2020版高考数学（江苏版）新攻略总复习课标通用练习：第十章-第二节　直线与椭圆的综合问题 WORD版含解析.docx

1、第二节直线与椭圆的综合问题课时作业练1.过椭圆x24+y23=1的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长是.答案32.设F1,F2分别是椭圆x24+y2=1的左,右焦点,若椭圆上存在一点P,使(OP+OF2)PF2=0(O为坐标原点),则F1PF2的面积是.答案1解析因为(OP+OF2)PF2=(OP+F1O)PF2=F1PPF2=0,所以PF1PF2,F1PF2=90.设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,又焦距2c=23,所以m2+n2=12,所以mn=2,所以SF1PF2=12mn=1.3.已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为

2、.答案32解析因为直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点分别是(4,0)和(0,-2),所以由椭圆的相关知识可知a=4,b=2,所以c=a2-b2=23,所以该椭圆的离心率为ca=32.4.(2019江苏苏州模拟)已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F,下焦点为F1,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆相交于点A,B,C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=.答案8解析因为两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,所以由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,|AF1|=|FD|,连接BF1,CF,同理|BF1|=|CF|,|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|A

3、F1|+|BF|+|BF1|=4a=8.5.已知椭圆x2m+y2n=1(mn0)的左、右焦点分别为F1、F2,P是以椭圆的短轴为直径的圆上任意一点,则PF1PF2=.答案2n-m解析由题意可知在椭圆x2m+y2n=1(mn0)中,b2=n,c2=m-n,则PF1PF2=(PO+OF1)(PO-OF1)=PO2-OF12=b2-c2=n-(m-n)=2n-m.6.(2017徐州王杰中学高三月考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,直线l:y=13x与椭圆E相交于A,B两点,|AB|=210,则椭圆E的标准方程为.答案x212+y24=1解析根据离心率

4、不妨设a=3m,b=3m,c=6m(m0),则椭圆方程为x29m2+y23m2=1,与直线y=13x联立可得x2=274m2,x=332m,|x1-x2|=33m,又1+k2=103,所以由弦长公式得33m103=210,解得m=23,据此可得椭圆方程为x212+y24=1.7.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A、B两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB的长是.答案423解析由题意可知c=1,ca=22,则a=2,b=1,则椭圆方程为x22+y2=1,联立直线方程与椭圆方程可得A(0,1),B43,-13,或A43,-13,B(0,1),则|AB|=4

5、23.8.已知动点P(x,y)在椭圆x225+y216=1上,若A点的坐标为(3,0),|AM|=1,且PMAM=0,则|PM|的最小值为.答案3解析由|AM|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,因为PMAM=0,所以PMAM,即PM为A的切线,连接PA(如图),则|PM|=|PA|2-|AM|2=|PA|2-1.因为P在椭圆上运动,所以|PA|min=a-c=5-3=2,所以|PM|min=3.9.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1、F2,过F1且斜率为3的直线交椭圆E于P、Q两点,若PF1F2为直角三角形且|PF1|b0)经过点P3,12,左焦点为F(-3,

6、0).(1)求椭圆E的方程;(2)若A是椭圆E的右顶点,过点F且斜率为12的直线交椭圆E于M,N两点,求AMN的面积.解析(1)由椭圆的定义得(3+3)2+14+12=2aa=2,又c=3,故b2=a2-c2=1,椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)过F(-3,0)且斜率为12的直线方程为y=12(x+3),由y=12(x+3),x24+y2=1得8y2-43y-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=32,y1y2=-18|y1-y2|=52,又A(2,0),|AF|=2+3,AMN的面积=12|AF|y1-y2|=12(2+3)52=25+154.11.(2017江苏

7、苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2,离心率为22,椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的方程;(2)过点D(2,-2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P,Q,求证:直线AP,AQ的斜率之和为定值.解析(1)由题意知c=1,e=ca=22,所以a=2,由a2=b2+c2可得b=1,所以椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)证明:当直线PQ的斜率不存在时,不符合题意;当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y+2=k(x-2),代入x2+2y2=2中,得(1+2k2)x2-42(k2+k)x+4k2+8k+2=0.设P(x1,y

