[28202227]理科数学-2021年高考考前20天终极冲刺攻略（二）（课标全国卷）.docx

1、目 录 / contents5月21日 解三角形 15月22日 平面向量 165月23日 数列 315月24日 不等式 54时间：5月21日 今日心情： 核心考点解读解三角形一、考纲解读1.正弦定理及其应用（II）2.余弦定理及其应用（II）3.三角形面积公式的应用（II）4.解三角形的实际应用（II）二、高考预测1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、面积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基本不等式等的综合.2.从考查难度来看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考中主要以三角形的方式来

2、呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.三、知识回顾一、正弦定理1正弦定理在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立2常见变形（1） （2） （3） （4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.3解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角4在中，已知，和时，三角形解的情况二、余弦定理1余

3、弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：.3解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角4利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1三角形的面积公式设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1） (h为BC边上的高)；（2）；（3）(为三角形的内切圆半径)2三角形的高的公式hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA3测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上

4、方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图)（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)（3）方向角相对于某一正方向的水平角.北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)；北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向；南偏西等其他方向角类似（4）坡角与坡度坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比4解三角形实际应用题的步骤四、应试技巧1.正弦定理及其应用(1)表示三角形中对边与对角正弦值的比值关系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一

5、边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角”的性质注意三角形解的问题.(3)注意利用正弦定理实现边、角的互化，如“”可转化为“”等，转化过程中要注意平衡，如“”不可转化为“”.2.余弦定理及其应用(1)表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等.此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题.3.三角形的面积公式及其应用(1)三角形的面积公式：，利用三角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正弦定理、余弦定理之间的联系4.解三角形的应用

6、通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积问题，考查三角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边三角形、等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状.5.解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题中的测量问题，如测量角度问题，仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.6.解三角形与其他知识的综合(1)解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的

7、面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.(2)注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.-真题回顾1（2020全国理17）中，（1）求；（2）若，求周长的最大值【答案】（1）；（2）【思路导引】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果【解析】（1）由正弦定理可得：，（2）由余弦定理得：，即（当且仅当时取等号），解得：（当且仅当时取等号），周长，周长的最大值为2（2020江苏16）在中，角，的对边分别为，

8、已知，（1）求的值；（2）在边上取一点，使得，求的值【答案】见解析【解析】（1）由余弦定理，得，因此，即，由正弦定理，得，因此（2），故3（2020天津16）在中，角所对的边分别为已知（）求角的大小；（）求的值；（）求的值【答案】（）；（）；（）【思路导引】（）直接利用余弦定理运算即可；（）由（）及正弦定理即可得到答案；（）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可【解析】（）在中，由及余弦定理得，又因为，所以（）在中，由，及正弦定理，可得；（）由知角为锐角，由，可得，进而，所以4（2020浙江18）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（I）求角B；（II）求cosA

9、+cosB+cosC的取值范围【答案】（I）；（II）【思路导引】（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定B的大小；（II）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围【解析】（I）由结合正弦定理可得：，ABC为锐角三角形，故（II）结合(1)的结论有：由可得：，则，即的取值范围是5（2020山东17）在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且， ？注：如果选择多

10、个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【思路导引】由题意结合所给的条件首先设出a，b的长度，然后结合余弦定理和正弦定理解三角形确定边长c即可【解析】选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得：，此时选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得：，则：，此时：，则：选择条件的解析：由可得：，不妨设，则：，即据此可得，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在名校预测1（2021山东高考模拟）在中，角，的对边分别是，则的面积为_2.(2021广东佛山)如图，在平面四边形ABCD中，ABC，ABAD，AB1.(1)若AC，求ABC的面积；(2)若ADC，CD4，求sinCAD. 3.

11、(2020哈尔滨三中)在ABC中，已知c2，若sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，则ab的取值范围为_4.（2021山东高考模拟（理）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）ABCD专家押题1平面四边形ABCD中，ABC=150，3AB=2BC，AC=13，BDAB，CD=3，则四边形ABCD的面积为A73BC3+1D3+22已知外接圆的半径为，内角，对应的边分别为，若，则的值为_3在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为 .4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测

12、得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_m. 5已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为_.6在中，角所对的边分别为，已知，.（1）求的值；（2）若，求周长的取值范围.答案名校预测1【答案】6【解析】在中，由正弦定理知，又，,即， ；，又，故答案为：62【答案】（1） （2）【解析】(1)在ABC中，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC，即51BC2BC，解得BC，所以ABC的面积SABCABBCsinABC1.(2)设CAD在ACD中，由正弦定理得，即， 在ABC中，BAC，BCA，由正弦定理得，即，两式相除，得，即4sin ，整理得sin 2cos .又因为si

