2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第一册） 3.2.1 单调性与最大（小）值（精讲）（教师版含解析）.docx

1、3.2.1 单调性与最大(小)值(精讲)思维导图 常见考法考点一 定义法判断或证明函数的单调性【例1】(2021浙江高一期末)已知函数(1)判断函数在上的单调性，并用定义证明其结论；(2)求函数在区间上的值域【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析；(2).【解析】(1)函数在上是增函数.证明：任取，且，即，函数在上是增函数；(2)由(1)知函数在区间上是增函数，又，所以函数在区间上的值域为.【一隅三反】1(2021福建福州市高一期末)已知函数，且.(1)求实数的值；(2)判断在区间上的单调性并用定义证明.【答案】(1)1；(2)在区间上单调递减，证明见解析.【解析】(1)由，得，所以.(2

2、)由(1)知，其定义域为，在区间上单调递减.证明如下：任取，且，.因为，且，所以，则，所以，故在区间上单调递减.2(2021云南文山壮族苗族自治州高一期末)已知函数其中为常数且满足(1)求函数的解析式；(2)证明：函数在区间(0，1)上是减函数.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)解：，解得，的解析式为(2)证明：任取，则即故函数在区间(0，1)上是减函数.考法二 性质法判断函数的单调性【例2】(1)(2021全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )ABCD和(2)(2021全国高一课时练习)函数在区间(2，4)上( )A单调递增B单调递减C先减后增D先增后减【答案】(1)D(2

3、)C【解析】(1)根据题意，函数的定义域为，由反比例函数的单调性可知，函数在区间和上都是减函数，但在定义域上不单调，因此，函数的单调递减区间为和.故选：D.(2)函数图象的对称轴为直线x=3，此函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，4)上单调递增.故选：C【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)函数的单调减区间是( )A，BCD【答案】A【解析】因为的减区间为，又的图像是将的图像向右平移一个单位得到，即函数的单调减区间是，故选A.2(2021青海西宁市)已知函数，则的单调增区间是( )A和BC和D【答案】D【解析】二次函数的对称轴为，并且开口向上则函数在上单调递增，即D选项正确；故选：

4、D3(2021四川省)下列函数中，在(，0内为增函数的是()Ayx22ByCy12xDy(x2)2【答案】C【解析】A中，因为yx22在(，0)上为减函数，所以A不对；B中，因为y在(，0)上为减函数，所以B不对；C中，y=1+2x在(，+)上为增函数，故C正确；D中，y(x2)2的对称轴是x=2，在(-，2)上为增函数，在(2，+)上为减函数，故D不对故选：C考法三 分类常数法判断函数的单调性【例3】(2021鄂尔多斯市第一中学高一期末(理)函数( )A在内单调递增B在内单调递减C在内单调递增D在内单调递减【答案】C【解析】因为，函数的图象可由y图象沿x轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个

5、单位长度得到，如下图所示所以函数在内单调递增，故选：C.【一隅三反】1(2021全国高一课时练习)函数f(x)=在( )A(-，1)(1，+)上单调递增B(-，1)(1，+)上单调递减C(-，1)和(1，+)上单调递增D(-，1)和(1，+)上单调递减【答案】C【解析】f(x)的定义域为x|x1.f(x)=-1=-1，因为函数y=-在(-，0)和(0，+)上单调递增，由平移关系得，f(x)在(-，1)和(1，+)上单调递增.故选：C.2(2020全国高一单元测试)函数f(x)的定义域为_，单调递减区间为_.【答案】 和 【解析】函数f(x)的定义域为；任取且x1x2，则f(x1)f(x2)，即

6、f(x1)f(x2)，故f(x)在(1，)上为减函数；同理，可得f(x)在(，1)上也为减函数，故的单减区间为和故答案为：；和 3(2021河南安阳市)函数A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在定义域内单调递减【答案】B【解析】因为数，所以，因为，所以函数在递减，在上递减，故选B.考点四 图像法判断函数的单调性【例4】(2021广东)作出下列函数的大致图像，并写出函数的单调区间和值域：(1)； (2)； (3)；(4)； (5).【答案】见解析【解析】(1)，图象如图所示：函数在和为减函数，因为，所以，故值域为：；(2)，图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，当时，

7、取得最小值，故值域：；(3)，图象如图所示：函数在和为增函数，在为减函数，值域为：.(4)，图象如图所示：函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：；(5)，函数在和为减函数，在和为增函数，值域为：.【一隅三反】1(2021重庆市)如图是定义在区间的函数，则的增区间是_.【答案】和【解析】由图可知：在、上都单调递增，在上单调递减，故答案为：和2.(2021全国高一)已知函数，则下列结论正确的是( )A增区间是B减区间是C增区间是D增区间是【答案】D【解析】根据题意，函数，当时，在区间上为减函数，在区间上为增函数；当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数；综合可得：在区间和上为减函数，在区间上为增

