【23押题卷丨金榜猜题卷丨新高考】数学3.docx

1、2023届新高考数学金榜猜题卷（3）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则( )A.B.C.D.2.若复数z满足，则( )A.1B.C.D.3.已知，则a与b的夹角为( )A.B.C.D.4.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块，8块，且乙生产该芯片的次品率为，现从这20块芯片中任取一块芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率为( )A.B.C.D.5.圆锥的母线长为4，侧面积是底面积的倍，过圆锥

2、的两条母线作圆锥的截面，则该截面面积的最大值是( )A.8B.C.D.6.已知的图象关于点对称，且对任意，都有成立，当时，则( ).A.-8B.-2C.0D.27.九章算术是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著.九章算术内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.其中卷第五商功中记载了如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何?”其意思为“现在有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，无宽，上棱长2丈，高1丈，问它的体积是多少?”(1丈为10尺

3、).该问题中涉及的几何体如图所示，在多面体中，平面的中点G在底面上的射影为矩形的中心，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.8.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，则椭圆C的方程为( )A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.若，且，则下列不等式中，恒成立的是( )A.B.C.D.10.已知函数（为正整数，）的最小正周期，将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数的说法正确的是( )A

4、.是函数的一个零点B.函数的图象关于直线对称C.方程在上有三个解D.函数在上单调递减11.已知函数，则下列说法正确的是( )A.若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或B.函数的图象过坐标原点的充要条件是C.若函数在R上单调，则D.若函数的图象关于点中心对称，则12.正四面体中，点分别满足，其中，则下列说法正确的有( )A.当时，平面B.不存在使得C.异面直线与所成角的余弦值D.若正四面体的棱长为，则该正四面体的外接球的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列的前n项和为，且，则_.14.的展开式中常数项为_.（用数字作答）15.已知双曲线的实轴长为4，离心率为，

5、直线l与C交于A，B两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点.若点M的横坐标为1，则的取值范围为_.16.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列的前n项和为.（1）若，证明：；（2）在（1）的条件下，若，数列的前n项和为，求证.18.（12分）已知菱形ABCD的边长为2，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.(1)若的面积为，求DE的长.(2)若，求.19.（12分）某工厂统计了某产品的原材料投人x(万元)与利润y(万元)间的几组数据如下：原材料投入x(万元)8284858688利

6、润y(万元)770800830850900(1)根据经验可知原材料投人x(万元)与利润y(万元)间具有线性相关关系，求利润y(万元)关于原材料投人x(万元)的线性回归方程.(2)当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为多少万元?附：，.20.（12分）如图，PO是三棱锥的高，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，求二面角正余弦值.21.（12分）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.(1)求抛物线C的方程；(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.2

7、2.（12分）已知函数(其中e为自然对数的底数，).(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若，方程有两个不同的实数根，求证：.答案以及解析1.答案：D解析：集合，所以，所以.故选D.2.答案：D解析：由，所以，故选D.3.答案：B解析：由，解得，所以，则a与b的夹角为，故选B.4.答案：B解析：设，分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为p，则，则由全概率公式得：，解得，故选：B.5.答案：A解析：本题考查圆锥的侧面积、底面积、截面面积的求解.设圆锥底面半径为r，母线为l，轴截面顶角为，则，得，所以，因为为锐角，所以，即，则为纯角，所以当

8、圆锥两条母线互相垂直时，截面面积最大，最大值为.故选A.6.答案：B解析：因为的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即函数为奇函数，所以，又对任意，都有成立，所以，所以，即函数是周期为4的周期函数，因为当时，所以，故选B.7.答案：D解析：本题考查数学文化、异面直线所成角.如图，分别取的中点，连接，则，所以(或其补角)为异面直线与所成角.由题意知四边形为等腰梯形，则由等腰梯形的性质知，所以，所以在中，由余弦定理，得，故选D.8.答案：A解析：因为点A在椭圆上，所以，把该等式两边同时平方，得.又，所以，则，即，所以.因为是直角三角形，且O为的中点，所以.不妨设点A在第一象限，则，所以，所以

