2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷.docx

1、2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知直线的方程为xy+10，则该直线的倾斜角为（）A6B4C23D562（5分）“m4”是“2，m，8成等比数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件3（5分）已知等差数列an中，a2+a718，则数列an的前8项和S8等于（）A42B50C72D904（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中AB=a，AD=b，AA1=c，O为D1B的中点，则用向量a，b，c可表示向量D

2、O为（）A12a+12b+12cB12a-12b+12cC12a+12b-12cD-12a+12b+12c5（5分）已知直线l的方向向量是a=（3，2，1），平面的法向量是=（1，2，1），则l与的位置关系是（）AlBlCl与相交但不垂直Dl或l6（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是m=(1，-2，3)，n=(2，1，3)，这两条异面直线所成的角满足（）Asin=914Bsin=14Ccos=914Dcos=-147（5分）已知点P是抛物线x24y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A172B3C25D928（5分）直线ykx交椭圆x2a2

3、+y2b2=1(ab0)于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-1625，则该椭圆的离心率为（）A35B34C32D3二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）下列四个选项中，正确的是（）A数列1，0，1，0，与数列0，1，0，1，是同一数列B数列的图象是一群孤立的点C数列13，25，37，49，的一个通项公式是an=n2n+1(nN*)D若数列an的前n项和Snn2+2n+1，则a37（多选）10（5分）已知双曲线C：

4、x29-y216=1，则下列关于双曲线C的结论正确的是（）A实轴长为6B焦距为5C离心率为43D焦点到渐近线的距离为4（多选）11（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|MB|（0且1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆已知动点M（x，y）与两定点A（3，0），B（0，0）满足|MA|2|MB|，记M的轨迹为圆C则下列结论正确的是（）A.圆C方程为：（x1）2+y24B.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是6C.过点Q（0，3）作圆C的切线，则切线方程为x-3y-3=0D.直线（m+1）xmy（2m+2）0（mR）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是23（多选）

5、12（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A直线EF与AC所成的角为60B直线A1G与平面ABCD所成的角为60C直线A1G与平面AEF平行D平面AEF截正方体所得的截面面积为98三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知空间向量a=(1，2，0)，b=(-2，1，3)，则a-2b= 14（5分）已知直线3x+4y30与6x+my+10互相平行，则它们之间的距离是 15（5分）在数列an中，2an+1=1an+1an+2，a11，a2=12，则a1a2+a2a3+a2022a2023 16（5分）已

6、知实数x，y满足(x+7)2+y2+(x-7)2+y2=8，则代数式|3x4y24|的最大值为 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求出满足下列条件曲线的方程：（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的标准方程；（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程18（12分）（1）在等差数列an中，a1+a35，a2+a410，求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）在等比数列bn中，b1+b35，b2+b410，求数列bn的通项公式及前n项和Tn19（12分）已知抛物线C：y22px（p0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O

7、的两点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若OAOB，求证：直线AB过x轴上一定点20（12分）已知数列an的首项a13，且满足an+12an1（1）求证：an1是等比数列；（2）若bn=3n-2an-1，记数列bn的前n项和为Mn，求证：Mn421（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FAFC，AB2，DAB60（1）求证：AC平面BDEF；（2）若FBFD，平面AEF与平面ABF的夹角为45，求点B到平面AEF的距离22（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C过P（-3，32）（1

8、）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为-18，求|AB|的取值范围2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知直线的方程为xy+10，则该直线的倾斜角为（）A6B4C23D56【解答】解：直线xy+10的斜率k1，设其倾斜角为（0180），tan1，得=4故选：B2（5分）“m4”是“2，m，8成等比数列”的（）A充分不必要条件B必要

9、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若2，m，8成等比数列，则m216，解得m4，故“m4”是“2，m，8成等比数列”的充分不必要条件，故选：A3（5分）已知等差数列an中，a2+a718，则数列an的前8项和S8等于（）A42B50C72D90【解答】解：根据题意，等差数列an中，a2+a718，则S8=(a1+a8)82=(a2+a7)82=1882=72故选：C4（5分）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中AB=a，AD=b，AA1=c，O为D1B的中点，则用向量a，b，c可表示向量DO为（）A12a+12b+12cB12a-12b+12cC12a+12b-