13、n2cos21，所以sin ，即sinCAD.3【答案】(2,4 【解析】sin2Asin2Bsin Asin Bsin2C，a2b2abc2，cos C，又C(0，)，C.由正弦定理可得，asin A，bsin B又BA，absin Asin Bsin Asin4sin.又A，A，sin，ab(2,4（2），4【答案】C【解析】由锐角三角形的内角所对的边分别为，若， ，, ， ,由正弦定理得，即 则b的取值范围为,故选C.专家押题1【答案】B【解析】如图，因为3AB=2BC，所以设AB=2x,BC=3x，又ABC=150，AC=13，所以由AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC， 得

14、13=4x2+3x2-43x2cos150=13x2，所以x=1，所以AB=2,BC=3，又BDAB，所以DBC=60，由余弦定理可得，CD2=BD2+BC2-2BDBCcosDBC，可得9=BD2+3-3BD，解得BD=23，故.故选B.2【答案】【解析】由正弦定理可得：，解得：，由余弦定理可得：，解得：或（舍去），.3【答案】【解析】如图.在中，整理得，当且仅当AD=DC时取等号，的面积，的面积的最大值为4【答案】【解析】依题意，在中，由，得，因为，所以由正弦定理可得，即m.在中，因为，所以，所以m.5【答案】【解析】，由余弦定理可得：，由正弦定理，可得故答案为6【解析】（1）由及二倍角公

15、式得，又即，所以.（2）由正弦定理得，则的周长为：，又因为，所以，则.从而.因此周长的取值范围是.时间：5月22日 今日心情： 核心考点解读集合与常用逻辑用语一、考纲解读1.平面向量的有关概念（II）2.平面向量的线性运算（II）3.平面向量基本定理（I）4.平面向量的数量积运算及坐标表示（II）5.平面向量的应用（II）二、高考预测1.涉及本单元知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性与代数性.注意向量在解析几

16、何、三角函数中的应用.2.从考查难度来看，考查本单元内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅助效果.3.从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.三、知识回顾一、平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量的方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平

17、行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二、平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.三、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xiyj，这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一

18、确定，我们把（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.四、平面向量的坐标运算1向量坐标的求法（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2x1，y2y1）.2向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则ab=（x2+x1，y2+y1），ab=（x1x2，y1y2），a=（x1，y1），|a|=，|ab|=.3平面向量共线的坐标表示设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则abx1y2x2y1=0.4向量的夹角已知两个非零向量a和b，作=a

19、，=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.五、平面向量的数量积1平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角.【注】零向量与任一向量的数量积为0.（2）投影的概念设非零向量与的夹角是，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度. （3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长

20、度与在方向上的投影的乘积.2平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则交换律：；数乘结合律：；分配律：.六、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角.（1）数量积：.（2）模：.（3）夹角： .（4）垂直与平行：；abab=|a|b|.【注】当与同向时,；当与反向时,.（5）性质：|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立).七、平面向量的应用1向量在平面几何中常见的应用已知.（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，

21、若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：，或（其中两点的坐标分别为）（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题.2向量在物理中常见的应用（1）向量与力、速度、加速度及位移力、速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算.（2）向量与功、动量力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即为和的夹角).四、应试技巧1.平面向量的有关概念问题(1)知道向量的定义及其表示，注意与数量

22、的区别.知道向量既有大小又有方向.(2)了解几个常见向量，如单位向量、零向量；了解共线向量、相等向量、相反向量指的是两个向量之间的关系.能够通过大小、方向对这些向量进行区分判断，并简单判断真假.2.平面向量的线性运算(1)应用平行四边形法则与三角形法则进行向量的加法运算与减法运算，注意法则应用的区分，向量共起点时可以使用平行四边形法则；一个向量的终点在另一个向量的起点时，这两个向量的加法则可以使用三角形法则，如.(2)共线向量体现了两个向量在同向或反向的情况下其模的大小的等量关系，通常可表示为，其中，为确定的常数.3.平面向量基本定理(1)平面向量基本定理反映了如何用平面内两个不共线的向量来唯

