专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）（解析版）.docx

1、专题12垂径定理、圆周角和圆心角的关系（6个知识8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点）知识点2.垂径定理的推论（难点）知识点3.圆周角（重点）知识点4.圆周角定理（重点）知识点5.圆周角定理的推论（难点）知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）【方法二】 实例探索法题型1.最短距离问题题型2.辅助线的添加方法题型3.方程思想题型4.垂径定理的实际应用题型5.圆中角度的计算题型6.圆内接四边形与圆周角定理的综合应用题型7.动点问题题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1. 掌握垂径定理，并会运用垂径定理进行简单的计算。

2、2. 掌握与垂径定理有关的推论，并能运用这一推论解决相关问题。3.认识圆周角，掌握圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。4.能运用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.垂径定理（重点） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧【例1】（2022秋锡山区校级月考）如图，在O中，OCAB于点C，若O的半径为10，AB16，则OC的长为 【解答】解：如图，连接OAOCAB，ACCBAB8，OA10，ACO90，OC6，故答案为：6【变式】（2022秋江苏南京九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图，AB

3、是O的直径，弦CDAB于点E，则下列结论一定正确的个数有（）CE=DE；BE=OE；CAB=DABA4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】已知直径AB垂直于弦CD，那么可根据垂径定理来判断所给出的结论是否正确【详解】解：AB是O的直径，且ABCD，CE=DE，；故正确；CAB=DAB；故正确由于没有条件能够证明BE=OE，故不一定成立；所以一定正确的结论是；故选：B【点睛】此题主要考查的是垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，掌握垂径定理是解题的关键知识点2.垂径定理的推论（难点） 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 推论2：弦的垂直平

4、分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧【例2】（2022秋九年级统考期中）如图，的弦，M是的中点，且，则的半径等于（）A7B4C5D6【答案】C【分析】连接，根据M是的中点，得到，利用勾股定理进行求解即可【详解】解：的弦，M是的中点，连接，在中，即：的半径等于5；故选C【点睛】本题考查垂径定理的推论熟练掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，是解题的关键【变式】（2023秋浙江台州九年级统考期末）如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A点B点 C点 D点 【答案】B【分析】根据垂径定理的推论：弦的

5、垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图，它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心故选：B【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键知识点3.圆周角（重点）1.圆周角定义： 像图中AEB、ADB、ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角2.圆心角与圆周角的区别与联系【例3】观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【答案与解析】(a)1顶点在O内，两边与圆相交，所以1不是圆周角； (b)2顶点在圆外，两边与圆相交，所以2不是圆周

6、角；(c)图中3、4、BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以3、4、BAD是圆周角(d)5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以5不是圆周角；(e)6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知6不是圆周角.【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角知识点4.圆周角定理（重点）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半【例4】如图，点C在上，且点C不与A、B重合，则的度数为（ ）A B或 C D 或【答案】D；【解析】当点C在优弧AB上时，ACB =50；当点C在劣弧AB上时，ACB =130，故选D.【点评】考查分类讨论思想.【变式】如

7、图，AB是O的弦，AOB80则弦AB所对的圆周角是 .【答案】40或140.知识点5.圆周角定理的推论（难点）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上；角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部（如下图）【例5】（2023秋江苏九年级专题练习）如图，是的直径，A、B是上的两点，若，则的度数为（）ABCD【答案】A【详解】解：是的直径，【变式】如图，A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下

8、方A上的一点，连接BO、BD，则OBD的度数是 【答案】30【详解】连接CD.由题意得COD=90，CD是A的直径.D（0，1），C（，0），OD=1，OC=，CD=2，OCD=30，OBD=OCD=30.（同弧或等弧所对的圆周角相等） 知识点6.圆内接四边形的概念与性质（重点）（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形 （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）【例6】（2022秋靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于O求证：A+C180【解答】证明：如图，连接OB、OD，由圆周角定理得：A2，C1，2+1360，A+C1

9、80【变式】如图已知四边形ABCD内接于O，ABC70，则ADC的度数是 【解答】解：四边形ABCD内接于O，ABC+ADC180，ABC70，ADC110，故答案为：110【方法二】实例探索法题型1.最短距离问题1（2022秋江苏无锡九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，交x轴于，两点，交y轴于C，两点，点S是 上一动点，N是的中点，则线段的最小值是 【答案】【分析】在y轴上截取，连接，根据，求出点M的坐标为，根据，得出，当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，求出，得出，即可得出答案【详解】解：在y轴上截取，连接，如图所示：，圆心M在的垂直平分线

10、上，M点的横坐标为1，设M点的纵坐标为n，解得：，当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值，如图所示：，故答案为：【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，中位线定理，作出相应的辅助线，求出点M的坐标，解题的关键是找出当取最小值时，才能取得最小值，当且仅当E、S、M三点共线时，才能取得最小值题型2.辅助线的添加方法2（2021秋江苏九年级专题练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm.A6BCD【答案】C【分析】作O