8、函数，故选：D.3(2021安徽)函数f(x)=|x-2|的单调递增区间是_.【答案】2,+)【解析】由图象可知,f(x)的单调递增区间是2,+).4(2021海南海口市)函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】由题意可知，当时，单调递增区间为；当时，此时函数恒为减函数，综上所述，函数的单调递增区间为，故答案为：.考点五 根据单调性求参数【例5】(1)(2021浙江高一期末)函数在上单调，则实数a的取值范围( )ABCD(2)(2021云南丽江市高一期末)函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )ABCD(3)(2021全国高一课时练习)若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是( )

9、ABCD【答案】(1)D(2)D(3)D【解析】(1)因为函数在和上单调递减，由题意，在上单调，所以或，解得或，所以a的取值范围为.故选：D(2)函数的图像的对称轴为，因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，故选：D(3)因为函数在上是单调递减的，又是R上的单调函数，所以在1，+)上单调递减，即a0，并且，解得，综上所述，a的取值范围为.故选：D【一隅三反】1(2021广西钦州市高一期末)函数在单调递增，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】函数为开口向上的抛物线，对称轴为函数在单调递增，则，解得.故选：A.2(2021浙江省淳安县汾口中学高一开学考试)函数满足条件

10、：对任意的，都有，则实数a的取值范围是( )ABC且D【答案】A【解析】因为对任意的，都有，所以在上单调递增，当时，在定义域上单调递增，满足条件；当时，则，解得，综上可得；故选：A3(2021全国高一单元测试)如果在区间上为减函数，则的取值( )ABCD【答案】C【解析】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意；当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：，；综上： ，故选：C考点六 利用单调性解不等式【例6】(2021全国高一)已知,则不等式的解集为( )ABCD【答案】C【解析】的图象如下图所示：由图象可知：在上单调递增，因为，所以，所以即，所以解集为：.故选：C.【一隅三反】

11、1(2021深圳市高级中学)已知函数是定义在的单调递增函数，若，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】C【解析】因为函数是定义在的单调递增函数，且，所以，解得或故选：C2(2021云南大理白族自治州宾川四中高一开学考试)已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】因为函数在定义域上是减函数，且，所以,解得,所以实数a的取值范围是.故选：B.3(多选)(2021浙江高一期末)已知函数，则下列x的范围满足不等式的是( )ABCD【答案】BCD【解析】因为函数，画出函数图象如图所示：所以函数在上为增函数，由得，即解得，故选：B C D考点七 函数的最值【例7

12、】(1)(2021全国高一课时练习)函数y在2，3上的最小值为( )A2BCD(2)(2021安徽六安市六安一中高一期末)已知函数，则在区间上的最大值为( )AB3C4D5(3)(2021全国高一课时练习)已知函数()在上的最大值为1，则的值是( )A1B2C3D4【答案】(1)B(2)C(3)B【解析】(1)y在2，3上单调递减，所以x=3时取最小值为，故选：B.(2)在单调递减，.故选：C.(3)当时，函数在上单调递减，所以函数()在处取得最大值，最大值为，解得故选：B.【一隅三反】1(2021上海浦东新区高一期末)已知函数，则此函数的值域是_.【答案】【解析】因为函数在区间上为增函数，当

13、时，即.因此，函数，的值域为.故答案为：.2(2021内蒙古通辽市通辽实验中学高一期末(文)函数的最大值是：( )ABCD【答案】A【解析】，最大值为 故选：A.3(2021全国高一课时练习)(多选)函数 (x1)的定义域为2，5)，下列说法正确的是 ( )A最小值为B最大值为4C无最大值D无最小值【答案】BD【解析】函数在2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到故选：BD4(2021全国)函数在区间上的值域为_【答案】【解析】由题：，函数在单调递减，在单调递减，可以看成函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，作出图象：所以函数在递减，在递减，所以函数的值域为.故答案为：5(2021上海长宁区高一期末)已知函数的最小值为-2，则实数a=_.【答案】【解析】，所以该二次函数的对称轴为：，当时，即，函数在时单调递减，因此，显然符合；当时，即时，显然不符合；当时，即时，函数在时单调递增，因此，不符合题意，综上所述：，故答案为：6(2021浙江湖州市湖州中学高一月考)若函数在区间上的最大值为，则实数( )ABCD或【答案】B【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，在递减，可得为最大值，即，解得成立；当，即时，在递增，可得为最大值，即，解得不成立；综上可得故选：