2021高考数学文科（全国版）一轮复习教师用书：第十章第一讲　椭圆 WORD版含解析.docx

1、第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆 1.2018全国卷,11,5分文已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1PF2,且PF2F1=60,则C的离心率()A.1 - 32 B.2 - 3 C.3 - 12 D.3 - 12.2020山西大同高三调研在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为22,过F1的直线l交C于A,B两点,且ABF2的周长为16,那么C的方程为()A.x236+y218=1B.x216+y210=1 C.x24+y22=1 D.x216+y28=13.2020湖北省宜昌一中模拟椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点

2、为F1( - c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F1MF2M=0,则椭圆的离心率的取值范围为()A.(0,22 B.(0,22)C.(22,1) D.22,1)4.2020江西抚州高三第一次联考已知点P是椭圆x216+y28=1上非顶点的动点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M为F1PF2的平分线上一点,且F1MMP=0,则|OM|的取值范围为()A.(0,3 B.(0,22C.(0,3) D.(0,22)5.2020云南师大附中高三模拟设F1,F2为椭圆C:x24+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且MF1F2的内心I的纵坐标为2 - 3,则F1MF2的余弦

3、值为.6.2019沈阳高三质量监测已知椭圆的方程为x29+y24=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则ABF2的周长的最小值为,ABF2的面积的最大值为. 考法1 椭圆定义的应用1(1)2020武汉市武昌实验中学模拟已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y29=1(a3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且F1PF2=120,则|PF1|PF2|=.(2)2020江西省九江市三校联考已知F是椭圆C:x225+y216=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,365),当APF的周长最大时,该三角形的面积为.(1)椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a余弦定理:|F1F2|2

4、=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|PF2|cos120得到|PF1|PF2|的值(2)条件1:椭圆方程x225+y216=1条件2:APF周长最大直线AF的方程yP的值目标:SAPF=12|FF|yA - yP|(1)由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,且|F1F2|=2c=2a2 - 9.根据余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|PF2|cos 120,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF1|PF2|+|PF1|PF2|=4a2 - |PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=36.故填36.(2)设椭圆的左焦点为F,由椭圆方程

5、得a=5,F(3,0),F( - 3,0).APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a - |PF|10+(|AF|+|AF|),当A,F,P三点共线且F在线段AP上时取等号,此时APF的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP - 9),将点(3, - 5)的坐标代入,可得( - 5)225+k+(3)29+k=1,解得k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为y220+x24=1.C2.2019全国卷,12,5分文已知椭圆C的焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(

6、)A.x22+y2=1B.x23+y22=1C.x24+y23=1D.x25+y24=1考法3 椭圆的几何性质命题角度1求椭圆离心率或其取值范围3 2017全国卷,10,5分已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为A.63B.33C.23D.13根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率.以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d=2abb2+a2=a,得a2=3b2,所以C的离心率

7、e=1 - b2a2=63.A命题角度2求与椭圆有关的最值或取值范围问题42017全国卷,12,5分文设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足AMB=120,则m的取值范围是A.(0,19,+)B.(0,39,+) C.(0,14,+) D.(0,34,+)焦点位 置不确定,分情况讨论.依题意得3mtanAMB2,0m3,所以3mtan60,0m3,解得00,且m5,将直线与椭圆的方程联立,得y - kx - 1=0,x25+y2m=1,整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.因为直线与椭圆恒有公共点,故=(10k)2 - 4(5k2+m)5(

8、1 - m)=20(5k2m - m+m2)0.因为m0,所以不等式等价于5k2 - 1+m0,即k21 - m5,由题意,可知不等式恒成立,则1 - m50,解得m1.综上,m的取值范围为m1且m5.解法二因为方程x25+y2m=1表示椭圆,所以m0且m5.因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即025+12m1,整理得1m1,解得m1.综上,m的取值范围为m1且m5.命题角度2弦长问题6 2019河北省六校联考已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦距为2c,且b=3c,圆O:x2+y2=r2(r0)与x轴交于

9、点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,PMN面积的最大值为3.(1)求圆O与椭圆E的方程;(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.(1)由题意,结合几何关系即可求得a,b,c的值求出圆O的方程及椭圆E的方程(2)当直线l的斜率不存在时,计算出|AB|当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,利用圆心到直线l的距离等于半径可得m2=1+k2联立直线与椭圆方程并消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,由弦长公式表示出|AB|利用换元法及二次函数的性质可得|AB|的取值范围(1)因为b=3c,所以a=2c.因为|PM|+|PN|=

