新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6-4-3 第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 WORD版含解析.doc

1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3课时余弦定理、正弦定理应用举例目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中距离、角度和高度的测量问题；2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力重点 正弦、余弦定理解决生产实践中距离、角度和高度的测量问题难点 实际问题的理解与建模 要点整合夯基础 知识点一测量中的有关概念、名词、术语填一填1俯角和仰角：如图所示，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角2方向角和方位角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，叫方向角目标方向线方向一般可用“偏”多少度来表示，这里第一个“”是“北”或“南

2、”，第二个“”是“东”或“西”如图所示，OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东60、北偏西30、南偏西45、南偏东20.方位角：从某点开始的指北方向线按顺时针转到目标方向线为止的水平角叫方位角3坡度和坡比坡面与水平面所成的夹角的度数叫坡度，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡比.如图所示答一答1“视角”是“仰角”吗？提示：不是视角是指观察物体的两端视线张开的角度如图所示，视角60指的是观察该物体上下两端点时，视线的张角2方向角和方位角有何区别？提示：方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角3坡度和坡比有什么区别？提示：坡度是

3、坡面与水平面所成的夹角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比知识点二基线填一填在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越高答一答4测量是否一定要选取基线？提示：测量一定要选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度知识点三距离问题填一填1测量从一个可到达的点A到一个不可到达的点B之间的距离问题如图所示这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决2测量两个不可到达的点A，B之间的距离问题如图所示首先把未知的BC和AC的距离问题转

4、化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题；然后把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题答一答5解与三角形有关的应用题的基本思路是什么？提示：基本思路(如图)：知识点四高度与角度问题填一填1高度问题测量底部不可到达的建筑物的高度问题由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦或余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题2角度问题测量角度就是在三角形内，利用正弦定理和余弦定理求角的三角函数值，然后求角，再根据需要求所求的角答一答6为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面之间有

5、什么关系？提示：为了测量某建筑物的高度所构造的三角形，其所在平面与地面垂直7解三角形应用问题常见的几种情况是什么？提示：解三角形实际应用问题经抽象概括为解三角形问题时，常见情况有以下几种：(1)已知量与未知量全都集中在一个三角形中，可直接用正弦定理或余弦定理求解；(2)已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形这时可先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形；有时需要设出未知量，从几个三角形中利用正弦或余弦定理列出方程或方程组，解方程或方程组得到答案 典例讲练破题型 类型一距离问题命题角度1：测量从一个可到达的点，到一个不可到达的点之间的距离 例1为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示)，

6、某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC8 m，BAC30，BCA45，求A，B两点间的距离分析将问题转化为解ABC的问题解根据正弦定理得，AB8(1) (m)即A，B间的距离为8(1) m.变式训练1如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120米，求河的宽度解：在ABC中，CAB45，CBA75，ACB60.由正弦定理可得AC.AC20(3)(米)设C到AB的距离为CD，则CDACsinCABAC20(3)河的宽度为20(3)米命题角度2：测量两个不可到达的点之间的距离例2如图，为了测量正在海面匀速行驶的某船的速度，在海岸上选取距离1千

7、米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为_千米/分钟分析先在ACD中利用正弦定理求出AD的长度，在BCD中利用余弦定理进行求解解析在ACD中，CD1，ADC30，ACDACBBCD105，CAD1803010545.由正弦定理，ADsinACD.同理，在BCD中，BDsinBCD1.在ADB中，AB2AD2BD22ADBDcosADB()21221.AB，船速为千米/分钟答案测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先是明确题意根据条件和图形特

8、点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基线的选取要恰当. 变式训练2如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离解：在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30.ACCD km.在BDC中，CBD180(453045)60.在BCD中，由正弦定理，得BC(km)则在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCA()2()22cos755.AB km.两目标A，B之间的距离为 km.类型二高度问题命题角度1：底部不可到达的