11、DAB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.【详解】解：作ODAB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，OA=OD=4，CD=2，OC=2，AC=，AB=2AC=.故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.题型3.方程思想3.（2022秋江宁区校级月考）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是O中弦CD的中点，EM经过圆心O交O于点E，若CD4m，EM6m，则O的半径为 m【解答】解：M是O弦CD的中点，根据垂

12、径定理：EMCD，又CD4则有：CMCD2m，设圆的半径是x米，在RtCOM中，有OC2CM2+OM2，即：x222+（6x）2，解得：x，所以圆的半径长是m故答案为：题型4.垂径定理的实际应用4.（2022秋如皋市校级月考）兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB16m，半径OA10m，高度CD为 m【解答】解：OCAB，ADO90，ADAB8，在RtAOD中，OD2OA2AD2，OD6，CD1064（m）故答案是45.（2022钟楼区校级模拟）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且O被水面截得弦A

13、B长为4米，O半径长为3米若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A1米B2米C米D米【解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OAOC3米，OCAB，ADBDAB2（米），ADO90，OD（米），CDOCOD（3）米，即点C到弦AB所在直线的距离是（3）米，故选：C6.（2022秋泰州月考）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB60米，拱高PD18米（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE4米时，是否要采取紧急措施？【解答】解：（1）连接OA，由题意得：ADAB30（米），OD（r18）米，在

14、RtADO中，由勾股定理得：r2302+（r18）2，解得，r34（米）；（2）连接OA，OEOPPE30米，在RtAEO中，由勾股定理得：AE2AO2OE2，即：AE2342302，解得：AE16（米）AB32（米）AB3230，不需要采取紧急措施题型5.圆中角度的计算7（2022秋鼓楼区期末）如图，AB为O的直径，D是弦AC延长线上一点，ACCD，DB的延长线交O于点E，连接CE（1）求证AD；（2）若的度数为108，求E的度数【解答】（1）证明：连接BC，AB是O的直径，即ADBC，又ACCD，ABBD，AD；（2）解：的度数为108，EBA54，又EBAA+D，AD，EA27题型6.圆

15、内接四边形与圆周角定理的综合应用8（2022秋宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线（1）求证DABDCE；（2）若DAB60，ACB70，求ABD的度数【解答】（1）证明：四边形ABCD内接于圆，DAB+DCB180，DCE+DCB180，DABDCE；（2）解：ACB70，ADBACB70，ABD1806070509（2022秋镇江期中）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，EADBAC，BA、CD延长线交于点E求证：BDBC【解答】证明：四边形ABCD为O的内接四边形，BCD+BAD180，EAD+BAD180，BCDEAD，EADBAC，BCDBAC，BDCB

16、AC，BCDBDC，BDBC题型7.动点问题10（2023江苏泰州统考中考真题）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角知识回顾(1)如图，中，B、C位于直线异侧，求的度数；若的半径为5，求的长；逆向思考(2)如图，P为圆内一点，且，求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动点D在上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变请证明【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）根据，结合圆周角定理求的度数；构造直角三角形；（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来

17、说明此线段和相等【详解】（1）解：，连接，过作，垂足为，是等腰直角三角形，且，是等腰直角三角形，在直角三角形中，（2）证明：延长交圆于点，则，为该圆的圆心（3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，是等腰直角三角形，是直径，必有一个点的位置始终不变，点即为所求【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键题型8.圆周角定理与其他几何知识的综合11（2023滨江区一模）如图1，AB为O的直径，CDAB于点E，BF与CD交于点G（1）求证：CDBF（2）若BE1，BF4，求GE的长（3）连结GO，OF，如图2，求证：【解答】（

18、1）证明：AB为O的直径，CDAB于点E，即，BFCD；（2）解：如图所示：连接BC，由（1）得：，CDBF4，FBCBCD，BGCG，AB为O的直径，CDAB于点E，设EGx，则BGCG2x，在BEG中，EG2+BE2BG2，即x2+12（2x）2，解得：，GE的长为；（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，在OCG和OBG中，OCGOBG（SSS），COGBOG，IOB2EOG，OFOB，OC为半径，OCBF，OIB90，IOB+IBO90，【方法三】 成果评定法一选择题（共6小题）1（2023秋惠山区校级期中）如图，是的直径，弦于点，则的长为ABCD【分析】根据勾股定理求出，根据勾股定理

19、计算即可【解答】解：弦，在中，故选：【点评】本题考查的是垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键2（2023春鼓楼区校级月考）如图，在正方形中，以边为直径作半圆，是半圆上的动点，于点，于点，设，则的最小值是ABCD【分析】连接、，如图，先利用勾股定理计算出，再利用四边形为矩形得到，则，即，所以当的值最小时，的值最小，由于（当且仅当、共线时取等号），所以的最小值为，从而得到的最小值【解答】解：连接、，如图，四边形为正方形，为半圆的直径，四边形为矩形，即，当的值最小时，的值最小，（当且仅当、共线时取等号），的最小值为，即的最小值为故选：【点评】本题考查了

