2024年新高考新结构数学选填压轴好题汇编01（解析版）.pdf

1、12024 年新高考新结构数学选填压轴好题汇编 01一、单选题1.(2024广东高三统考阶段练习)在各棱长都为 2 的正四棱锥 V-ABCD 中，侧棱 VA 在平面 VBC 上的射影长度为()A.2 63B.2 33C.3D.2【答案】B【解析】把正四棱锥 V-ABCD 放入正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，则 V 是上底面的中心，取 A1B1的中点 E，C1D1的中点 F，连接 EF，BE，CF，过 A 作 AG BE，垂足为 G，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，BC 平面 ABB1A1，AG 平面 ABB1A1，所以 BC AG，又 BC BE=B，BC,BE 平面 EFC

2、B，所以 AG 平面 EFCB，所以侧棱 VA 在平面 VBC 上的射影为 VG，由已知得，AA1=2，EB=AA21+AB22=3，所以 SABE=12 2 2=12 3 AG，所以 AG=2 23，所以 VG=VA2-AG2=22-2 232=2 33故选：B2.(2024广东高三校联考开学考试)已知 a=14，b=3 e-1，c=2ln2-ln3，则()A.a b cB.a c bC.c a bD.c b a【答案】B【解析】令 f x=ex-x 0 x 1、g x=lnx+1-x 0 x 0，故 f x在 0,1上为增函数，故 f x f 0=1，ex x+1，其中 0 x 13+1，

3、即 3 e-1 13，故 b 13；而 13-2ln2+ln3=13-ln 43=13 3-ln 6427=13 ln 27 e364 13 ln 27 364 0，故 13 2ln2-ln3=c，故 b c；又 g x=1-xx 0，故 g x在 0,1上为增函数，故 g x g 1=0，lnx+1-x 0，其中 0 x 1，故 ln 34+1-34 0，即则 14-ln 34=ln 43，故 a c a.故选：B.3.(2024广东高三校联考开学考试)已知函数 f x=2sin2x+3sin2x 0在 0,上恰有两个零点，则 的取值范围是()A.23,1B.1,53C.23,1D.1,53

4、2【答案】B【解析】由题意可得 f(x)=2sin2x+3sin2x=3sin2x-cos2x+1=2sin 2x-6+1.令 2sin 2x-6+1=0，解得 sin 2x-6=-12，因为 0 x ，所以-6 2x-6 2-6.因为 f(x)在(0,)上恰有两个零点，所以 116 2-6 196，解得 1 0，a2+ab+2b2=1，则 a2+2b2的最小值为()A.8-2 27B.2 23C.34D.7-2 28【答案】A【解析】因为 ab 0，得：a2+2b2 2 2a2b2=2 2ab(当且仅当 a=2b 时成立)，即得：ab a2+2b22 2=24(a2+2b2)，则 1=a2+

5、ab+2b2 a2+2b2+24(a2+2b2)=4+24(a2+2b2)，得：a2+2b214+24=8-2 27，所以 a2+2b2的最小值为 8-2 27，故选：A.5.(2024广东湛江统考一模)在一次考试中有一道 4 个选项的双选题，其中 B 和 C 是正确选项，A 和 D 是错误选项，甲、乙两名同学都完全不会这道题目，只能在 4 个选项中随机选取两个选项设事件 M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”，事件 N=“甲、乙两人所选选项完全不同”，事件 X=“甲、乙两人所选选项完全相同”，事件 Y=“甲、乙两人均未选择 B 选项”，则()A.事件 M 与事件 N 相互独立B.事件 X 与

6、事件 Y 相互独立C.事件 M 与事件 Y 相互独立D.事件 N 与事件 Y 相互独立【答案】C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情形：有一个选项相同，两个选项相同，两个选项不相同，所以 P M=C14 C13 C12C24 C24=23，P N=C24C22C24 C24=16，P X=C24C24 C24=16，P Y=C23 C23C24 C24=14，因为事件 M 与事件 N 互斥，所以 P MN=0，又 P M P N=19，所以事件 M 与事件 N 不相互独立，故 A 错误；P XY=C23C24 C24=112 P XP Y=124，故 B 错误；由 P MY=C13 C12

7、C24 C24=16=P MP Y，则事件 M 与事件 Y 相互独立，故 C 正确；3因为事件 N 与事件 Y 互斥，所以 P NY=0，又 P Y P N=124，所以事件 N 与事件 Y 不相互独立，故 D 错误.故选：C6.(2024广东梅州统考一模)如图，正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2，点 P 是面 ABB1A1上的动点，若点 P 到点 D1的距离是点 P 到直线 AB 的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹是()的一部分A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】C【解析】由题意知，以 D 为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为 x,y,z 轴建立如图空间直

8、角坐标系，则 A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,2)，设 P 1,m,n(m,n 0)，所以 PD1=(-1,-m,2-n)，因为 P 到 D1的距离是 P 到 AB 的距离的 2 倍，所以 PD1=2n，即-12+-m2+2-n2=4n2，整理，得9 n+23219-3m219=1，所以点 P 的轨迹为双曲线.故选：C7.(2024广东深圳统考一模)已知双曲线 E:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过点 F2的直线与双曲线 E 的右支交于 A,B 两点，若 AB=AF1，且双曲线 E 的离心率为2，则 cosBAF1=()A.-3 78B

9、.-34C.18D.-18【答案】D【解析】因为双曲线 E 的离心率为2，所以 c=2a，因为 AB=AF1，所以 BF2=AB-AF2=AF1-AF2=2a，由双曲线的定义可得 BF1-BF2=BF1-2a=2a，所以 BF1=4a=2 BF2，在 BF1F2中，由余弦定理得 cosBF2F1=BF22+F1F22-BF122 BF2 F1F2=4a2+8a2-16a22 2a 2 2a=-24，在 AF1F2中，cosF1F2A=-cosF1F2B=24，设 AF2=m，则 AF1=m+2a，由 AF12=F1F22+AF22-2 F1F2AF2cosF1F2A 得(2a+m)2=(2 2

10、a)2+m2-2 2 2a m 24，解得 m=23 a，所以 AF1=8a3，4所以 cosBAF1=AF12+AB2-BF122 AF1 AB=64a29+64a29-16a22 8a3 8a3=-18.故选：D8.(2024广东深圳统考一模)已知数列 an满足 a1=a2=1，an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(k N)，若 Sn为数列an的前 n 项和，则 S50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【解析】数列 an中，a1=a2=1，an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(k N)，当 n=2k-1,k N 时，an+2-an=2，即数列

