[32452875]10、微专题：二倍角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦余弦正切二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos2；sin2；sin cossin 2.（2）配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos (sin cos )2；【典例】题型1、给角求值例1、求值：cos 20cos 40cos 80【提示】；【答案】；【解析】；【说明】题型2、给值求值例2、（1）已知sin，则sin 2x的值等于_【提示】；【答案】；【解析】方法1、方法2、例2、（2）若sin 3cos 0，则cos2sin 2()A2 B2 C. D【提示】；【答案】；【

2、解析】【说明】题型3、化简与证明例3、（1）化简：；（2）求证：tan4A.题型4、二倍角公式推导思路的拓展三倍角公式例4、（1）试用 表示；（2）试用 表示；（2）试用 表示；【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦sin 22sin_cos_S2余弦cos 2cos2sin22cos2112sin2C2正切tan 2T2【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4是2的二倍角，是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的，这里蕴含着换元思想；（2）对于S2和C2，R，但是在使用T2时，要保证分母1tan20且tan 有意义，即k且k且k(kZ)当k及k(kZ)

3、时，tan 2的值不存在；当k(kZ)时，tan 的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2tan(2k)0.（3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种（4）一般情况下，sin 22sin ，cos 22cos ，tan 22tan .（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式例如，sin 3cos 3sin 6.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos，则sin 2()A. B. C D2、若sin，则cos ()A B C

4、. D.3、若2 012，则tan 2_4、等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为_5、设为锐角，若cos，则sin的值为_.6、sin ，0x，则的值为 7、sin sin ，x，则tan 4x的值为 8、已知sin，则sin 9、已知sin cos ，且0，求：sin2，cos 2，tan 2的值10、求证：.【教师版】微专题：二倍角公式及其应用二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦余弦正切二倍角公式变形（1）升降幂公式：cos2；sin2；sin cossin 2.（2）配方变形公式：1cos 22cos2；1cos 22sin2；12sin cos (sin

5、 cos )2；【典例】题型1、给角求值例1、求值：cos 20cos 40cos 80【提示】注意：角“20、40、80”成“二倍”关系；【答案】；【解析】原式；【说明】本题属于：给角求值问题；对于给角求值问题，一般有两类：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式；题型2、给值求值例2、（1）已知sin，则sin 2x的值等于_【提示】注意：角“”与角“2x

6、”之间关系；【答案】；【解析】方法1、因为sin，所以cos12sin2122，所以sin 2xcos.方法2、由sin，得(sin xcos x)，所以sin xcos x，两边平方得1sin 2x，所以sin 2x；例2、（2）若sin 3cos 0，则cos2sin 2()A2 B2 C. D【提示】注意：角“”与“2”之间二倍关系，以及“齐次”式的特点；【答案】D；【解析】由sin 3cos 0得tan 3，所以cos2sin 2，故选D；【说明】本题属于：给值求值问题；解决给值求值问题的方法：（1）给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：有方向地将已知式或未知

7、式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系（2）注意几种公式的灵活应用，如：sin 2xcoscos2cos2x112sin2.cos 2xsinsin2sinxcos.题型3、化简与证明例3、（1）化简：；（2）求证：tan4A.【提示】注意：灵活运用与应用公式的变形；【解析】（1）sin xtan x；（2）证明：因为左边22(tan2A)2tan4A右边，所以tan4A；【说明】任意角的三角比的化简方法：三角比的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式

8、，常见的有“切化弦”“弦化切”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等题型4、二倍角公式推导思路的拓展三倍角公式例4、（1）试用 表示；（2）试用 表示；（2）试用 表示；【解析】（1）；（2）；【说明】理解二倍角公式的推导思路；并从推导过程进行拓展（问题：如何记忆三倍角公式）【归纳】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式三角比公式简记正弦sin 22sin_cos_S2余弦cos 2cos2sin22cos2112sin2C2正切tan 2T2【理解】（1）二倍角的“广义理解”：二倍角是相对的，如4是2的二倍角，是的二倍角等，“倍”是描述两个数量之间关系的

9、，这里蕴含着换元思想；（2）对于S2和C2，R，但是在使用T2时，要保证分母1tan20且tan 有意义，即k且k且k(kZ)当k及k(kZ)时，tan 2的值不存在；当k(kZ)时，tan 的值不存在，故不能用二倍角公式求tan 2，此时可以利用诱导公式直接求出tan 2tan(2k)0.（3）二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种（4）一般情况下，sin 22sin ，cos 22cos ，tan 22tan .（5）倍角公式的逆用能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用形式例如，sin 3cos 3sin

10、 6.（6）和角公式与二倍角公式之间的联系：【即时练习】1、若cos，则sin 2()A. B. C D【答案】D；【解析】因为cos，所以sin 2coscos2cos2121.2、若sin，则cos ()A B C. D.【答案】C；【解析】因为sin，所以cos 12sin2 12()2.3、若2 012，则tan 2_【答案】 2 012；【解析】tan 22 0124、等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为_【答案】【解析】设A，B分别是等腰ABC的顶角和底角，则cos B，sin B.所以sin Asin(1802B)sin 2B2sin Bcos B2.5、设

11、为锐角，若cos，则sin的值为_.【答案】；【解析】为锐角，.cos，sin，sinsin2sincos2，coscos2cos2121，sinsinsincoscossin.6、sin ，0x，则的值为 【答案】；【解析】0x，x.又sin ，cos .又cos 2xsin 2sin cos 2，cos sin sin ，原式.7、sin sin ，x，则tan 4x的值为 【答案】；【解析】sin sin sin sin sin cos sin cos 2x，cos 2x.x，2x(，2)，sin 2x.tan 2x2.tan 4x.8、已知sin，则sin 【答案】；【解析】sinsi

12、ncos12sin2.9、已知sin cos ，且0，求：sin2，cos 2，tan 2的值【解析】方法1、由sin cos ，得(sin cos )2，即12sin cos ，sin 22sin cos .sin cos 0，00，cos 0，sin |cos |.cos 2cos2sin20.cos 2.tan 2.方法2、：sin cos ，(sin cos )2，即12sin cos ，sin 22sin cos .00.又sin cos 0，cos 0.sin cos .cos 2cos2sin2(cos sin )(cos sin )().tan 2.10、求证：.【证明】原式变形为1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)，(*)而(*)式右边tan 2(1cos 4sin 4)(2cos222sin 2cos 2)2sin 2cos 22sin22sin 41cos 4左边，(*)式成立，即原式得证.