10、12cD-12a+12b+12c【解答】解：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，O为D1B的中点，故DO=12DD1+12DB=12c+12a-12b故选：B5（5分）已知直线l的方向向量是a=（3，2，1），平面的法向量是=（1，2，1），则l与的位置关系是（）AlBlCl与相交但不垂直Dl或l【解答】解：直线l的方向向量是a=（3，2，1），平面的法向量是=（1，2，1），a=34+10，则l与的位置关系是l或l故选：D6（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是m=(1，-2，3)，n=(2，1，3)，这两条异面直线所成的角满足（）Asin=914Bsi

11、n=14Ccos=914Dcos=-14【解答】解：两条异面直线的方向向量分别是m=(1，-2，3)，n=(2，1，3)，cosm，n=mn|m|n|=2-2+91+4+94+1+9=914，这两条异面直线所成的角满足cos=914，sin=1-(914)2=11514故选：C7（5分）已知点P是抛物线x24y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A172B3C25D92【解答】解：已知抛物线方程为x24y，则抛物线的焦点F的坐标为（0，1），又4243，即点B（4，3）在抛物线外部，由抛物线的定义可得：点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的

12、准线的距离等于|PB|+|PF|，又|PB|+|PF|BF|=(4-0)2+(3-1)2=25，当且仅当F、P、B三点共线时取等号，即点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为25故选：C8（5分）直线ykx交椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PB的斜率分别为k1，k2，且k1k2=-1625，则该椭圆的离心率为（）A35B34C32D3【解答】解：设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得y02=a2-x02a2b2，直线AP与BP的斜率之积为-1625，y02x02-a2=-1625，把代入化简可得b2a2=1625，c2

13、a2=925，离心率e=35故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。（多选）9（5分）下列四个选项中，正确的是（）A数列1，0，1，0，与数列0，1，0，1，是同一数列B数列的图象是一群孤立的点C数列13，25，37，49，的一个通项公式是an=n2n+1(nN*)D若数列an的前n项和Snn2+2n+1，则a37【解答】解：根据数列项的有序性可知，A显然错误；由于n为正整数，即数列的图象是一群孤立的点，B正确；数列13，25，37，49，分子为从1开始的连续正整数，分母为3

14、开始，相差2的正整数，故其一个通项公式为an=n2n+1，C正确；数若列an的前n项和Snn2+2n+1，则a3S3S27，D正确故选：BCD（多选）10（5分）已知双曲线C：x29-y216=1，则下列关于双曲线C的结论正确的是（）A实轴长为6B焦距为5C离心率为43D焦点到渐近线的距离为4【解答】解：已知双曲线C：x29-y216=1，则a3，b4，c=9+16=5，对于选项A，双曲线的实轴长为6，即选项A正确；对于选项B，双曲线的焦距为10，即选项B错误；对于选项C，双曲线的离心率为53，即选项C错误；对于选项D，双曲线的焦点到渐近线的距离为4351+(43)2=4，即选项D正确故选：A

15、D（多选）11（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|MB|（0且1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆已知动点M（x，y）与两定点A（3，0），B（0，0）满足|MA|2|MB|，记M的轨迹为圆C则下列结论正确的是（）A.圆C方程为：（x1）2+y24B.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是6C.过点Q（0，3）作圆C的切线，则切线方程为x-3y-3=0D.直线（m+1）xmy（2m+2）0（mR）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是23【解答】解：设M（x，y），由题意可得(x+3)2+y2=2x2+y2，整理可得：（x1）2+y24，即M的轨迹为圆心M（1

16、，0），半径r2的圆，所以A正确；B中，因为|PM|=12+32=10，所以过P的切线长为PM2-r2=10-4=6，所以B正确；C中，因为（01）2+（3）24，即Q在圆上，kQM=3-00-1=-3，所以过Q的切线的斜率为-1kQM=33，所以切线方程为：y-3=33x，即x-3y+30，所以C不正确；D中，直线AB：（m+1）xmy（2m+2）0（mR）整理可得：m（xy2）+x20，则直线AB过xy20与x20的交点E（2，0），即直线恒过E（2，0），而此点在圆内，所以直线AB与圆有两个交点，当ME与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，|ME|1，此时|AB|2r2-|ME|2=24-

17、1=23，所以D正确故选：ABD（多选）12（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A直线EF与AC所成的角为60B直线A1G与平面ABCD所成的角为60C直线A1G与平面AEF平行D平面AEF截正方体所得的截面面积为98【解答】解：对于A：连接A1C1，A1B，C1B，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得BC1EF，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，可得A1C1AC，所以A1C1B为异面直线直线EF与AC所成的角，由A1C1B为等边三角形，所以可得直线EF与AC所成的角为60，故A正确；对于B：取AA1的中点为M