23、一线性表示任意向量的原理，数学表达式为，此处要不共线，要唯一确定.通常把不共线的称为一组基底.应该明确基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为基底去表示平面内的任意一个向量.(2)当基底单位正交时（即垂直且模为1），可以建立平面直角坐标系，利用坐标来表示向量，也可以利用向量的起点、终点坐标的确定来表示向量，如若，则.(3)向量的坐标化线性运算：设，则，；若，则.4.平面向量数量积的运算及其坐标化运算(1)掌握向量数量积运算的定义，理解其几何意义：在方向上的投影：.注意根据向量夹角的变化，其投影可能为负，可能为正，也可能为0.(2)掌握向量的运算法则及相关性质：如；若，则等，并作简单的应用.(

24、3)掌握向量数量积的坐标化运算：设，则；若，则；.5.平面向量的应用(1)应用向量考查模的大小或模的取值范围问题，可以从向量坐标化的角度进行处理，注意对模的使用，同时注意对等式含义的表述，如表示向量的终点在以为圆心，半径为的圆上等.也可以利用条件中所呈现的几何意义，结合向量数量积公式进行转化.(2)以向量为载体研究三角函数问题，利用向量数量积的坐标表示，确立三角函数关系式，并利用三角恒等变换化简为的形式，然后利用整体代换来考查函数的相关性质等.6.平面向量的应用要注意向量的几何特性与代数特性，能够从代数的角度，对问题以计算的方式进行求解，能够从几何的角度，从向量问题所表述的几何背景入手解决问题

25、.两者要相辅相成，兼而有之.-真题回顾1（2020江苏13）在中，在边上，延长到，使得，若（为常数），则的长度是 【答案】【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故，故，故在中，；在中，由正弦定理得，即2.（2020全国理6）已知向量满足，则（ ）A B C D【答案】D【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值【解析】，因此故选D3.（2020山东7）已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】A【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果【解析】解法一：的模为2，根

26、据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，设，则，的取值范围是4.（2020全国理13）已知单位向量的夹角为45，与垂直，则_【答案】【思路导引】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：，故答案为：5.（2020全国理14）设为单位向量，且，则 【答案】【思路导引】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解【解析】为单位向量，解得：，故答

27、案为：6.(2017山东)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 【答案】【解析】，解得：名校预测1（2020湖北随州月考）设、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为（ ）ABCD2.（2020云南曲靖一中其他模拟（理）已知向量，若与的夹角为，则（ ）ABCD3.（2020江苏泰州月考）已知向量，若，则与的夹角为（ ）ABCD4.（2020全国高三单元测试）已知向量，则当时，的最大值为（ ）ABC2D5.（2020全国专题练习）已知AB是半圆O的直径，AB=2，等腰三角形OCD的顶点CD在半圆弧上运动，且OC=OD，COD=120，点P是半圆弧上的动点，则的取值范围（ ）ABCD

28、专家押题1给出命题零向量的长度为零，方向是任意的若a，b都是单位向量，则a=b向量AB与向量BA相等若非零向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线以上命题中，正确命题序号是（ ）A B C和 D和2.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点若(，R)，则_.3.在平行四边形中，若则( )ABCD4.若非零向量a，b满足|a|b|，且(ab)(3a2b)，则a与b的夹角为()A. B.C. D5.已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_答案名校预测1【答案】C【详解】设圆心为点，则，则，.当且仅当与方向相同时，等号成立，因此，的最大值

29、为.故选：C.2.【答案】B【详解】，则，同理，因此，.故选：B.3.【答案】B【详解】因为，解得，设与的夹角为，则.故选：B.4.【答案】D【详解】因为，所以，所以，当时，.故选：D5.【答案】C【详解】以点O为原点，AB为x轴,垂直于AB的直线为y轴建立直角坐标系，如下图所示，不妨取，则，设，因为，所以，所以，所以，故选：C.专家押题1【答案】A【解析】根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故错误；AB与向量BA互为相反向量，故错误；若AB与CD是共线向量，那么A,B,C,D 可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，只要它们

30、的方向相同或相反即可，故错误，故选A.2.【答案】【解析】E为线段AO的中点，.3.【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中, ,，,因为,所以,，所以，故选C.4.【答案】【解析】设a与b的夹角为，因为|a|b|，(ab)(3a2b)，所以(ab)(3a2b)3|a|22|b|2ab|b|22|b|2|b|2cos 0，解得cos ，因为0，所以.5.【答案】【解析】由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.时间：5月23日 今日心情： 核心考点解读数列一、考纲解读1.数列的概念及其通项公式（I）2.等差数列的通项及其前n项和（II）3.等比数列的通项及其前n项和（II）4.等差

