2023年中国科学院大学综合测评数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司2023 年中国科学院大学综合评价测试题 本次测试共 2 道大题，分 6 小题，满分 100 分，考试时长 60 分钟。一、（满分 50 分）（1）（15 分）给定系数多项式()f x，若存在实数c，使得()0f c=，求证：存在多项式()g x。使得()()()f xxc g x=；（2）（10 分）求证：一个次数为n 的实系数多项式至多有n 个实根；（3）（25 分）称一个数为代数数，如果它为一个整系数多项式的根，求证：所有代数数构成的集合是可数的。二、（满分 50 分）（1）（10 分）写出平面图欧拉公式并证明；（2）（15 分）求证：使用凸多面体的外角之和为4

2、;（3）（25 分）求证：正多面体的面的个数只能是4,6,8,12,20。学科网（北京）股份有限公司2023 年中国科学院大学综合评价测试题解析 一、（满分 50 分）（1）证：设实数系多项式为0()(1,0)nkknkf xa xna=.已知实数c 为它的实根，即0()0nkkkf ca c=，所以00()()()nnkkkkkkkf xf xa caxc=.因式分解110()kkkkiiixcxcxc=，11000()()()nnkkkkiikkkkif xaxca xcxc=，所以1100()()nkkiikkif xxcaxc=即存在1100()nkkiikkig xaxc=，且()g

3、 xx（2）证：对于一次多项式，结论显然成立。假设对于(2)k k 次多项式，至多有 k 个实数根成立，对于1k+次多项式()f x，如果没有实根，则证明完成；若至少有一个实根不妨记作c，即()0f c=，根据（1）知，存在()g xx，使()()()f xxc g x=，()g x 是k 次多项式，由归纳假设知()g x 至多k 个实根，所以()f x 至多1k+个实根.拓展：在一个整环 R 上，其多项式环 R x 上的n 次多项式，一定至多n 个根如果 R 不是整环，结论不一定成立，比如21x 在8 上有四个根：1,3,5,7.（3）设nP 为整系数多项式的集合，构造从nP 到自然数 的映

4、射.:nfP ，即01()()()110()23(1)nf af af annnnf a xaxap n+=+，其中()p n 为第n 个素数，()f n是全体整数到非负整数的任意双射:0eg n 时()2,0f nn n=时()21f nn=.由于质因数分解的唯一性，所以这个映射是一一映射，所以nP 是可数无线集.所有的整系数集合nnPp=是可数个可数集的并集，依然可数.学科网（北京）股份有限公司由上题知n 次多项式最多由 n 个实根，设pR 是可数个可数集的并集，依然可数pR 为有限集.代数数pnAR=为可数个有限集的并集，依然可数 二、（满分 50 分）（1）（2）证：设多面体有3f 个三角形，4f 个四边形，即有kf 个 K 边形.由于凸 K 边形的内角和为(2)K，则有(2)2ikkkaKfKff=;学科网（北京）股份有限公司又因为kff=（多面体的总面数），所以2ikaKff=.易知kKf是各个面的边数之和，即2kKfe=；于是(2)22222()4iiavavefvef=+=+=（3）学科网（北京）股份有限公司示意图如下：学科网（北京）股份有限公司