11、an的奇数项构成等差数列，其首项为 1，公差为 2，则 a1+a3+a5+a49=25 1+25 242 2=625，当 n=2k,k N 时，an+2an=-1，即数列 an的偶数项构成等比数列，其首项为 1，公比为-1，则 a2+a4+a6+a50=1 1-(-1)251-(-1)=1，所以 S50=(a1+a3+a5+a49)+(a2+a4+a6+a50)=626.故选：C9.(2024湖南长沙长郡中学校考一模)已知实数 a,b 分别满足 ea=1.02，ln b+1=0.02，且 c=151，则()A.a b cB.b a cC.b c aD.c a 1，则 f x=1x-2 x+1-

12、2 x-1x+12=x-12x x+12，则当 x 1 时，f x 0，故 f x在 0,+上单调递增，故 f 1.02=ln1.02-2 1.02-11.02+1=ln1.02-2101 f 1=0，即 a=ln1.02 2101 2102=151=c，即 a c，由 ln b+1=0.02，则 b=e0.02-1，令 g x=ex-ln 1+x-1，x 0，则 g x=ex-1x+1，5令 h x=ex-1x+1，则当 x 0 时，h x=ex+1x+12 0 恒成立，故 g x在 0,+上单调递增，又 g 0=e0-11=0，故 g x 0 恒成立，故 g x在 0,+上单调递增，故 g

13、 0.02=e0.02-ln 1+0.02-1 g 0=0，即 e0.02-1 ln1.02，即 b a，故 c a b 0的焦距为 2c，直线 y=ba x+b2 与椭圆 C 交于点 P,Q，若 PQ7c，则椭圆 C 的离心率的取值范围为()A.32,1B.0,22C.105,1D.0,13【答案】C【解析】联立方程y=ba x+b2x2a2+y2b2=1，消去 y，整理得 8x2+4ax-3a2=0，则 =4a2-4 8 -3a2=112a2 0，设 P,Q 的横坐标分别为 x1,x2，则 x1+x2=-a2，x1 x2=-3a28，所以 PQ=1+ba2 x1-x2=1+ba2 x1+x

14、22-4x1x2=a2+b2a2a24+3a22=72a2+b2，由 PQ7c，得72a2+b2 7c，整理得 a2+b2 4c2，即 a2+a2-c2 4c2，即 c2a2 25，又 0 e 1，则 e=ca 105，故105 e 0，所以 y1=3-12.故选：B.12.(2024湖北武汉统考模拟预测)在三棱锥 P-ABC 中，AB=2 2，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且 PC AB，则二面角 P-AB-C 的余弦值的最小值为()A.23B.34C.12D.105【答案】A【解析】因为 PA+PB=4=2a，所以 a=2，点 P 的轨迹方程为 x24+y22=1(椭球)，又因

15、为 CA-CB=2，所以点 C 的轨迹方程为 x2-y2=1，(双曲线的一支)过点 P 作 PH AB,AB PC，而 PH PC=P,PF,PC 面 PHC，所以 AB 面 PHC，设 O 为 AB 中点，则二面角 P-AB-C 为 PHC，所以不妨设 OH=2cos,0,2,PH=2sin,CH=4cos2-1，所以 cosPHC=2sin2+4cos2-1-12 2sin 4cos2-1=2cos22 2sin 4cos2-1=22 1-sin2sin 3-4sin2，7所以 cos2PHC=12 1-sin22sin2 3-4sin2，令 1-sin2=t,0 t 0，f t单调递增，

16、当 t 2,2时，f t f 0=0所以 t 0,2，当 t=2 时，f t取最大值，没有最小值，即当 t=2 时 tan 取最大值，从而 取最大值，由对称性知当 t=2 时，对应 P 点有且仅有两个点，所以有且仅有两点 P 使二面角 B-l-C 取得最大值故选：D17.(2024浙江湖州湖州市第二中学校考模拟预测)设 F1,F2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左，右焦点，以 F1为圆心且过 F2的圆与 x 轴交于另一点 P，与 y 轴交于点 Q，线段 QF2与 C 交于点 A已知 APF2与 QF1F2的面积之比为 3:2，则该椭圆的离心率为()A.23B.13-3C.

17、3-1D.3+14【答案】B【解析】由题意可得 F1-c,0、F2 c,0，F1F2=2c，则以 F1为圆心且过 F2的圆的方程为 x+c2+y2=4c2，令 x=0，则 yP=3c，由对称性，不妨取点 Q 在 x 轴上方，即 P 0,3c，10则 lQF2:y-3c=3c-00-cx，即 y=-3x+3c，有 SQF1F2=12 2c 3c=3c2，则 SAPF2=32 3c2=3 32c2，又 SAPF2=12 yA 4c=2cyA，即有 3 32c2=2cyA，即 yA=3 34c，代入 lQF2:y=-3x+3c，有 3 34c=-3xA+3c，即 xA=14 c，即 A 14 c,3

18、 34c在椭圆上，故14 c2a2+3 34 c2b2=1，化简得 b2c2+27a2c2=16a2b2，由 b2=a2-c2，即有 a2-c2c2+27a2c2=16a2 a2-c2，整理得 c4-44a2c2+16a4=0，即 e4-44e2+16=0，有 e2=44-442-4 162=22-6 13 或 e2=44+442-4 162=22+6 13，由 22+6 13 1，故舍去，即 e2=22-6 13，则 e=22-6 13=13-32=13-3.故选：B.18.(2024浙江湖州湖州市第二中学校考模拟预测)设 a=sin0.2,b=0.16,c=12 ln 32，则()A.a

19、c bB.b a cC.c b aD.c a b【答案】D【解析】设 f x=sinx-x-x2,x 0,0.2,f x=cosx-1+2x，设 g x=f x,g x=-sinx+2 0，所以 g x g 0=0，所以函数 f x在 0,0.2上单调递增，所以 f 0.2=sin0.2-0.2-0.22=sin0.2-0.16 f 0=0，即 a b.根据已知得 c=12 ln 32=12 ln 1.20.8=12 ln 1+0.21-0.2，可设 h x=12 ln 1+x-ln 1-x-sinx,x 0,0.2，则 h x=1211+x+11-x-cosx=11-x2-cosx 0，所以

20、函数 h x在 0,0.2上单调递增，所以 h 0.2 h 0=0，即 c a.综上，c a b.故选：D.19.(2024浙江湖州湖州市第二中学校考模拟预测)对于无穷数列 an，给出如下三个性质：a1 0；对于任意正整数 n,s，都有 an+as an定义：同时满足性质和的数列为“s 数列”，同时满足性质和的数列为“t 数列”，则下列说法正确的是()A.若 an 为“s 数列”，则 an 为“t 数列”B.若 an=-12n，则 an 为“t 数列”C.若 an=2n-3，则 an 为“s 数列”D.若等比数列 an 为“t 数列”则 an 为“s 数列”【答案】C【解析】设 an=-2n-