31、数列、等比数列的性质（II）5.数列求和及其求和方法（II）6.数列的应用（II）二、高考预测1.从考查的题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式考查，利用等差数列的概念判断性质真假，利用等差数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算；利用等比数列的概念判断性质真假，利用等比数列的通项公式、前n项和公式进行相关的求值计算等.2.从考查内容来看，主要考查数列的递推关系、等差数列、等比数列的相关运算，重点在于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，能够利用“”和“”这五个量进行相互转化，达到“知三求二”的目的.3.从考查热点来看，数列计算是高考命题的热点，要注意通项公式与

32、求和公式的正确使用及利用数列的性质简化运算.三、知识回顾一、数列的相关概念1数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项，排在第二位的数称为这个数列的第2项排在第n位的数称为这个数列的第n项所以，数列的一般形式可以写成简记为2数列与函数的关系数列可以看成定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数，当自变量按照由小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集

33、（或其有限子集）这一条件.3数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列，如数列1，2，3，4，5，7，8，9，10无穷数列项数无限的数列，如数列1，2，3，4，按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项，如数列1，3，5，7，9，递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项，如数列10，9，8，7，6，5，常数列各项都相等的数列，如数列2，2，2，2，摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如1，2，1，2按项的有界性有界数列任一项的绝对值都小于某一正数，如1，1，1，1，1，1，无界数列不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如2，4，6，

34、8，10，二、数列的表示方法（1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况（2）解析法：主要有两种表示方法，通项公式：如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即递推公式：如果已知数列的第一项(或前几项)，且任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式（3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标描点画图由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点三、数列的前n项和与通项的关系数列的前n项和

35、通常用表示，记作，则通项若当时求出的也适合时的情形，则用一个式子表示，否则分段表示四、等差数列1等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示即，为常数2等差中项如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且3等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为公式的变形：，4等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式，可得令，则，其中，为常数（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列

36、（2）当时，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点五、等差数列的前n项和 1等差数列的前n项和首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：令，可得，则当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题2用前n项和公式法判定等差数列等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列六、等差数列的

37、性质1等差数列的常用性质由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：（1）通项公式的推广：，（2）若，则特别地，若，则；若，则有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即 （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列（4）数列是常数是公差为td的等差数列（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列（6）若，则2与等差数列各项的和有关的性质利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，（1）数列是等差数列，首项为，公差为（2）构成公差为的等差数列（3）若数列共有项，则，（4）若数列共有

38、项，则，（5），七、等比数列1等比数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0；（2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数.2等比中项如果在与中间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项，此时3等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是等比数列通项公式的变形：4等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点当或时，是递增数列；当或时

39、，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号八、等比数列的前n项和公式首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为（1）当公比时，因为，所以是关于n的正比例函数，则数列的图象是正比例函数图象上的一群孤立的点（2）当公比时，等比数列的前项和公式是，即，设，则上式可写成的形式，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点由此可见，非常数列的等比数列的前n项和是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数九、等比数列及其前n项和的性质若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质：（1）若，则；若，则推广：若，则（2）若成等差

40、数列，则成等比数列（3）数列仍是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；数列是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列（4）成等比数列，公比为（5）连续相邻项的和（或积）构成公比为或的等比数列（6）当时，；当时，（7）（8）若项数为，则，若项数为，则（9）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）注意：这里连续m项的和均非零四、应试技巧1.数列的概念及表示(1)数列可以看作特殊的函数，数列的每一项叫做数列的项，排在第一位的数是数列的第一项，也叫首项.数列的一般形式可以写为.：数列的第项，也叫通项公式.数列的表示方法：通项公式：；递推公式：如时，型.(2)求数

41、列通项公式的方法观察法：已知数列的前几项，可观察数列这几项的各部分与的关系，最后用不完全归纳得到通项公式.前n项和与通项之间的关系：能够利用前项和的关系式求得，此时要注意；也能够利用表示前n项和.利用递推公式：形如型的可采用累加法；形如型的可采用累乘法；形如型，当时，通常可以构造的形式，利用等比数列的通项公式得到的通项公式，然后求解.2.等差数列的概念与证明(1)熟练掌握等差数列的定义与定义式：，.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的差是同一个常数，这个常数就是公差.由此要明确，一个数列能够构成等差数列，至少需要三项.(2)若三个数构成等差数列，则称为的等差中项，记作或.(3)等