8、1),Q(x2,y2),则x1+x2=42(k2+k)1+2k2,x1x2=4k2+8k+21+2k2,又kAP+kAQ=y1x1-2+y2x2-2=k(x1-2)-2x1-2+k(x2-2)-2x2-2=2k-2(x1+x2)-4x1x2-2(x1+x2)+2=2k-242(k2+k)1+2k24k2+8k+21+2k2-242(k2+k)1+2k2+2=1.所以直线AP,AQ的斜率之和为定值1.12.在平面直角坐标系xOy中,已知点P1,32在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上,P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若点M,N是椭圆C上的两点,且四边形POMN

9、是平行四边形,求点M,N的坐标.解析(1)由题意知,1a2+94b2=1,2a=4.所以a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则ON的中点坐标为x22,y22,PM的中点的坐标为1+x12,32+y12.因为四边形POMN是平行四边形,所以1+x12=x22,32+y12=y22,即x1=x2-1,y1=y2-32.又点M,N是椭圆C上的两点,所以3x22+4y22=12,3(x2-1)2+4y2-322=12.解得x2=2,y2=0或x2=-1,y2=32,由x2=2,y2=0得x1=1,y1=-32.由x2=-1,y2=32得

10、x1=-2,y1=0.所以点M1,-32,N(2,0)或点M(-2,0),N-1,32.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.在下列结论中,正确的是.(填序号)若ab,bc,则ac;模相等的两个平行向量是相等的向量;若a=b,则a和b都是单位向量;两个相等向量的模相等;AB+BC+CD+DA=0.答案解析当b=0时,ab,bc,但a与c不一定平行,错误;模相等的两个平行向量是相等的向量或相反的向量,错误;若a=b=1,则a和b都是单位向量,错误;两个相等向量的模相等,正确;AB+BC+CD+DA=0,错误.2.若函数f(x)=f 2sin x+cos x,则f4=.答案0解析f (x)=f 2co

11、s x-sin x,令x=2,则f 2=f 2cos2-sin2, f 2=-1,则f(x)=-sin x+cos x,所以f4=-sin4+cos4=0.3.已知角的终边经过点P(-4,3),则cos2+sin-cos2-sin92+=.答案34解析角的终边经过点P(-4,3),原式=-sinsinsincos=-tan =34.4.(2018江苏如皋高三调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱的交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.答案94解析因为E,F,F1,E1分别

12、为所在棱的中点,所以棱柱EFBC-E1F1B1C1的体积V=S四边形EFBC3=34SABC3=94SABC,设图甲中水面的高度为h,则SABCh=94SABC,解得h=94.5.过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为.答案2x+y-3=0解析易知圆心C(1,0),其中一个切点为(1,1),kABkPC=-1,且kPC=1-03-1=12,所以kAB=-2,故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0.6.(2019江苏南京模拟)已知函数f(x)为定义在2-a,3上的偶函数,在0,3上单调递减,并且f-m2-a5f(-m2

13、+2m-2),则m的取值范围是.答案1-2,12解析由f(x)是定义在2-a,3上的偶函数得2-a=-3,a=5,则 f-m2-a5= f(m2+1), f(-m2+2m-2)=f(m2-2m+2),又f(x)在0,3上单调递减,所以m2+1m2-2m+23,解得1-2m0.由a2-a1=1得a1=1q-10,所以a3=a1q2=q2q-1=(q-1)2+2(q-1)+1q-1=q-1+1q-1+24,当且仅当q=2时,等号成立,即a3取得最小值4,此时a1=1,故an=2n-1.8.(2018江苏兴化三校高三联考)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,AC=BC,M,N分

14、别是棱CC1,AB的中点.(1)求证:CN平面ABB1A1;(2)求证:CN平面AMB1.证明(1)AA1平面ABC,CN平面ABC,AA1CN,AC=BC,N是棱AB的中点,CNAB,AA1AB=A,AA1平面ABB1A1,AB平面ABB1A1,CN平面ABB1A1.(2)取AB1的中点P,连接NP、MP.P、N分别是棱AB1、AB的中点,NPBB1,且NP=12BB1,三棱柱ABC-A1B1C1中,M是棱CC1的中点,CC1BB1,CC1=BB1,CMBB1,且CM=12BB1,CMNP,CM=NP,四边形CNPM是平行四边形,CNMP.CN平面AMB1,MP平面AMB1,CN平面AMB1.