21、3，此时满足 a1=-2-3=-5 an+as，an 为“s 数列”，因为 an+t=-2(n+t)-3=-2n-2t-3=an-2t an，所以 A 错误；若 an=-12n，则 an=-12-1=-12 -12n，若 n 为奇数，此时-12n 0 -12n，若 n 为偶数，此时-12n 0，则此时不存在 t N，使得-12n+t-12n，所以 B 错误；若 an=2n-3，则 an=2-3=-1 2(n+s)-6，所以 n,s N，an+s an+as，满足，所以 C 正确；不妨设 an=(-2)n，满足 a1=-2 an；当 n 为偶数，取 t=2，使得 an+2=(-2)n+2 an，

22、所以 an为“t 数列”，但此时不满足 n,s N，an+s an+as，不妨取 n=1,s=2，则 a1=-2,a2=4,a3=-8，而 a1+2=-8 0，则“x e4f 2x-3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】A【解析】因为 f x-f x 0，则 f x-f xex 0，令 g x=f xex，则 g x 0，所以 g x在 R 上单调递增.exf x+1 e4f 2x-3 f x+1ex+1 f 2x-3e2x-3 g x+1 g 2x-3 x+1 2x-3 x 4，所以“x exf 2x-3”的充分不必要条件，故选：A.21.

23、(2024江苏统考模拟预测)离心率为 2 的双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)与抛物线 E:y2=2px(p 0)有相同的焦点 F，过 F 的直线与 C 的右支相交于 A,B 两点.过 E 上的一点 M 作其准线 l 的垂线，垂足为 N，若MN=3 OF(O 为坐标原点)，且 MNF 的面积为 12 2，则 ABF1(F1为 C 的左焦点)内切圆圆心的横坐标为()A.14B.24C.22D.12【答案】D12【解析】MN=3 OF=3 p2,xM+p2=3p2,xM=p.y2M=2p2,yM=2p,SMNF=12 3p2 2p=12 2,p=4,F 2,0，双曲线中 c=2,

24、e=ca=2,a=1,b2=3，双曲线：x2-y23=1.设直线 AB:x=ty+2,A x1,y1,B x2,y2,AF=m,BF=n，ABF1内切圆圆心为 I，所以 m=x1-22+y21=x21-4x1+4+3x2-3=2x1-12=2x1-1=2x1-1，同理 n=2x2-1，从而 AB=m+n=2 x1+x2-2，由双曲线定义知 AF1=m+2a=2x1-1+2=2x1+1，同理 BF1=2x2+1；接下来我们证明如下引理：三个不共线的点 C x3,y3,D x4,y4,E x5,y5构成的三角形的内心坐标为GDEx3+CEx4+CDx5DE+CE+CD,DEy3+CEy4+CDy5

25、DE+CE+CD，先来证明 G 是三角形 CDE 的内心当且仅当 DEGC+CEGD+CDGE=0，若 DEGC+CEGD+CDGE=0，则 DEGC+CEGC+CD+CDGC+CE=0，则 CG=CECDDE+CE+CDCDCD+CECE，而由平行四边形法则可知 CDCD+CECE与 DCE 的角平分线共线，所以 CG 经过三角形 CDE 的内心，同理 DG 经过三角形 CDE 的内心，EG 经过三角形 CDE 的内心，所以点 G 是三角形 CDE 的内心，由于上述每一步都是等价变形，反正亦然，所以 G 是三角形 CDE 的内心当且仅当 DEGC+CEGD+CDGE=0，不妨设三角形 CDE

26、 的内心 G x,y，则由 DEGC+CEGD+CDGE=0 得 DEx3-x+CEx4-x+CDx5-x=0，所以解得 x=DEx3+CEx4+CDx5DE+CE+CD，同理 y=DEy3+CEy4+CDy5DE+CE+CD，13从而 GDEx3+CEx4+CDx5DE+CE+CD,DEy3+CEy4+CDy5DE+CE+CD，引理得证；由上述引理，即由内心坐标公式有 xI=2x2+1x1+2x1+1x2-2 2 x1+x2-22x2+1+2x2+1+2 x1+x2-2=4x1x2-3 x1+x2+44 x1+x2，联立 x2-y23=1 与 AB:x=ty+2，整理并化简得 3t2-1y2

27、+12ty+9=0，=144t2+36 3t2-1=36 t2+1 0,y1+y2=-12t3t2-1,y1y2=93t2-1，所以 x1+x2=t y1+y2+4=t -12t3t2-1+4=-43t2-1，x1x2=ty1+2ty2+2=t2y1y2+2t y1+y2+4=t293t2-1+2t -12t3t2-1+4=-3t2-43t2-1，所以 xI=4x1x2-3 x1+x2+44 x1+x2=-12t2-163t2-1+123t2-1+4-163t2-1=12，ABF1内切圆圆心在直线 x=12 上.故选：D.22.(2024云南昆明统考模拟预测)已知函数 f x=x-1ex+a在

28、区间-1,1上单调递增，则 a 的最小值为()A.e-1B.e-2C.eD.e2【答案】A【解析】由题意得 f x 0 在-1,1上恒成立，f x=ex+a+x-1ex=xex+a，故 xex+a 0，即 a-xex，令 g x=-xex，x -1,1，则 g x=-ex-xex=-x+1ex g-1=e-1，故 a e-1，故 a 的最小值为 e-1.故选：A23.(2024湖南高三校联考开学考试)已知函数 f x=x-aexx+1的定义域为 0,4，若 f x是单调函数，且f x有零点，则 a 的取值范围是()A.0,4B.0,3C.0,2D.0,e【答案】B【解析】因为 f x有零点，所

29、以方程 f x=0 有解，即 x-a=0 在 0,4上有解，所以 a 0,4又由 f x=x-aexx+1可得：f x=x2+1-ax+1x+12ex因为 f x是单调函数，所以函数 g x=x2+1-ax+1 0 在 0,4上恒成立或 g x=x2+1-ax+1 0 在 0,4上恒成立因为 g 0=1 0，所以 g x=x2+1-ax+1 0 在 0,4上不可能恒成立即函数 g x=x2+1-ax+1 0 在 0,4上恒成立，即 x+1x+1-a 0 在 0,4上恒成立14因为 x+1x+1-a 3-a(当且仅当 x=1 时，等号成立)，故须使 3-a 0，解得 a 3综上，a 的取值范围是

30、 0,3故选：B.24.(2024山东高三山东省实验中学校考开学考试)双曲线 M:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右顶点分别为A,B，曲线 M 上的一点 C 关于 x 轴的对称点为 D，若直线 AC 的斜率为 m，直线 BD 的斜率为 n，则当mn+9mn取到最小值时，双曲线离心率为()A.3B.4C.3D.2【答案】D【解析】设 A(-a,0),B(a,0),C(x,y),D(x,-y)，则 m=kAC=yx+a，n=kBD=-yx-a，所以 mn=-y2x2-a2，将曲线方程 x2-a2a2=y2b2 代入得 mn=-b2a2，又由均值定理得 mn+9mn=mn+9mn 2mn