42、差数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若时，推理得到的差为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等差数列.3.等差数列的通项公式及性质(1)等差数列的通项公式：.知道等差数列的通项公式的推理方法是根据定义式叠加而得，了解等差数列与一次函数之间的联系与区别.(2)等差数列的性质：若，则.等差数列的性质反映了项与项数之间对称的等量关系，由此得到等差数列前n项和的推导方法倒序相加法.4.等差数列的前n项和(1)等差数列的前n项和：.能够利用首项与公差表示等差数列的前n项和，了解二次函数与等差数列前n项和的关系.(2)掌握等差数列前n项和的性质：成等差数列，也是等差数列.5.

43、等比数列的概念与证明(1)熟练掌握等比数列的定义与定义式：，.要注意，数列要从第二项开始，然后是每一项与前一项的比值是同一个常数，这个常数就是公比.由此要明确，一个数列能够构成等比数列，至少需要三项.(2)若三个数构成等比数列，则称为的等比中项，记作 或.(3)等比数列的证明，通常根据题中所给的递推关系式，利用定义进行证明，若时，推理得到的比值为常数，并能够确定这个常数，则可判定数列为等比数列.6.等比数列的通项公式及其性质(1)等比数列的通项公式：.知道等比数列通项公式的推理方法是根据定义式叠乘而得，了解等比数列与指数函数之间的联系与区别.(2)等比数列的性质：若，则.7.等比数列的前n项和

44、(1)等比数列的前n项和：能够利用首项与公比表示等比数列的前n项和，了解指数函数与等比数列前n项和公式之间的关系.掌握等比数列前n项和公式的推导方法错位相减法.(2)掌握等比数列前n项和的性质：；当或且为奇数时，成等比数列.8.等差数列、等比数列的混合计算(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等差数列的首项与公差，并求通项与前n项和.(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算得到等比数列的首项与公比，并求通项与前n项和.(3)注意在数列计算中基本量的应用.9.等差数列前n项和的最大（小）项利用等差数列的前n 项和公式，

45、结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数的单调性判断最值.10.数列求和(1)等差数列、等比数列的前n项和等差数列的前n项和；等比数列的前n项和(2)分组求和法求数列的前n项和分组求和法可以解决形如类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.(3)裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法的基本思想是把数列的通项拆分成等的形式，从而在求和时起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：，等.采用裂项相消法求数列的前n项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余的项的问题.(4

46、)错位相减法求数列的前n项和错位相减法主要应用于求解由等差数列与等比数列的对应项之积组成的数列的求和问题，即求的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前n项和的表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，最后根据差式中间的项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前n项和.错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，应注意加强训练.-真题回顾1（2020全国理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环

47、绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块已知每层环数相同，且下层比中层多块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）A块 B块 C块 D块【答案】C【思路导引】第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前项和，由题意可得，解方程即可得到n，进一步得到【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即，即，解得，所以，故选C2（2020浙江7）已知等差数列的前项和，公差记，下列

48、等式不可能成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】A由等差数列的性质可知，成立；B，若，则，即，这与已知矛盾，故B不成立；C ，整理为：，故C成立；D，当时，即，整理为，即，方程有解，故D成立综上可知，等式不可能成立的是B，故选B3.（2020北京8）在等差数列中，记，则数列（ ）A有最大项，有最小项 B有最大项，无最小项 C无最大项，有最小项 D无最大项，无最小项 【答案】A【解析】设公差为d，a5-a1=4d，即d=2，an=2n-11，1n5使，an0，n6时，an0，所以n=4时，Tn0，并且取最大值；n=5时，Tn0；n6时，Tn0，并且当n越来越大时，Tn越来越小，所以Tn无

49、最小项故选A4（2020上海7）已知等差数列的首项，且满足，则 【答案】 【解析】由条件可知，故答案为： 5.（2020江苏11）设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是_【答案】【解析】设等差数列的首项为，等比数列的首项为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：.6（2020全国文14）记为等差数列的前项和，若，则 【答案】【思路导引】是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案【解析】是等差数列，且设等差数列的公差，根据等差数列通项公式：，可得，即：，整理可得：，解得：根据等差数

50、列前项和公式：，可得：，故答案为：7.（2020浙江11）已知数列满足，则 【答案】10【思路导引】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出【解析】由题意可知，故答案为：108.（2020山东14）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 【答案】【思路导引】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：9.（2020山东18）已知公比大