10、2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=14a2.设P(x0,y0), - by0b,则SPMN=r|y0|=12a|y0|,当|y0|=b时,(SPMN)max=12ab=3,所以r=c=1,b=3,a=2,所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,32),B(1, - 32),|AB|=3.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),因为直线l与圆O相切,所以|m|1+k2=1,即m2=1+k2,由x24+y23=1,y=kx+m消

11、去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)0,x1+x2= - 8km4k2+3,x1x2=4m2 - 124k2+3.|AB|=k2+1(x1+x2)2 - 4x1x2=43k2+14k2+3 - m24k2+3=43(k2+1)(3k2+2)4k2+3=43(k2+34+14)3(k2+34) - 144k2+3=3 - 1161(k2+34)2+121k2+34+3.令t=1k2+34,0t43,则|AB|=3 - 116t2+12t+3,0t43,所以|AB|=

12、3 - 116(t - 4)2+4,所以3b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为A.x245+y236=1B.x236+y227=1C.x227+y218=1D.x218+y29=1由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值得到椭圆方程设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, - 得x12 - x22a2+y12 - y22b2=0,易知x1x2,x1+x2a2+y1 - y2x1 - x2y1+y2b

13、2=0.x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB= - 1 - 01 - 3=12,2a2+12 - 2b2=0,即a2=2b2.又c=3=a2 - b2,a2=18,b2=9.椭圆E的方程为x218+y29=1.D本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.数学应用 椭圆与物理知识的融合8如图10 - 1 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),其左、右

14、焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l与椭圆长轴交于点M,若e=32,SPMF1SPMF2=13,则椭圆C的标准方程为A.x24+y22=1B.x24+y23=1 C.x24+y2=1 D.x23+y22=1由光学知识得到直线l平分F1PF2由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值即得椭圆的方程由光学知识可知直线l平分F1PF2,因为SPMF1SPMF2=|F1M|F2M|=12|F1P|PM|sinF1PM12|F2P|PM|sinF2PM=|PF1|PF2|=13,|PF1|=1,所以|PF2|=3,又

15、|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2.因为e=ca=32,b2=a2 - c2,所以b=1,所以椭圆的标准方程为x24+y2=1.C3161.D由题意知F1PF2=90,PF2F1=60,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即3c+c=2a,所以(3+1)c=2a,故椭圆C的离心率e=ca=23+1=3 - 1.故选D.2.D设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由e2=c2a2=1 - b2a2=12,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的

16、标准方程为x216+y28=1,故选D.3.D设点M(x0,y0),因为F1MF2M=0,所以(x0+c)(x0 - c)+y02=0,即x02+y02=c2.又点M在椭圆C上,所以x02a2+y02b2=1.联立,结合a2 - b2=c2,可得x02=a2(c2 - b2)c2.由椭圆的性质可知0x02a2,即a2(c2 - b2)c20,a2(c2 - b2)c2a2,即c2b2,c2 - b2c2,所以c2b2,所以c2a2 - c2,即2c2a2,可得e212.又0e1,所以22e0,y0,得x=3,y=15,所以M的坐标为(3,15).2.B设椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1

17、(ab0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a2,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=32a,|AF1|=a.解法一在ABF1中,由余弦定理得cosBAF1=|AB|2+|AF1|2 - |BF1|22|AB|AF1|=(3a2)2+a2 - (3a2)223a2a=13.因为椭圆C的焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2 - 2|AF1|AF2|cosBAF1,即4=a2+a2 - 2a

18、213,解得a2=3,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.解法二因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0, - b),因为AF2=2F2B,所以B(32,b2),代入椭圆方程得94a2+b24b2=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x23+y22=1.故选B.3.4 由题意知a=2,因为e=ca=12,所以c=1,b2=a2 - c2=3.故椭圆方程为x24+y23=1.设P点坐标为(x0,y0), - 2x02, - 3y03.因为F( - 1,0),A(2,0),PF=( - 1 - x0, - y0),PA=(2 - x0, - y0),x024+y023=1,所以PFPA=x02 - x0 - 2+y02=14x02 - x0+1=14(x0 - 2)2.则当x0= - 2时,PFPA取得最大值4.