31、9mn=6，当且仅当 mn=9mn，即 mn=b2a2=3 时等号成立，所以离心率 e=1+b2a2=2，故选：D.二、多选题25.(2024广东高三统考阶段练习)若过点(a,b)可作曲线 f(x)=x2lnx 的 n 条切线(n N)，则()A.若 a 0，则 n 2B.若 0 a e-32，且 b=a2lna，则 n=2C.若 n=3，则 a2lna b 0，所以 g(x)在 0,e-32上单调递增，x e-32,+，g(x)0，所以在 e-32,+上单调递减，g e-32=-2a e-32+12 e-3-b，在 0,+两侧均有可能为负，同时极大值可能为正，所以 g(x)至多有 2 个零点

32、，故 A 正确；当 a 0,e-32时，x (0,a)和 x e-32,+时，g(x)0，所以 g(x)在 a,e-32上单调递增，g(a)=a2lna-b，g e-32=-2ae-32+12 e-3-b，当 b=a2lna 时，g(a)=0，所以 g e-32 0，结合图象，值域为-,-2ae-32+12 e-3-b，所以 n=2，B 正确；若 n=3，则 g(a)0 g e-32，即 a2lna b e-32 时，g e-32 0 g(a)，即-2ae-32+12 e-3 b 0 时，g(x)有 1 个零点，即 b rnC.p5=934D.p7 p8【答案】ABD【解析】画出树状图，结合图

33、形结合树状图可知：r2=1,r3=2,r4=3,r5=5,r6=8,r7=13,r8=21,r9=34，对于选项 A：可知 r6=8，故 A 正确；对于选项 B：均有 rn+1 rn，故 B 正确；对于选项 C：因为 r9=34，过数字 5 的路线有 5 条，所以 p5=1-r5r9=2934，故 C 错误；对于选项 D：因为 p7=1-r7r9=2134,p8=1-r8r9=1334，所以 p7 p8，故 D 正确；19故选：ABD.30.(2024广东梅州统考一模)已知函数 f x=esinx-ecosx，则下列说法正确的是()A.f x的图象关于直线 x=4 对称B.f x的图象关于点4

34、,0中心对称C.f x是一个周期函数D.f x在区间 0,内有且只有一个零点【答案】BCD【解析】AB 选项，f x的定义域为 R，f2-x=esin 2-x-ecos 2-x=ecosx-esinx=-f x，所以 f x关于点4,0中心对称，A 选项错误，B 选项正确.C 选项，f x+2=esin x+2-ecos x+2=esinx-ecosx=f x，所以 f x是周期函数，C 选项正确.D 选项，令 f x=esinx-ecosx=0 得 esinx=ecosx，所以 sinx=cosx，在区间 0,上，解得 x=4，所以 f x在区间 0,内有且只有一个零点，所以 D 选项正确.

35、故选：BCD31.(2024广东深圳统考一模)如图，八面体 的每一个面都是边长为 4 的正三角形，且顶点 B,C,D,E 在同一个平面内若点 M 在四边形 BCDE 内(包含边界)运动，N 为 AE 的中点，则()A.当 M 为 DE 的中点时，异面直线 MN 与 CF 所成角为 3B.当 MN 平面 ACD 时，点 M 的轨迹长度为 2 2C.当 MA ME 时，点 M 到 BC 的距离可能为3D.存在一个体积为 103 的圆柱体可整体放入 内【答案】ACD【解析】20因为 BCDE 为正方形，连接 BD 与 CE，相交于点 O，连接 OA，则 OD，OE，OA 两两垂直，故以 OD,OE,

36、OA为正交基地，建立如图所示的空间直角坐标系，D(2 2,0,0)，B(-2 2,0,0)，E(0,2 2,0)，C(0,-2 2,0)，A(0,0,2 2)，F(0,0,-2 2)，N 为 AE 的中点，则N(0,2,2).当 M 为 DE 的中点时，M(2,2,0)，MN=-2,0,2，CF=0,2 2,-2 2，设异面直线 MN 与 CF 所成角为，cos=cos MN,CF=MN CFMNCF=0+0-42 4=12，0,2，故 =3，A 正确；设 P 为 DE 的中点，N 为 AE 的中点，则 PN AD，AD 平面 ACD，PN 平面 ACD，则 PN 平面 ACD，又 MN 平面

37、 ACD，又 MN PN=N，设 Q BC，故平面 MNP 平面 ACD，平面 ACD 平面 BCDE=CD，平面 MNP 平面 BCDE=PQ，则 PQ CD，则 Q 为 BC 的中点，点 M 在四边形 BCDE 内(包含边界)运动，则 M PQ，点 M 的轨迹是过点 O 与 CD 平行的线段 PQ，长度为 4，B 不正确；当 MA ME 时，设 M(x,y,0)，MA=(-x,-y,2 2)，ME=(-x,2 2-y,0)，MA ME=x2+y(y-2 2)=0，得 x2+y2-2 2y=0，即 x2+(y-2)2=2，即点 M 的轨迹以 OE 中点 K 为圆心，半径为2 的圆在四边 BC

38、DE 内(包含边界)的一段弧(如下图)，K 到 BC 的距离为 3，弧上的点到 BC 的距离最小值为 3-2，因为 3-2 3，所以存在点 M 到 BC 的距离为3，C 正确；21由于图形的对称性，我们可以先分析正四棱锥 A-BCDE 内接最大圆柱的体积，设圆柱底面半径为 r，高为 h，P 为 DE 的中点，Q 为 BC 的中点,PQ=4，AO=2 2，根据 AGH 相似 AOP，得 GHOP=AGAO，即 r2=2 2-h2 2，h=2(2-r)，则圆柱体积 V=r2h=2r2(2-r)，设 V(r)=2(2r2-r3)(0 r 2)，求导得 V(r)=2(4r-3r2)，令 V(r)=0

39、得，r=43 或 r=0，因为 0 r 2，所以 r=0 舍去，即 r=43，当 0 r 0，当 43 r 2 时，V(r)0，故 32 227 53所以存在一个体积为 103的圆柱体可整体放入 内，D 正确.故选：ACD.32.(2024湖南长沙长郡中学校考一模)已知函数 f x=Atan x+(0,0 )的部分图象如图所示，则()A.A=6B.f x的图象过点116,2 3322C.函数 y=f x的图象关于直线 x=53 对称D.若函数 y=f x+f x在区间-56,6上不单调，则实数 的取值范围是-1,1【答案】BCD【解析】A：设该函数的最小正周期为 T，则有 T=6-56 =1，