9、高度问题例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m. 分析将实际问题转化为解三角形问题在ABC中，BAC30，ABC105，AB600 m已知两角及其夹边，可考虑用正弦定理求解在RtBCD中，CBD30，求CD.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan30300100(m)答案100对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，我们可选择一

10、条过建筑物底部点的基线，在基线上取另外两点，这样四点可以构成两个小三角形.其中，把不含未知高度的那个小三角形作为依托，从中解出相关量，进而应用到含未知高度的三角形中，利用正弦或余弦定理求解即可.变式训练3如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是(D)A100 mB400 mC200 mD500 m解析：设ABx m，在RtABC中，ACB45，所以BCABx m；在RtABD中，ADB30，所以BDx m，在BCD中，BCD120，

11、CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022x500cos120，解得x500(负值舍去)命题角度2：顶部不可到达的高度问题 例4如图，某人在地面上C处观察一架迎面飞来的飞机在A处的仰角为30，过一分钟后到B再测得仰角为45，如果该飞机以每小时450 km的速度沿水平方向飞行，则飞机的高度为_km.解析由题意知，DCA60，DCB45，设飞机高为h km，则BDh km，ADh km.又AB4507.5(km)，由ADBDAB得hh7.5.所以h(km)答案对于顶部不能到达的建筑物高度的测量，我们可以选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成的三角形，在此

12、三角形中利用正弦或余弦定理求解即可. 变式训练4某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为811 m(精确到1 m)解析：如图，过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30，在ABD中，由正弦定理，得AB1 000(m)在RtABC中，BCABsin35811 (m)类型三角度问题 例5某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45、距离为10 km的C处，并测得渔船正沿方位角为1

13、05的方向，以10 km/h的速度向小岛靠拢，海军舰艇立即以10 km/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间分析由题意知，要求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间，可设靠近的位置为B处因此只要确定BAC及AB的值即可故先设出舰艇与渔船靠近的时间t，然后在ABC中利用余弦定理建立关于t的方程，即可求解解如图所示，设t h后，舰艇与渔船在B处靠近，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，则有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得(10t)2102(10t)221010tcos120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)所以舰艇需1 h靠近渔船此时AB10，BC10.

14、在ABC中，由正弦定理，得，所以sinCAB.又因为CAB为锐角，所以CAB30.所以舰艇航行的方位角BAD453075.答：舰艇航行的方位角为75，航行的时间为1 h.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.解题时应认真审题，结合图形去选择定理，这是最关键、最重要的一步.变式训练5如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物C

15、D的顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos等于(C)A.B.C.1D.1解析：在ABC中，由正弦定理得，AC100 m.在ADC中，cossin(90)1. 课堂达标练经典 1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B、C间的距离是(D)A10海里 B.海里C5海里D5海里解析：如图，C180607545，AB10，由正弦定理得，BC5海里，故选D.2如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60，

16、30，则A点离地面的高度AB等于(A)A50 mB100 mC50 mD100 m解析：因为DACACBD603030，由正弦定理得，所以ACDC100 m，在RtABC中，ABACsin6050 m.3某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为(C)A4 kmB6 kmC7 kmD9 km解析：如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150，由余弦定理得AC2274232cos15049，所以AC7，所以A，C两地距离为7 km.4如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：

17、AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为7 km.解析：因为A，B，C，D四点共圆，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cosD，整理得cosD，代入得AC23252235()49，故AC7.5甲船在A点发现乙船在北偏东60的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在ABC中，BCat海里，ACat海里，B18060120，由，得sinCAB，0CAB60，CAB30，DAC603030，甲船应沿着北

18、偏东30的方向前进，才能最快与乙船相遇本课须掌握的三大问题1数学建模思想：解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到实际问题的解，这就是数学建模思想2解三角形应用题的具体操作程序(1)在弄清题意的基础上作出示意图；(2)在图形上分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量；(3)用正、余弦定理进行求解；(4)根据实际意义与精确度要求给出答案3解三角形应用题常见的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充分的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解- 19 - 版权所有高考资源网