求出SABCABBC6，即可得四边形ABCD的面积是12【规范解答】（1）证明：AC平分BAD，BACDAC，CBAB，CDAD，B90D，在ABC和ADC中，ABCADC（AAS）；（2）解：由（1）知：ABCADC，BCCD3，SABCSADC，SABCABBC436，SADC6，S四边形ABCDSABC+SA

50、DC12，答：四边形ABCD的面积是12【真题点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理18（2022北京）在ABC中，ACB90，D为ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CEDC（1）如图1，延长BC到点F，使得CFBC，连接AF，EF若AFEF，求证：BDAF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2若AB2AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明【思路点拨】（1）证明BCDFCE（SAS），由全等三角形的性质得出DBCEFC，证出BDEF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CFBC，连

51、接AF，EF，由（1）可知BDEF，BDEF，证出AEF90，得出DHE90，由直角三角形的性质可得出结论【规范解答】（1）证明：在BCD和FCE中，BCDFCE（SAS），DBCEFC，BDEF，AFEF，BDAF；（2）解：由题意补全图形如下：CDCH证明：延长BC到F，使CFBC，连接AF，EF，ACBF，BCCF，ABAF，由（1）可知BDEF，BDEF，AB2AE2+BD2，AF2AE2+EF2，AEF90，AEEF，BDAE，DHE90，又CDCE，CHCDCE【真题点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明BCDFCE是解题

52、的关键19（2022潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45角的直角三角尺如图放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图位置小莹用作图软件Geogebra按图作出示意图，并连接AG，BH，如图所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明OBEOAF，可得OEOF请你证明：AGBH【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图，猜想并证明DG与BH的位置关系【拓展延伸】小亮将图中的甲、乙换成含30角的直角三角尺如图，按图作出示意图，并连接HB，AG，如图所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系【思路点拨】【情境再现】由OBEOAF，得BE

53、AF，OEOF，BEOAFO，可证明BHEAGF（SAS），得BHAG；【迁移应用】由BHEAGF，得BHEAGF，可得AGF+GPO90，从而BHE+HPD90，HDP90，故DGBH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据ABC，HOG是含30角的直角三角形，AOBC，可得OBAO，OBAOAC30，BOT90AOTAOK，即得BOTAOK，有，BTOAKO，又OHGO，可得，故BTHAKG，即得，BHAG【规范解答】【情境再现】证明：由阅读材料知OBEOAF，BEAF，OEOF，BEOAFO，BEHAFG，OHOG，OHOEOGOF，即EHGF，在BHE和AGF中，BHEAG

54、F（SAS），BHAG；【迁移应用】解：猜想：DGBH；证明如下：由【情境再现】知：BHEAGF，BHEAGF，HOG90，AGF+GPO90，BHE+GPO90，GPOHPD，BHE+HPD90，HDP90，DGBH；【拓展延伸】解：猜想：BHAG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：ABC，HOG是含30角的直角三角形，AOBC，AOB90，OBAO，OBAOAC30，BOT90AOTAOK，BOTAOK，BTOAKO，OTOK，BTAK，BTHAKG，OHGO，HTOHOTGOOK（GOOK）KG，BTHAKG，BHAG【真题点拨】本题考查三角形综合应用，解题的关

55、键是掌握全等三角形判定与性质定理，相似三角形判定与性质定理的应用20（2021柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CDCA，连接BC并延长到点E，使CECB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明证明：在DEC和ABC中，DECABC（SAS），DEAB【思路点拨】利用“边角边”证明DEC和ABC全等，再根据全等三角形对应边相等可得到DEAB【规范解答】证明：在DEC和ABC中，DECABC（SAS），DEAB故答案为：CA，DCEACB，CB，DEAB

56、【真题点拨】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键21（2023铜仁市四模）王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ACBC，ACB90），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合（1）求证：ADCCEB；（2）求两堵木墙之间的距离【思路点拨】（1）根据题意可得ACBC，ACB90，ADDE，BEDE，进而得到ADCCEB90，再根据等角的余角相等可得BCEDAC，再证明ADCCEB即可；（2）利用全等三角形的性质进行解答【规范解答】（1）证明：由题意得：ACBC，ACB90，ADDE，

57、BEDE，ADCCEB90，ACD+BCE90，ACD+DAC90，BCEDAC在ADC和CEB中，ADCCEB（AAS）；（2）解：由题意得：AD236（cm），BE7214（cm），ADCCEB，ECAD6cm，DCBE14cm，DEDC+CE20（cm），答：两堵木墙之间的距离为20cm【真题点拨】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件22（2023广州）如图，已知AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高，AE12，DF5，则点E到直线AD的距离为 【思路点拨】过E作EHAD于H，由角平分线的性质得到DEDF5，由勾股定理求出AD13，由三角形面积公式得到13EH125，因此EH，即可得到点E到直线AD的距离【规范解答】解：过E作EHAD于H，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，DFAC于F，DEDF5，AE12，AD13，ADE的面积ADEHAEDE，13EH125，EH，点E到直线AD的距离为故答案为：【真题点拨】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，关键是由三角形的面积得到ADEHAEDE