40、即 f x=Atan x+，由函数的图象可知：6+=2 =3，即 f x=Atan x+3，由图象可知：f 0=Atan 3=2 3 A=2，所以 A=23，因此本选项不正确；B：f 116=2tan 116+3=2tan 136=2tan 6=2 33=2 33，所以本选项正确；C：因为 f 53-x=2tan 53-x+3=2tanx，f 53+x=2tan 53+x+3=2tanx，所以 f 53-x=f 53+x，所以函数 y=f x的图象关于直线 x=53 对称，因此本选项正确；D：y=f x+f x=2tan x+3+2tan x+3当 x -3,6时，y=f x+f x=2tan

41、 x+3+2tan x+3=2tan x+3+2tan x+3=2+2tan x+3，当 x -56,-3，y=f x+f x=2tan x+3+2tan x+3=-2tan x+3+2tan x+3=-2+2tan x+3，当函数 y=f x+f x在区间-56,6上不单调时，则有 2+2-2+2 0-1 1，故选：BCD33.(2024湖南长沙长郡中学校考一模)小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有 1 10 的 10 个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于 5 的小球，则前进 1 步，若每次抽取号码大于 5 的小球，则前进 2 步.每次抽取小

42、球互不影响，记小郡一共前进 n 步的概率为 pn，则下列说法正确的是()A.p2=14B.pn=12 pn-1+12 pn-2 n 3C.pn=1-12 pn-1 n 2D.小华一共前进 3 步的概率最大【答案】BC【解析】根据题意，小郡前进 1 步的概率和前进 2 步的概率都是 12，所以 P1=12，P2=12 12+12=34，23故选项 A 错误；当 n 3 时，其前进几步是由两部分组成：先前进 n-1 步，再前进 1 步，其概率为 12 pn-1，或者先前进 n-2 步，再前进 2 步，其概率为 12 pn-2，所以 pn=12 pn-1+12 pn-2 n 3，故选项 B 正确；因

43、为 pn=12 pn-1+12 pn-2 n 3，所以 2pn+pn-1=2pn-1+pn-2 n 3，而 2p2+p1=2 34+12=2，所以 2pn+pn-1=2 n 2，即 pn=1-12 pn-1 n 2，故选项 C 正确；因为当 n 2 时，pn=1-12 pn-1，所以 pn-23=-12 pn-1-23，又 p1-23=12-23=-16，所以数列 pn-23是首项为-16，公比为-12 的等比数列.所以 Pn-23=-16 -12n-1，所以 Pn=23-16 -12n-1.当 n 为奇数时，n-1 为偶数，则 Pn=23-16 12n-1，此时数列 pn单调递增，所以 Pn

44、 0 时，令 1-kex=0，则 x=lnk，只需保证 lnk x1,x2,x3可使得方程有 4 个实根，故 C 正确；由 B 可知，x1=-x3，而 f x3f x1=ex3 f x3=ex3f-x3，又 f x=aexln 1+x1-x+a ex+121-x2-ex,ex3f-x3=aln 1-x31+x3+a ex3+121-x23-1，所以 f x3=aex3ln 1+x31-x3+a ex3+121-x23-ex325=aln 1-x31+x3+a ex3+121-x23-1+aex3ln 1+x31-x3-aln 1-x31+x3-ex3+1=ex3f-x3+a ex3+1ln 1

45、+x31-x3-ex3+1=ex3f-x3，故 D 正确；对于 A，aln 1+x1-x=-1-exex+1，设 p x=aln 1+x1-x,m x=-1-exex+1，则 p x=2a1-x2,m x=2exex+12，所以 p 0=2a,m 0=12，从而 0 2a 12,0 a 0的焦点 F 且与 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，ABmin=4，l 为 C 的准线，AM l，垂足为 M，Q 0,1，则下列说法正确的是()30A.p=2B.AM+AQ的最小值为2C.若 MFO=3，则 AB=5D.x 轴上存在一点 N，使 kAN+kBN 为定值【答案】ABD【解析】如图，对

46、于 A 项，因直线 l1经过点 F,故当且仅当 AB 为通径时，|AB|最短，即 2p=4，即 p=2，故 A 项正确；对于 B 项，由抛物线定义知|AM|=|AF|，故 AM+AQ=AF+AQ，由图知，当且仅当 Q,A,F 三点共线时，AF+AQ取得最小值，即AM+AQmin=QF=2,故 B 项正确；对于 C 项，因|FK|=p=2,在 RtMFK 中，由 MFO=3 可得：|KM|=2 3,即得点 P(3,2 3)，于是 l1:y=3x-3 代入 y2=4x 中，整理得：3x2-10 x+3=0，解得：xA=3,xB=13，即得 A(3,2 3),B 13,2 33，故|AB|=3-13

47、2+2 3-2 33=4 73,即 C 项错误；对于 D 项，设直线 l1:x=my+1，代入 y2=4x 中，整理得：y2-4my-4=0，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则得：y1+y2=4my1y2=-4，设在 x 轴上存在一点 N(t,0)，则 kAN+kBN=y1x1-t+y2x2-t=y1my1+1-t+y2my2+1-t=2my1y2+(1-t)(y1+y2)m2y1y2+(1-t)m(y1+y2)+(1-t)2=2m(-4)+4(1-t)m-4m2+4(1-t)m2+(1-t)2=2m(-4)+4(1-t)m-4m2+4(1-t)m2+(1-t)2=-4m(t+1)(t

48、-1)2-4m2t，故当 t=-1 时，kAN+kBN=0，即存在点 N(-1,0)使得 kAN+kBN 为定值 0.故 D 项正确.故选：ABD.42.(2024湖南高三校联考开学考试)已知 O 为坐标原点，P,Q 为抛物线 C:x2=2py(p 0)上两点，F 为 C 的焦点，若 F 到准线 l 的距离为 2，则下列结论正确的是()A.若 M 1,3，则 PMF 周长的最小值为 2+5B.若直线 PQ 过点 F，则直线 OP,OQ 的斜率之积为-14C.若 N 0,-1，则 QNQF的取值范围是 1,2D.若 POF 的外接圆与准线 l 相切，则该外接圆的面积为 9431【答案】BCD【解

49、析】依题意，p=2，则抛物线 C：x2=4y 的焦点 F(0,1)，作 PB l，垂足为 B，PMF 的周长为 PF+PM+MF=PB+PM+MF 4+MF=4+5，当且仅当 M,P,B 共线时取等号，A 错误；若直线 PQ 过点 F，设直线 PQ 的方程为 y=kx+1，由 x2=4yy=kx+1，得 x2-4kx-4=0，设 P x1,y1,Q x2,y2，则 x1+x2=4k,x1x2=-4，y1y2=x214 x224=1，因此直线 OP，OQ 的斜率之积为 y1x1 y2x2=-14，B 正确；若 N(0,-1)，则|QN|QF|=x22+(y2+1)2y2+1=4y2+(y2+1)