51、于的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【思路导引】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式；（2）通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和【解析】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得，所以，所以数列的通项公式为（2）由于，所以对应的区间为：，则；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个；对应的区间分别为：，则，即有个所以名校预测1（2020河南

52、新乡月考（理）已知等差数列的前项和为且公差，若，则（ ）ABCD，2（2020江苏省江阴市第一中学期中）中国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A3斤B6斤C9斤D12斤3（2020全国专题练习）著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、

53、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，它们满足.若某一半音与的频率之比为，则该半音为（ ）频率半音CDEFGABC（八度）ABGCDA4（2020河北邢台其他模拟（理）已知等比数列的前项和为，且，若，则（ ）ABCD5（2020重庆期末）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，数列的前项和为，则取最大值时，的值为（ ）ABCD或专家押题1已知数列的通项公式，数列的前项和满足，则的最小值为A98B99C100D1012已知数列是等差数列，数

54、列是等比数列，且满足：，则_3在等比数列中，成等差数列，则_.4已知函数，且，则_5设为数列的前项和，已知，.（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断，是否成等差数列？6已知等比数列的前项和为，公比，（1）求等比数列的通项公式；（2）设，求的前项和7已知数列的前项和为，点在函数的图象上.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.答案名校预测1【答案】A【详解】由题意可知，所以所以.故选：A.2.【答案】C【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C3.【答案】B【详解】依题意可知.由于满足

55、，则，所以数列为等比数列，公比，对应的频率为，题目所求半音与的频率之比为，所以所求半音对应的频率为，即对应的半音为.故选：B.4.【答案】C【详解】因为，所以.由，得，即，解得.故选：C.【点睛】5.【答案】D【详解】由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，所以，解得，则数列为等差数列，因此，当或时，取最大值，故选D.专家押题1【答案】C【解析】化简，得到通项公式为：，根据递推式，列出如下式子：，则有，由于，则的最小值为100.故选C.【名师点睛】本题考查累加法求和，属于基础题.对于本题，化简，利用累加法直接求得值即可.2【答案】【解析】数列是等差数列，数列是等比数列，即；.故答案为.3【答案

56、】【解析】，成等差数列，即，解得：，.本题正确结果：.【名师点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.求解时，根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比满足，将所求式子化为和的形式，化简可得结果.4【答案】【解析】当为奇数时，.当为偶数时，.所以.【名师点睛】本题主要考查了分类思想及分组求和方法，考查计算能力，属于中档题.求解时，对的取值分奇数、偶数求得，再利用分组求和法求和即可.5【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】，是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，即，成等差数列.【思路点拨】（1）根据条件构造等比数列：，再根据等

57、比数列的定义给予证明；（2）先根据等比数列通项公式求得，即得的通项公式，再根据分组求和法得，最后判断是否成立.6【答案】（1）；（2）.【解析】（1）等比数列的前项和为，公比，得，则，又，所以，因为，所以，所以，所以.（2）由（1）得，所以，所以的前项和【名师点睛】裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和，还有一类隔一项的裂项求和，如或.7【答案】（1）；（2）.【解析】（1）把点代入得，则时，时，经验证，也满足，所以.（2）由（1）得，所以，则，得故.时间：5月24日 今日心情： 核心考点解读不等式一、考纲解读1.二元一

58、次不等式（组）表示的平面区域（II）2.简单的线性规划问题（II）3.利用基本不等式求最大（小）值问题（II）4.利用基本不等式求恒成立问题（II）二、高考预测1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选择题、填空题的形式出现，一般考查二元一次不等式（组）表示的平面区域问题以及简单的线性规划问题，利用基本不等式求解最小（大）值问题，以及基本不等式的实际应用等.2.从考查内容来看，线性规划重点考查不等式（组）表示的可行域的确定，目标函数的最大（小）值的计算等，重点体现数形结合的特点.基本不等式则根据其模型计算最值问题，注意取到最值时的条件是否成立.3.从考查热点来看，求最值是高考命题的热点，通

59、过线性规划求最值体现了数形结合思想以及特殊位置求最值的思想；通过基本不等式求最值，则在于模型化求最值方法的应用.三、知识回顾一、不等关系1不等式的概念（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系（2）用数学符号“”“”“”“”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式2两个实数大小的比较（1）作差法：设a，bR，则，abab0，b0，则ab，ab；ab，bc；(单向性)可加性：abacbc；(双向性)ab，cd；(单向性)可乘性：；(单向性) ab，c0acb0，cd0；(单向性)乘方法则：；(单向性)开方法则：ab0