18、，连接MB，因为G是BB1的中点，可得四边形MBGA1为平行四边形，所以A1GMB，因为AA1平面ABCD，所以直线A1G与平面ABCD所成的角为MBA，其中tanMBA=12，所以MBA60，所以B不正确；对于C：如图所示，取B1C1的中点Q，连接AQ，GQ，由GQEF，且GQ平面AEF，EF平面AEF，所以GQ平面AEF，同理可证：A1Q平面AEF，因为 GQA1QQ，且GQ，A1Q平面A1GQ，平面A1GQ平面AEF，又因为A1G平面A1GQ，所以A1G平面AEF，所以C正确；对于D：因为E，F为BC，C1C的中点，所以EFBC1，因为AD1BC1，所以EFAD1，所以A，E，F，D1四

19、点共面，所以截面即为等腰梯形AEFD1，因为正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，可得EF=22，AD1=2，在直角ABE中，可得AE=AB2+BE2=52，则高为h=(52)2-(24)2=322，所以梯形的面积为S=12(22+2)322=98，所以D正确故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知空间向量a=(1，2，0)，b=(-2，1，3)，则a-2b=（5，0，6）【解答】解：由于空间向量a=(1，2，0)，b=(-2，1，3)，则a-2b=(5，0，-6)故答案为：（5，0，6）14（5分）已知直线3x+4y30与6x+my+10互相平行，则它们

20、之间的距离是710【解答】解：直线3x+4y30与6x+my+10分别化为：y=-34x+34，y=-6mx-1m直线3x+4y30与6x+my+10互相平行，-6m=-34-1m34，解得m8，直线6x+my+10即3x+4y+12=0它们之间的距离d=|-3-12|32+42=710故答案为：71015（5分）在数列an中，2an+1=1an+1an+2，a11，a2=12，则a1a2+a2a3+a2022a202320222023【解答】解：在数列an中，2an+1=1an+1an+2，a11，a2=12，可得1an是首项为1，公差为1a2-1a1=1的等差数列，则1an=1+n1n，即

21、an=1n，所以anan+1=1n(n+1)=1n-1n+1，所以a1a2+a2a3+a2022a20231-12+12-13+.+12022-12023=1-12023=20222023故答案为：2022202316（5分）已知实数x，y满足(x+7)2+y2+(x-7)2+y2=8，则代数式|3x4y24|的最大值为 122+24【解答】解：因为实数x，y满足(x+7)2+y2+(x-7)2+y2=8，即点P（x，y）到点F1（-7，0）与到点F2（7，0）的距离之和为8，又因为27=288，所以点P（x，y）的轨迹是以F1（-7，0），F2（7，0）为焦点的椭圆，所以2a8，a4，c=7

22、，b2a2c29，所以椭圆的方程为x216+y29=1，而|3x4y24|表示椭圆x216+y29=1上的点到直线3x4y240的距离的5倍，设M（4cos，3sin）（R）为椭圆x216+y29=1上的任意一点，且点M到直线3x4y240的距离为d，则d=|12cos-12sin-24|5=|122cos(+4)-24|5，所以当cos（+4）1时，d取最大值为122+245，所以此时|3x4y24|最大值为122+24故答案为：122+24四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求出满足下列条件曲线的方程：（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的

23、标准方程；（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程【解答】解：（1）椭圆的焦点在x轴上，且长轴长为4，短轴长为2，2a4，2b2，a2，b1，椭圆的方程为：x24+y21；（2）设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2y2（0），将点A（1，2），代入可得1222，3，方程为x2y23，即y23-x23=118（12分）（1）在等差数列an中，a1+a35，a2+a410，求数列an的通项公式及前n项和Sn；（2）在等比数列bn中，b1+b35，b2+b410，求数列bn的通项公式及前n项和Tn【解答】解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，则a1+a3=a1+a1+2d=5a2+

24、a4=a1+d+a1+3d=10，整理，得2a1+2d=5a1+2d=5，解得a1=0d=52，an0+52（n1）=52n-52，nN*，Snn0+n(n-1)252=54n2-54n（2）由题意，设等比数列bn的公比为q，则b1+b3=b1+b1q2=5b2+b4=b1q+b1q3=10，即b1+b1q2=5b1q+b1q3=10，解得b1=1q=2，bn12n12n1，nN*，Tn=1-2n1-2=2n119（12分）已知抛物线C：y22px（p0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若OAOB，求证：直