50、2y2+1，令 t=y2+1 1,0 0 时，f x-f-x mx 恒成立，则 m 的最大值为-1【答案】ACD【解析】已知函数 f x=lnx2+1-x+1，由于x2+1 x2=|x|x，即x2+1-x 0，故函数 f x的定义域为 R，对于选项 A，函数 f x的导函数为：f x=x-x2+1x2+1 (x2+1-x+1)，由于x2+1-x 0，得 f x 0，得x2+1-x+1 1，得 f x=lnx2+1-x+1 ln1=0，当 x+时，x2+1-x+1=1x2+1+x+1 1，当 x-时，x2+1-x+1+，同时 f x在其定义域上是单调递减函数，故 f x的值域是 0,+选项 C

51、正确；对于选项 D，定义 F(x)=f x-f-x-mx，x 0，则 F(x)=lnx2+1-x+1-lnx2+1+x+1-mx，F(x)=ln1x2+1+x+1-lnx2+1+x+1-mx，F(x)=lnx2+1+x+1x2+1+x-lnx2+1+x+1-mx，故 F(x)=-lnx2+1+x-mx，其导函数 F(x)=-xx2+1+1x2+1+x-m=-1x2+1-m，若 x (0,+)，f x-f-x mx 恒成立，即函数 F(x)0 恒成立，由于 F(0)=0，则 F(0)0 在 x 0,+上恒成立，即 F(0)=-1-m 0，得 m-1，当 m=-1 时，G(x)=-lnx2+1+x

52、+x，x (0,+)G(x)=-1x2+1+1，由于 x (0,+)，则x2+1 1，1x2+1 0，所以函数 G(x)在区间(0,+)上单调递增，且 G(0)=-ln1+0=0，则 x (0,+)时，G(x)0 恒成立，同时 x (0,+)，由于 m-1，-mx x则 F(x)=-lnx2+1+x-mx-lnx2+1+x+x=G(x)0，显然 F(x)0 恒成立，x (0,+)时，f x-f-x mx 恒成立，则 m 的最大值为-1 正确；选项 D 正确；故选：ACD.三、填空题44.(2024广东高三统考阶段练习)若圆 C 与抛物线:y=x26 在公共点 B 处有相同的切线，且 C 与 y

53、 轴切于 的焦点 A，则 sin ACB2=【答案】3233【解析】抛物线:y=x26 的焦点为 A 0,32，准线 l 为 y=-32，依题意不妨令 C 在第一象限，C a,32，则圆 C 的半径 r=a，设 B x0,16 x20 x0 0，则圆 C 的方程为(x-a)2+y-322=a2，由 y=16 x2，则 y=13 x，所以抛物线在点 B 处的切线 m 的斜率 k=x03，因为圆 C 与抛物线:y=x26 在公共点 B 处有相同的切线，所以直线 CB 与 m 垂直，所以16 x20-32x0-a x03=-1，则 a=12 x0+118 x30，又点 B 在圆 C 上，所以 x0-

54、a2+16 x20-322=a2，则 x20-2ax0+16 x20-322=0，所以 x20-2 12 x0+118 x30 x0+16 x20-322=0，整理可得 x40+6x20-27=0，解得，x20=3 或 x20=-9(舍去)，所以 r=a=12 x0+118 x30=23,yB=16 x20=12，所以|AB|=2，所以 sin ACB2=|AB|2|AC|=123=32 故答案为：3245.(2024广东高三校联考开学考试)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F1的直线 l 与双曲线 C 的两支分别交于 A，B 两点若

55、AB=3BF1，且 AF2=BF2，则双曲线 C 的离心率是【答案】413【解析】设 BF1=m，则 AF1=4m.由双曲线的定义可得 BF2=m+2a,AF2=4m-2a.因为 AF2=BF2，所以 m+2a=4m-2a，所以 m=4a3，则 BF1=4a3,AF1=16a3，AF2=BF2=10a3.在 BF1F2中，由余弦定理可得 BF22=BF12+F1F22-2 BF1F1F2cosBF1F2，即 1009 a2=169 a2+4c2-163 accosBF1F2，即 163 accosBF1F2=4c2-283 a2，在 AF1F2中，由余弦定理可得 AF22=AF12+F1F22

56、-2 AF1F1F2 cosBF1F2，则 1009 a2=2569 a2+4c2-643 accosBF1F2，即 163 accosBF1F2=133 a2+c2，从而 4c2-283 a2=133 a2+c2，即 3c2=413 a2，即 c2a2=419，故 e=c2a2=413.故答案为：413.46.(2024广东湛江统考一模)已知 F1-c,0，F2 c,0分别为椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过点 P 3c,0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若 PB=2PA，F2B=3 F2A，则椭圆 C 的离心率为【答案】1051534【解析】由 PB=2

57、PA，得 A 为线段 PB 的中点，且点 P 在椭圆外，所以 3c a，则 e 13，又 P 3c,0，所以 F2为线段 PF1的中点，所以 AF2 BF1，设 F2A=m，则 BF1=2m，又 F2B=3 F2A，所以 F2B=3m，由椭圆的定义可知：2a=BF1+BF2=2m+3m=5m，得 m=25 a，如图，延长 BF1交椭圆 C 于点 Q，连接 QF2，则由椭圆的对称性可知，QF1=F2A=m，又 2a=QF1+QF2，故 QF2=4m，由余弦定理可得：cosQBF2=QB2+BF22-QF222 QB BF2=3m2+3m2-4m22 3m 3m=19，在 BF1F2中，F1F2=

58、2c，由余弦定理可得 4c2=4m2+9m2-2 2m 3m 19=353 m2，即 c2=3512 m2=3512 425 a2=715 a2，所以椭圆 C 的离心率为 e=ca=715=10515 13.故答案为：1051547.(2024广东梅州统考一模)已知圆 C:x-42+y2=5，点 P 在抛物线 T:y2=4x 上运动，过点 P 引圆 C 的切线，切点分别为 A，B，则 AB的取值范围为.【答案】1053,2 5【解析】依题意，圆 C:x-42+y2=5 的圆心为 C 4,0，半径 r=5，抛物线 T:y2=4x 的焦点为 F 1,0，画出圆和抛物线的图象如下图所示，设 P x0