60、(nN，n2)(单向性)注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递.（2）可乘性中，要特别注意“乘数c”的符号.4必记结论（1）ab，ab0.（2）a0b0,0cd.（4）0axb或axbb0，m0，则；(bm0)；(bm0)二、一元二次不等式及其解法1一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式，有下列三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：；（3）两根式：.2三个“二次”之间的关系判别式的图象一元二次方程的根有两相异实根有两相等实根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集3一元二次不等式的

61、解法由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知,求一元二次不等式的解集的步骤如下：（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即或；（2）计算：求出相应的一元二次方程（）的根，有三种情况：；（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.4一元二次不等式恒成立问题（1）恒成立的充要条件是：且（2）恒成立的充要条件是：且（3）恒成立的充要条件是：且（4）恒成立的充要条件是：且（5）恒成立的充要条件是：且或且（6）恒成立的充要条件是：且或且三、二元一次不等式（组

62、）与平面区域1二元一次不等式表示的平面区域一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界.不等式表示的平面区域包括边界，把边界画成实线2对于二元一次不等式的不同形式，其对应的平面区域有如下结论：3确定二元一次不等式(组)表示平面区域的方法（1）对于直线同一侧的所有点(x，y)，使得的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足.（2）可在直线的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从的符号就可以判断 (或)所表示的区域（3）由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各

63、个不等式所表示的平面区域的公共部分.（4）点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线的两侧的充要条件是；位于直线同侧的充要条件是.四、简单的线性规划问题1简单线性规划问题的有关概念（1）约束条件：由变量x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件关于变量x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的线性约束条件（2）目标函数：我们把求最大值或最小值的函数称为目标函数目标函数是关于变量x，y的一次解析式的称为线性目标函数.（3）线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解由所有可行

64、解组成的集合叫做可行域，其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解2简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线 (目标函数为)；（2）移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案3线性规划的实际问题的类型（1）给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的

65、人力、物力资源量最小 常见问题有：物资调运问题；产品安排问题；下料问题.4非线性目标函数类型（1）对形如型的目标函数均可化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)间距离的平方的最值问题（2）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等（3）对形如型的目标函数，可先变形为的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线的距离的倍的最值六、基本不等式1基本不等式：（1）基本不等式成立的条件：.（2）等号成立的条件，当且仅当时取等号2算术平均数与几何平均数设，则a、b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不

66、小于它们的几何平均数3利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，xy有最小值是.(简记：积定和最小)（2）如果和xy是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)4常用结论（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）七、基本不等式在实际中的应用1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；2经常建立的函数模型有正(反)比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及等解答函数应用题中的最值问题时一般利用二次函数的性质，基本不等式，函数的单调性或导数求解四、应试技巧1

67、.二元一次不等式（组）表示的平面区域(1)能够通过取特殊点，由不等式的符号来确定不等式表示的平面区域.通常情况下取，若不等式相应的直线过，则可在坐标轴上取或.(2)能够确定不等式组表示的平面区域，并计算相应平面区域的面积.计算时要注意利用平面区域所呈现的多边形形状，利用面积公式求解.2.简单的线性规划(1)解不含参数的线性规划问题的一般步骤：根据给定的约束条件画出相应的可行域，考察目标函数的特征，并根据其几何意义确定使其取得最值时的点的坐标，代入目标函数求最值.通常情况下，给定的约束条件多为二元一次不等式组，常见的目标函数有：型的线性目标函数；型的斜率型目标函数；型的两点间距离型目标函数等.(

68、2)使目标函数取得最值的点一般是可行域边界的交点，求出交点坐标，并代入目标函数，可以快捷、准确地计算最值，但要注意可行域的边界是否是实线.(3)解含参数的线性规划问题通常有以下两种类型：i)条件不等式组中含有参数，此时不能明确可行域的形状，因此增加阶梯式画图分析的难度.求解这类问题时，要有全局观，要能够结合目标函数取得最值的情况进行逆向分析，利用目标函数取得最值时所得的直线与约束条件所对应的直线形成交点，求解参数.ii)目标函数中设置参数，旨在增加探索问题的动态性和开放性.要能够从目标函数的结论入手，多图形的动态分析，对变化过程中的相关数据准确定位，以此解决问题.3.利用基本不等式求最值问题(