25、线AB过x轴上一定点【解答】解：（1）由抛物线C：y22px 经过P（1，2）知，2p4，解得p2，所以抛物线C的方程为：y24x，所以抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x1；（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，设A（n24，n），B（n24，n），因为OAOB，所以OAOB=n416-n20，解得n216，此时AB的方程为x4，过x轴上的（4，0）点； 当直线AB的斜率存在时且不为0，设其方程：xty+m，m0，设 A（x1，y1），B（x1，y1），联立x=ty+my2=4x，整理可得：y24ty4m0，16t2+16m0，即t2+m0，y1y24m，x1x2=(y1y2)216

26、=m2， 因为OAOB，即OAOB=x1x2+y1y1m24m0，可得m4，即直线AB的方程为：xty+4，可证得直线AB过定点（4，0）20（12分）已知数列an的首项a13，且满足an+12an1（1）求证：an1是等比数列；（2）若bn=3n-2an-1，记数列bn的前n项和为Mn，求证：Mn4【解答】证明：（1）由an+12an1，变形为an+112（an1），a112，数列an1是等比数列，首项为2，公比为2（2）由（1）可得：an12n，bn=3n-2an-1=（3n2）12n，数列bn的前n项和Mn=12+4122+7123+（3n2）12n，12Mn=122+4123+（3n5

27、）12n+（3n2）12n+1，相减可得12Mn=12+3（122+123+12n）（3n2）12n+1=12+314(1-12n-1)1-12-（3n2）12n+1，化为Mn4-3n+42n4，Mn421（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FAFC，AB2，DAB60（1）求证：AC平面BDEF；（2）若FBFD，平面AEF与平面ABF的夹角为45，求点B到平面AEF的距离【解答】解：（1）证明：设AC与BD相交于O点，连接OF，四边形ABCD为菱形，ACBD，O为AC的中点，FAFC，ACOF，又OFBDO，OF平面BDEF，BD平面BDEF，AC平面BDEF

28、；（2）连接DF，FBFD，O为BD中点，OFBD，又ACOF，ACBD0，OF平面ABCD，以点O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A(3，0，0)、B（0，1，0）、D（0，1，0）E（0，2，a），设OFa（a0），则F（0，0，a），设平面AEF的一个法向量为n=（x，y，z），AE=（-3，2，a），AF=（-3，0，a），则nAE=-3x-2y+az=0nAF=-3x+az=0，令xa，则y0，z=3，平面AEF的一个法向量为n=（a，0，3），设平面ABF的法向量为m=（m，b，c），AB=(-3，1，0)，则mAB=-3m+b=0mAF=-

29、3m+ac=0，令ma，则b=3a，c=3，平面ABF的法向量为m=（a，3a，3），|cosm，n|=|mn|m|n|=a2+33+a23+4a2=cos45，即2a4+3a290，a0，解得a=62，n=（62，0，3）为平面AEF的一个法向量，又BA=(3，-1，0)，故点B到平面AEF的距离为|BAn|n|=623+0(-1)+30(62)2+02+(3)2=122（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的两焦点F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C过P（-3，32）（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分

30、线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为-18，求|AB|的取值范围【解答】解：（1）由题意可得：c=1a2-b2=c23a2+34b2=1，解得a=2，b=3c=1，所以椭圆的方程为：x24+y23=1；（2）因为左焦点F1（1，0），由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为xmy1（m为不等于0的实数），A（x1，y1），B（x2，y2），由x24+y23=1x=my-1，可得（3m2+4）y26my90，则（6m）2+36（3m2+4）144（m2+1）0，y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，所以x1+x2m（y1+y2）2=-83m2+4，所以AB

31、的中点为（-43m2+4，3m3m2+4），所以线段AB的中垂线方程为：y-3m3m2+4=-m（x+43m2+4），令x0，则y=-43m2+4，即Q点纵坐标为-m3m2+4，又因为是与y轴交于负半轴，所以-43m2+40，m0，又因为点Q的纵坐标的最大值为-18，所以-m3m2+4-18，解得23m2，又因为|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+m2|y1y2|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2 =1+m2(6m3m2+4)2-4(-93m2+4) =1+m2144(m2+1)3m2+4 =12(m2+1)3m2+4 4（1-13m2+4），因为23m2，令g（m）4（1-13m2+4），23m2，易知g（m）在23，2上单调递增，所以g（m）ming（23）=134，g（m）maxg（2）=154，所以g（m）134，154，即|AB|的取值范围为：134，154