59、,y0，则 y20=4x0，PC=x0-42+y20，切线长 PA=PB=PC2-r2=x0-42+y20-5，由 RtADC RtPAC 得 ADPA=ACPC，则 AD=PA rPC，PC 垂直平分弦 AB，则 AB=2 AD=2 PA rPC，即 AB=2 5 x0-42+y20-5x0-42+y20=2 5 1-5x0-42+y20=2 5 1-5x0-42+4x0=2 5 1-5x0-22+12又 x0 0，则 x0-22+12 12，即 0 5x0-22+12 512，则 712 1-5x0-22+12 1，则2161-5x0-22+12 1，35即1053 2 5 1-5x0-2

60、2+12 0)，设曲线 y=f x在点xi,f xi处切线的斜率为 ki i=1,2,3，若 x1,x2,x3均不相等，且 k2=-2，则 k1+4k3的最小值为【答案】18【解析】由于 f x=a x-x1x-x2x-x3(a 0)，故 f x=ax-x1x-x2+x-x2x-x3+x-x3x-x1，故 k1=a x1-x2x1-x3,k2=a x2-x3x2-x1，k3=a x3-x1x3-x2，则 1k1+1k2+1k3=1a x1-x2x1-x3+1a x2-x3x2-x1+1a x3-x1x3-x2=x3-x2+x1-x3+x2-x1a x1-x2x2-x3x3-x1=0，由 k2=

61、-2，得 1k1+1k3=12，由 k2=-2，即 k2=a x2-x3x2-x1 0，知 x2位于 x1,x3之间，不妨设 x1 x2 0,k3 0，故 k1+4k3=2 k1+4k31k1+1k3=2 5+k1k3+4k3k1 2 5+2k1k3 4k3k1=18，当且仅当k1k3=4k3k11k1+1k3=12，即 k1=6,k3=3 时等号成立，故则 k1+4k3的最小值为 18，故答案为：1849.(2024广东深圳统考一模)设点 A-2,0,B-12,0,C 0,1，若动点 P 满足 PA=2 PB，且 AP=AB+AC，则 +2 的最大值为【答案】2 2+43【解析】设 P(x,

62、y)，则 PA=(-2-x,-y),PB=-12-x,-y，由 PA=2 PB，得(-2-x)2+(-y)2=2-12-x2+(-y)2，整理，得 x2+y2=1，又 AP=(x+2,y),AB=32,0,AC=(2,1)，代入 AP=AB+AC x+2=32 +2y=，有 x+y+2=32 +3=32(+2)，所以 +2=23(x+y+2)，由 1=x2+y2 2xy，得 xy 12，当且仅当 x=y=22 时等号成立，所以(x+y)2=x2+2xy+y2 1+1=2，得 x+y 2，36所以 +2=23(x+y+2)23(2+2)=2 2+43.即 +2 的最大值为 2 2+43.故答案为

63、：2 2+4350.(2024湖南长沙长郡中学校考一模)如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为 4，下底面边长为 2，侧棱长为3，则球形灯半径 r 与正四棱台外接球半径 R 的比值为.【答案】5 57+57114【解析】如图所示，设正四棱台 A1B1C1D1-ABCD 上底面与下底面中心分别为 O1,O,作截面 ACC1A1，则正四棱台外接球球心 O 及球形灯的圆心 O 均在直线 OO1上，作 AH A1C1于 H.因为正四棱台的上底面边长为 4，下底面边长为 2，侧棱长为

64、3，则有 A1O1=2 2,AO=2，A1H=A1O1-AO=2，O1O=AH=A1A2-A1H 2=3-2=1.在 RtOO1A1中，OO1=OA12-A1O12=R2-8，在 RtOOA 中，OO=OA2-AO2=R2-2，所以 O1O=OO-OO1=R2-2-R2-8=1，整理得 R=572.由图可知，在圆 O 中，有 2r=R+OO1=R+R2-8,解得 r=R+R2-82=572+522=57+54，所以 rR=5 57+57114.故答案为：5 57+5711451.(2024湖北黄冈浠水县第一中学校考一模)已知函数 f x=x+ax-2a+x+4aa 0，若f sin0+f si

65、n 6+f sin 2=0，则关于 x 的不等式-f x+2a f x 0 恒成立，所以当 x-a 时，f x 0，当 x-a 时，f x 0f x=2 x+a2,x-4a-6a x+a,2a x-4a-2 x+a2,x 2a，当 x-4a 时，f x=2 x+a2，函数单调递增，当 2a x 12 时，则 f12 1，则 f-2a f 1，-f-2a-f 1，f 0+f 1=f 1-f-2a 0，此时 f 0+f12+f 1 0，同理可得当-a 0，当-a=12，即 a=-12 时，f12=0，f 0+f 1=0，满足 f 0+f12+f 1=0，即 a=-12 故 f x=2 x-122,

66、x 23 x-12,-1 x 2-2 x-122,x-1，当 x 2 时，f x=2 x-122 92，当-1 x 2 时，令 3 x-12=3，解得 x=32，当 x-1 时，f x=-2 x-122-92，又不等式-f x+2a f x 3，所以-f x-1=f 2-x f x 3=f32由 f x 3，得 x 32 由 f 2-x 1所以原不等式的解集为 1,32故答案为：1,3252.(2024湖北武汉统考模拟预测)“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验38容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，

67、一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从 1 号仓到达容器外的概率为【答案】1013【解析】设从 i 出发最终从 1 号口出的概率为 Pi，所以P1=23+13 P2P2=13 P1+0+13 P3=13 P1+16 P2P3=12 P2，解得 P1=1013.故答案为：1013.53.(2024湖北武汉统考模拟预测)设椭圆 x29+y25=1 的左右焦点为 F1，F2，过点 F2的直线与该椭圆交于 A，B 两点，若线段 AF2的中垂线过点 F1，则 BF2=【答案】107【解析】设线段 AF2的中垂线与 AF2相交于点 M

68、，由椭圆 x29+y25=1 方程可知，a=3，b=5，c=2；由已知有：AF1=F1F2=2c=4，点 A 在椭圆上，根据椭圆定义有：AF1+AF2=2a=6，所以 AF2=2，AM=MF2=1，在 RtF1F2M 中，cosF1F2M=F2MF1F2=14，F1F2M+F1F2B=，cosF1F2B=-14，点 B 在椭圆上，根据椭圆定义有：BF1+BF2=2a=6，设 BF2=m，则 BF1=6-m，F1F2=4，在 F1F2B 中由余弦定理有：cosF1F2B=F1F22+BF22-BF122 F1F2 BF2=16+m2-6-m28m=-14,解得 m=107，即 BF2=107.故

69、答案为：10754.(2024山东日照统考一模)已知正四棱锥 S-ABCD 的所有棱长都为 2；点 E 在侧棱 SC 上，过点 E 且垂直于 SC 的平面截该棱锥，得到截面多边形 H，则 H 的边数至多为，H 的面积的最大值为39【答案】54 23/432【解析】取 SC 中点 F,BF SC,DF SC,且 BF DF=F，BF,DF 平面 BDF，可知 SC 平面 BDF，根据平面的基本性质，作平面与平面 BDF 平行，如图至多为五边形.令 SESF=，则 EP=BF=3,SP=SB=2，可得 PB=BQ=PQ=2 1-,NQ=MP=BD=2 2，则 cosDFB=3+3-42 3 3=1