69、1)利用基本不等式求最值的主要方法：和定积最大，积定和最小.(2)注意基本不等式应用的环境及最值取到的条件：一正二定三相等.(3)常用的不等式模型：基本不等式链：若，则，当且仅当时等号成立.若，则，当且仅当时等号成立.(4)利用基本不等式求最值的注意点：i)要能够通过恒等变形及配凑，使其“和”或“积”为定值；ii)要注意在正数范围内应用基本不等式，同时等号成立的条件要验证.4.利用基本不等式解恒成立问题(1)根据条件进行参变分离，然后利用基本不等式得到最值，利用参数与最值的大小关系比较得到范围.(2)根据参数的可能变化及给定的范围，分类讨论，逐步确定参数的取值范围.-真题回顾1（2020天津6

70、）设，则的大小关系为( )ABCD【答案】D【解析】由题知，易知函数在上单调递增，所以，所以，故选D2.（2020全国3文12）已知函数，则( )A 的最小值为2B 的图像关于轴对称C 的图像关于直线对称D 的图像关于直线对称【答案】D【解析】由题意得对于A，当时，当且仅当时取等号；当时，当且仅当时取等号，所以A错误对于B，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以B错误对于C，则，的图象不关于直线对称，所以C错误对于D，所以，的图象关于直线对称，所以D正确故选D3.（2020上海13）下列不等式恒成立的是（ ）A B C D 【答案】B【解析】由基本不等式可知，故A不正确；，即恒成立，故B正确；当

71、时，不等式不成立，故C不正确；当时，不等式不成立，故D不正确，故选B4.（2020浙江3）若实数满足约束条件，则的取值范围是( )ABCD【答案】B【解析】画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移该直线，易知当直线经过点时，取得最小值，再数形结合可得的取值范围是5.（2020全国III理13）若x，y满足约束条件则的最大值为_【答案】7【解析】 根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示结合图形可知，当直线过点时，取得最大值，且6（2020全国I理14）若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】【解析】设，则为增函数，当时，此时，有；当时，此时，有，C、D错误，故选B名校预测1（2020安徽高

72、三月考（理）已知变量x，y满足，则的最小值是（ ）ABCD92（2021贵州贵阳一中高二月考）已知x，y满足，则的取值范围是（ ）ABCD3.（2020嘉祥县第一中学高三一模）若，则的最小值为（ ）A6BC3D4.（2021安徽黄山高考模拟（理）已知，则的最小值是( )A2B3C4D55.（2020广东梅州高三其他模拟（理）若有下列四个不等式：；则下列组合中全部正确的为（ ）ABCD专家押题1已知正数满足，则A有最大值B有最小值C有最大值10D有最小值102已知，则取到最小值时，ABCD3.若不等式的解集是，则不等式的解集是ABC2，3D3，24在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动

73、点，则的最小值是A1BC2D5已知，设为可行域内一点，则的最大值为ABCD答案名校预测1【答案】A【详解】由不等式组表示区域，端点分别为，当直线过点B时t有最小值，此时有最小值，故选：A2.【答案】C【详解】由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点距离的平方，由图可知，的最小值为，的最大值为的取值范围是，故选：C3.【答案】C【详解】解：，且，当且仅当且即时，等号成立；故选：C4.【答案】D【详解】由题意知，因为，所以，则，（当且仅当，即时取“=”）故的最小值是5.故答案为D.5.【答案】B【详解】解：若，则，故正确；令，则，故错误；由，得，则，即，则成立，故正确；令，则，则

74、，故错误；故选：B专家押题1【答案】A【解析】由不等式的性质有：（）2，当且仅当时等号成立，即（）250，又m0，n0，所以，即m，故选A【名师点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立的条件，属中档题.2【答案】D【解析】由，可得，且.所以，当且时等号成立，解得.所以取到最小值时.故选D.【名师点睛】本题考查基本不等式取得最值的条件，多次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.3.【答案】D【解析】因为不等式的解集是，所以，解得，所以不等式可化为，即，解得.故选D.4【答案】B【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O向直线作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值，所以.故选B.【名师点睛】本题考查线性规划，属于距离模型，利用点到直线的距离公式求解.求解时，首先在平面直角坐标系中作出不等式组表示的可行域，表示O到可行域内某点的距离，过点O向直线作垂线，垂足在可行域内，所以O到直线的距离即为的最小值.5【答案】C【解析】由题意作出其平面区域，由解得，由线性规划知识知经过点时，取得最大值，此时，有最大值，故选C.