20、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理和正方形的性质3（2023秋滨湖区校级期中）“圆材埋壁”是我国古代数学名著九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，尺寸），则圆的直径长度是A12寸B24寸C13寸D26寸【分析】连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长【解答】解：连接，设的半径是寸，弦，垂足为点，寸，寸，寸，直径的长度为寸故选：【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理的应用，关键是连接构造直角三角形，应用垂径定理，

21、勾股定理列出关于圆半径的方程4（2023秋铜山区校级月考）如图，点、在上，则的度数是ABCD【分析】利用圆周角定理求解即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查圆周角定理，三角形面积和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型5（2023苏州）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，连接，过点作，交的延长线于点设的面积为，的面积为，若，则的值为ABCD【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，再利用正切的定义可得答案【解答】解：如图，过作于，即，即，设，则，；故选【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三

22、角形是解本题的关键6（2023秋梁溪区校级期中）如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为ABCD【分析】求出的度数，根据圆内接四边形的对角互补得出，求出，根据圆周角定理得出，再求出答案即可【解答】解：，四边形内接于，故选：【点评】本题考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，能熟记圆内接四边形的性质和圆周角定理是解此题的关键二填空题（共6小题）7（2023秋滨海县期中）如图，点，在上，则【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案【解答】解：，故答案为：【点评】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出度数是解题关键8（2023秋镇江期中）如图，某圆弧形拱

23、桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为 8.9【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为 ，连接根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径是 ，连接根据垂径定理，得：，在中，根据勾股定理，得，解得：，即该拱桥的半径为，故答案为：8.9【点评】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键9（2023秋高新区校级期中）如图是一个圆柱形的玻璃保温水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面，则水的最大深度是 2【分析】连接，则有，根据勾股定理计算即可【

24、解答】解：如图所示，连接，则有，在中，故答案为：2【点评】本题考查了垂径定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键10（2023秋丰县期中）如图，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上一动点，的半径是2，则的最小值为 【分析】首先作关于的对称点，连接，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答【解答】解：作关于的对称点，连接，交于，此时，根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，连接，点是半圆上的一个三等分点，弧中点，的半径是2，即的最小值为故答案为：【点评】本题考查的是圆周角定理，轴对称最短路线问题，解答此题的关键是找到点的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答11（2023秋

25、鼓楼区校级月考）如图，已知的半径为7，是的弦，点在弦上若，则的长为 5【分析】过作于，连接，求出，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可【解答】解：过作于，连接，则，过圆心，故答案为：5【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键12（2023秋建湖县期中）如图，点、在上，连接并延长，交于点，连接、若，则的大小为 54【分析】利用平行线的性质求出，再利用圆周角定理求出，利用平行线的性质可得，再证明可得结论【解答】解：，是的直径，故答案为：54【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型三

26、解答题（共6小题）13（2023秋仪征市期中）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于点、（1）求证；（2）若，大圆和小圆的半径分别为6和4，则的长度是【分析】（1）作于，如图，根据垂径定理得到，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接，如图，设，利用勾股定理得到，则，然后解方程求出即可得到的长【解答】（1）证明：作于，如图，；（2）解：连接，如图，设，在中，在中，解得，故答案为：【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理14（2023秋广陵区期中）如图，四边形内接于，为的直径，（1）若，求的度数；（2）求证：【分析】（1）根据，可

27、得，根据三角形的内角和定理得出，根据平行线的性质求出，根据圆内接四边形的性质求出的度数即可；（2）连接，根据，可得，根据平行线的性质可得，从而证得结论【解答】（1）解：，四边形是的内接四边形，；（2）证明：连接，【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关定理并灵活运用15（2023秋句容市期中）已知：如图，是以为直径的上的两点，分别连接、，且，求证：【分析】连接，根据平行线的性质得到，而，所以，则根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论【解答】证明：连接，如图，又，【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一

28、组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等16（2023秋淮安区期中）某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即，（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；（2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，设，则，在中，根据勾股定理可得，列出方程求解即可；（2）易得米，构造如图所示矩形，连接，推出米，根据勾股定理可得米，求出，再与7.5米进行比较即可【解答】解：（1）解：连接，设，在中，根据勾股定理可得：，即，解得：，答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米（2）解：米，（米，构造如图所示矩形，连接，当时，（米，根据勾股定理可

29、得：（米，（米，此货船不能顺利通过这座桥【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，解得的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解17（2023秋邳州市期中）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：如图，为的直径，弦于点，求的长【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出的长，再直径的长为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，求出方程的解即可得到的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案【解答】解：设直径的长为，则半径，为的直径，弦于，连接，则，根据勾股定理，得，解得，【点评】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，做此类题时要多观察，多分析，才能发现线段之间的联系18（2023秋泗阳县期中）如图，是的直径，是的弦，求的度数【分析】根据同弧所对的圆周角相等，求出，再根据直径所对的圆周角为，求出的度数【解答】解：，为直径，在中，【点评】本题考查了圆周角定理，知道同弧所对的圆周角相等和直径所对的圆周角是是解题的关键