2021-2022学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.docx

1、第1课时基本不等式课后训练巩固提升1.下列不等式的证明过程正确的是()A.若a,bR,则ba+ab2baab=2B.若x0,则x-1+1x-12(x-1)1x-1=2C.若x0,则x+4x2x4x=4D.若a,bR,且ab0,b0,则a+b2,ab,a2+b22,2aba+b中最小的是()A.a+b2B.abC.a2+b22D.2aba+b解析:(方法一)特殊值法.令a=4,b=2,则a+b2=3,ab=8,a2+b22=10,2aba+b=83.故2aba+b最小.(方法二)2aba+b=21a+1b,由21a+1baba+b2a2+b22,可知2aba+b最小.答案:D3.已知m=a+1a

2、-2(a2),n=(2-x)(2+x)(-2xnB.mnC.m=nD.mn解析:m=(a-2)+1a-2+22(a-2)1a-2+2=4,n=(2-x)(2+x)2-x+2+x22=4,mn.答案:B4.已知x0,y0,且x+y=10,则xy有()A.最大值25B.最大值50C.最小值25D.最小值50解析:x0,y0,x+y=10,x+y2xy,xyx+y22=25,当且仅当x=y=5时取“=”,xy有最大值25.答案:A5.已知a0,b0,则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析:1a+1b+2ab2ab+2ab222=4,当且仅当a=b,ab=1时,取“=”,即a

3、=b=1时,原式取得最小值4.答案:C6.若x0,y0,且xy=10,则2x+5y的最小值为.解析:x0,y0,且xy=10,y=10x,2x+5y=2x+x22,当且仅当x=2,y=5时,取等号.答案:27.若x0,y0,且x+4y=20,则xy的最大值是.解析:20=x+4y2x4y=4xy,xy5xy25.等号成立的条件是x=4y=10,即x=10,y=52.xy的最大值是25.答案:258.已知a3,则4a-3+a-316的最小值为.解析:a3,a-30,4a-3+a-31624a-3a-316=1,当且仅当4a-3=a-316,即a=11时,取等号.答案:19.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)8abc.证明:a,b,c都是正数,a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ac0,(a+b)(b+c)(c+a)2ab2bc2ac=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2(a+b+c)23.证明:a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ac,a2+b2+c2=a2+b2+c2,由+,得3(a2+b2+c2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)(a+b+c)2,即a2+b2+c2(a+b+c)23.