2021-2022高中数学 第三章 函数的应用 2.docx

1、几类不同增长的函数模型一、A组1.如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,那么该工厂这一年中的月平均增长率是()A.711B.712C.127-1D.117-1解析:设月平均增长率为x,1月份的产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=117,故x=117-1.答案:D2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()解析:设该林区的森林原有蓄积量为a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.答案:D3.现有一组实验数据如下:t1.993.004

2、.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.V=log2tB.V=log12tC.V=t2-12D.V=2t-2解析:当t=4时,选项A中的V=log24=2,选项B中的V=log124=-2,选项C中的V=42-12=7.5,选项D中的V=24=8,故选C.答案:C4.已知光线通过一块玻璃其强度要失掉原来的110,若要使通过玻璃的光线强度为原来的13以下,则至少需要重叠这样的玻璃的块数是(lg 30.477 1,不考虑其他损耗)()A.10B.11C.12D.13解析:设原光线的强度为a,重叠x块玻

3、璃后,通过玻璃的光线强度为y,则y=a1-110x(xN*),令y13a,即a1-110x13a,910xlg13lg910.lg13lg910=-lg32lg3-1-0.477120.4771-110.4,即x10.4.故选B.答案:B5.若a1,n0,则当x足够大时,ax,xn,logax的大小关系是.解析:由三种函数的增长特点可知,当x足够大时,总有logaxxnax.答案:logaxxnax6.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂1次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过小时.解析:设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x.令2x=4 096=212,则x=12

4、,即需分裂12次,需1215=180(分钟),即3小时.答案:37.画出函数f(x)=x与函数g(x)=14x2-2的图象,并比较两者在0,+)上的大小关系.解:函数f(x)与g(x)的图象如下.根据图象可得:当0xg(x);当x=4时,f(x)=g(x);当x4时,f(x)g(x).8.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?解:由优惠办法(1)

5、得到y与x的函数关系式为y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,且xN).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+24)92%=0.46x+7.36(x4,且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4x34时,0.5x+634时,0.5x+60.46x+7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.二、B组1.有一组实验数据如下表所示:x12345y1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是()

6、A.y=logax(a1)B.y=ax+b(a1)C.y=ax2+b(a0)D.y=logax+b(a1)解析:通过所给数据可知y随x增大,其增长速度越来越快,而选项A,D中的函数增长速度越来越慢,而选项B中的函数增长速度保持不变,故选C.答案:C2.若x(0,1),则下列结论正确的是()A.2xx12lg xB.2xlg xx12C.x122xlg xD.lg xx122x解析:在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=x12,y=lg x的图象.如图所示,由图可知当x(0,1)时,2xx12lg x.答案:A3.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=ekt(

7、其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖个.解析:当t=0.5时,y=2,2=e12k,k=2ln 2,y=e2tln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.答案:2ln 21 0244.如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息:骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h;骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者;骑摩托车者在出发1.5 h后与骑

8、自行车者速度一样.其中正确信息的序号是.解析:看横轴易知正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此正确;两条线的交点的横坐标对应着4.5,故正确,错误.答案:5.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解:方案一:5年后树木面积是10+15=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)515.

9、386(万平方米).15.38615,方案二较好.6.某地区今年1月、2月、3月患某种传染病的人数分别为52,54,58.为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型y=ax2+bx+c,乙选择了模型y=pqx+r,其中y为患病人数,x为月份数,a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月、5月、6月份的患病人数分别为66,82,115,你认为谁选择的模型较好?解:依题意得a12+b1+c=52,a22+b2+c=54,a32+b3+c=58,即a+b+c=52,4a+2b+c=54,9a+3b+c=58,解得a=1,b=-1,c=52,甲:y1=x2-x+52.又pq1+r=52,pq2+r=54,pq3+r=58,-,得pq2-pq1=2,-,得pq3-pq2=4,得q=2.将q=2代入式,得p=1.将q=2,p=1代入式,得r=50.乙:y2=2x+50.计算当x=4时,y1=64,y2=66;当x=5时,y1=72,y2=82;当x=6时,y1=82,y2=114.可见,乙选择的模型较好.