9、，即，故，所以椭圆C的方程为，故选A.9.答案：AD解析：对于A，因为，所以，因此A项正确；对于B，取，此时，因此B项不正确；对于C，取，此时，因此C项不正确；对于D，因为，所以，所以，因此D正确.10.答案：ABD解析：由题意得，解得，又为正整数，所以，所以.函数的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数.由题意，函数的图象关于原点对称，故，即.又，所以，所以.A选项，故A正确；B选项：，所以B正确；选项：令，因为，所以，显然在内只有，两个解，故C错误；D选项：当时，故函数在上单调递减，D正确.11.答案：ABD解析：A选项，由题意知实数，是方程的两个不等实根，所以，且，由，得，所以，解得

10、或，所以A正确.B选项：若函数的图象过坐标原点，则，故充分性成立；反之，若，则，故函数的图象过坐标原点，必要性成立.故B正确.选项：若函数在R上单调，则恒成立，所以，即，故C不正确.D选项：因为函数的图象关于点中心对称，所以，即，整理得，所以，所以D正确.12.答案：AD解析：对于A，如图1，当时，点分别是的中点，.又平面，平面，所以平面，故选项A正确；对于B，如图2，将正四面体放在正方体内，由正方体的结构特征可知，所以当分别是的中点时，即存在使得，故选项B错误；对于C，如图1，取的中点E，连接，则，异面直线与所成角即为.在中，设，则，由余弦定理得，故选项C错误；对于D，如图2，把正四面体放入

11、正方体中，由正四面体的棱长为，得正方体的边长为2，所以正方体的外接球的直径为，则该正方体的外接球的体积，即该正四面体的外接球的体积为，故选项D正确，故选AD.13.答案：解析：因为，所以当时，由，得；当时，化简得，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以.14.答案：182解析：因为，其中展开式的通项为，令得的常数项为，令，即得展开式中的系数为.所以的常数项为.故答案为：182.15.答案：解析：由题知解得所以双曲线.设直线l的方程为，联立消去y并整理得，所以，所以，设，所以，所以，又，所以，所以，易知直线l与双曲线左、右两支各交于一点，所以，所以，所以，所以16.答案：

12、解析：由题可知，当时，不等式恒成立，设，则在上是增函数，则在上恒成立，即在上恒成立.令，则，当时，单调递减，当时，单调递增.所以，所以.17.答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）因为，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，当时，当时，满足上式，所以，所以成立.（2）由（1）知，所以，则，所以，所以成立.18.答案：(1)(2)解析：(1)依题意，得.因为的面积，所以，解得.在中，由余弦定理得.(2)方法一：连接BD.依题意，得，设，则，在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，所以.方法二：连接BD.依题意，得，设，则，设，因为，则，在中，由余弦定理，得，即，解得，或.又因为

13、，所以，所以，所以，在中，由正弦定理得，所以.19.答案：(1)(2)1160万元解析：(1)由题中数据可得，所以所以，所以线性回归方程为.(2)当时，(万元)，即当原材料投人为100万元时，预估该产品的利润为1160万元20.答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.又平面ODE，所以平面

14、平面PAC.又平面ODE，所以平面PAC.（2）连接OA，因为平面ABC，平面ABC，所以，所以.易得在中，所以，又，所以在中，.以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面AEC的法向量为，则，即，令，则.设平面AEB的法向量为，则，即，令，则.所以.设二面角的大小为，则.21.答案：(1)(2)(1)焦点，显然直线AB的斜率存在，设，与联立，消去y得，设，则，所以，所以且，故，即，整理得对任意的k恒成立，故，所求抛物线C的方程为.(2)由题知，则.又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.点D到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG面积的最小值为.22.答案：(1)(2)见解析解析：(1)当时，则，因此，故曲线在点处的切线方程为.(2)由题意知方程有两个不同的实数根.对于函数，令，解得，令，解得，则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，得.又当时，所以方程的两个不同的实数根均大于0.当时，方程即方程，则原问题等价于有两个不同的正实数根.令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则.令，则，因此在上单调递增，从而当时，所以，因为，函数在上单调递减，所以，即，则，故原命题得证.