70、3，可得 sinDFB=1-cos2DFB=2 23，所以 SEMP=12 3 3 2 23=22，又因为 MN 与 NQ 的夹角为 SA 与 BD 夹角，而 SA 与 BD 垂直，则 SPMNQ=2 2 2 1-=4 2 1-，可得 S=4 2 1-+22=-3 22+4 2=-3 2 -232+4 23，可知：当 =23 时，S 取最大值 4 23.故答案为：5；4 23.55.(2024福建福州统考模拟预测)在平面直角坐标系 xOy 中，整点 P(横坐标与纵坐标均为整数)在第一象限，直线 PA，PB 与圆 C：x+22+y2=4 分别切于 A，B 两点，与 y 轴分别交于 M，N 两点，

71、则使得 PMN周长为 2 21 的所有点 P 的坐标是【答案】1,4或 2,3【解析】如图：40因为直线 PA，PB 分别与圆 C：x+22+y2=4 相切于 A，B 两点，且直线 PA，PB 分别与 y 轴交于 M，N两点，所以 PA=PB，AM=OM，BN=ON，所以 PMN 的周长为 PM+MN+PN=PM+OM+ON+PN=PM+AM+BN+PN=PA+PB=2 PA=2PC2-AC2=2|PC|2-4=2 21，所以 PC=5，设 P x0,y0,x0 0,y0 0，所以 x0+22+y20=25，因为 P 为整点，所以点 P 的坐标为 1,4或 2,3故答案为：1,4或 2,356

72、.(2024浙江湖州湖州市第二中学校考模拟预测)正方形 ABCD 位于平面直角坐标系上，其中 A(1,1)，B(-1,1)，C(-1,-1)，D(1,-1)考虑对这个正方形执行下面三种变换：(1)L：逆时针旋转 90(2)R：顺时针旋转 90(3)S：关于原点对称上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是 A，B，C，D 四个点所在的位置会发生变化例如，对原正方形作变换 R 之后，顶点 A 从(1,1)移动到(1,-1)，然后再作一次变换 S 之后，A 移动到(-1,1)对原来的正方形按 a1，a2，ak的顺序作 k 次变换记为 a1a2 ak，其中 ai L,R,S，i=1,2,k如果经过 k

73、 次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是 k-恒等变换例如，RRS 是一个 3-恒等变换则 3-恒等变换共种；对于正整数 n，n-恒等变换共种【答案】63 (-1)n+3n4【解析】3-恒等变换必定含 S，所以一共有 LLS，LSL，SLL，RRS，RSR，SRR 这 6 种 3-恒等变换；注意到，作用一次 S 变换相当于两次 L 变换；作用一次 R 变换相当于三次 L 变换我们记 L 为数字 1，S 为数字 2，R 为数字 3，作用相应的变化就增加相应的数字那么如果作了 n 次变换 a1a2 an(其中包含 p 个L、q 个 S、r 个 R)，当 p+2q+3r 是

74、4 的倍数时，就能得到一个 n-恒等变换我们假设作了 n 次变换之后得到的相应数字除以 4 的余数是 0，1，2，3 的情况数分别为 an，bn，cn，dn.把这 n 次变换分解成 n-1 次变换和第 n 次变换，假设经过 n 次变换之后余数为 0如果经过 n-1 次变换后的余数是 0，则第 n 次变换余数不可能为 0；如果经过 n-1 次变换后的余数分别是 1，2，3，则第 n 次变换余数必须分别为 3，2，1其他完全类似，因此an=bn-1+cn-1+dn-1，bn=an-1+cn-1+dn-1，cn=an-1+bn-1+dn-1，dn=an-1+bn-1+cn-1把后三个式子相加可得 b

75、n+cn+dn=3an-1+2 bn-1+cn-1+dn-1，代入第一个式子可得 an+1=2an+3an-1，an+1+an=3 an+an-1所以 an+1+an是公比为 3 的等比数列41已经算出 a3=6，而 2-恒等变换有 LR，RL，SS 这三种，故 a2=3因此，a3+a2=9，从而 an+1+an=a3+a2 3n-2=9 3n-2=3n两边同乘(-1)n+1，可得(-1)n+1an+1-(-1)nan=-(-3)n根据累加法可得(-1)nan-(-1)2a2=-n-1k=2(-3)k=-9 1-(-3)n-21-(-3)=-9-(-3)n4.于是 an=3 (-1)n+3n4

76、故答案为：6；3 (-1)n+3n457.(2024江苏统考模拟预测)在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，若 a=2,c=3,cosB=bcosC,P,Q 分别在边 AB 和 CB 上，且 PQ 把 ABC 的面积分成相等的两部分，则 PQ 的最小值为.【答案】3【解析】由 cosB=bcosC，得 a2+c2-b22ac=b a2+b2-c22ab，即 22+32-b22 2 3=b 22+b2-322 2b，解得 b=7，cosB=a2+c2-b22ac=4+9-72 2 3=12,B=3,SABC=12 2 3 32=3 32，SPBQ=3 34，令 BP=x,B

77、Q=y,12 x y 32=3 34,xy=3,y=3x，令0 x 30 0)的焦点 F 为椭圆 x24+y23=1的右焦点，直线 l 过点 F 交抛物线于 A,B 两点，且 AB=8.直线 l1,l2分别过点 A,B 且均与 x 轴平行，在直线 l1,l2上分别取点 M,N(M,N 均在点 A,B 的右侧)，ABN 和 BAM 的角平分线相交于点 P，则 PAB 的面积为.【答案】8 2【解析】由 x24+y23=1 的右焦点为 1,0，所以抛物线的焦点为 F(1,0)，故 p2=1，则 p=2，因此抛物线 y2=4x，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1，代入抛物线的方程

78、，得 y=2，所以 A(1,2)，B(1,-2)，所以|AB|=4，不合题意，当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y=k(x-1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立 y=k(x-1)y2=4x，得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0，所以 x1+x2=2k2+4k2，所以|AB|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4k2+4k2=8，所以 k=1，由对称性不妨设 k=1，则 AFx=45，因为 ABN 和 BAM 的平分线相交于点 P，AM BN，所以 PA PB，ABN=45，ABP=22.5，所以在 RtABP 中，AP=ABsin22.5=8sin22.5，BP=ABcos22.5=8cos22.5，所以 SABP=12 8sin22.5 8cos22.5=32sin22.58cos22.5=16sin45=8 2，故答案为：8 2