专题14 全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（教师卷）.docx

1、专题14 全等与相似模型-一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180与三角形内角和为180，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE证明思路： + 任一边相等异侧

2、型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等证明思路：+任一边相等例1（2021山东日照中考真题）如图，在矩形中，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动当为_时，与全等【答案】2或【分析】可分两种情况：得到，得到，然后分别计算出的值，进而得到的值【详解】解：当，时，解得：，解得：；当，时，解得：，解得：，综上所述，当或时，与全等，故答案为：2或【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质例2（2

3、022黑龙江九年级期末）（1）如图（1），已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m， CE直线m，垂足分别为点D、E证明DE=BD+CE（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为BAC平分线上的一点，且ABF和ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若BDA=AEC=BAC，试判断DEF的

4、形状【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证ADBCEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明ADBCEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由ADBCEA得BD=AE，DBA =CAE，由ABF和ACF均等边三角形，得ABF=CAF=60，FB=FA，所以DBA+ABF=CAE+CAF，即DBF=FAE，所以DBFEAF，所以FD=FE，BFD=AFE，再根据DFE=DFA+AFE=DFA+BFD=600得到DEF是

5、等边三角形【详解】解：（1）证明：BD直线m，CE直线m，BDACEA=90BAC90，BAD+CAE=90BAD+ABD=90，CAE=ABD又AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE；（2）成立证明如下：BDA =BAC=，DBA+BAD=BAD +CAE=180-DBA=CAEBDA=AEC=，AB=AC，ADBCEA（AAS）AE=BD，AD=CEDE=AE+AD=BD+CE；（3）DEF为等边三角形理由如下：由（2）知，ADBCEA，BD=AE，DBA =CAE，ABF和ACF均为等边三角形，ABF=CAF=60DBA+ABF=CAE+CA

6、FDBF=FAEBF=AF，DBFEAF（SAS）DF=EF，BFD=AFEDFE=DFA+AFE=DFA+BFD=60DEF为等边三角形【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定例3（2022广东汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB=90，CB=CA，直线ED经过点C，过A作ADED于D，过B作BEED于E求证：BECCDA；（2）模型应用：已知直线AB与y轴交于A点，与轴交于B点，sinABO=，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作

7、直线，求直线AC的解析式；如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=25上的一点，若APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标【答案】（1）见解析；（2）；D（3，1）或【详解】（1）解：由题意可得， ， ， ，在和中， ，（2）解：如图，过点C作 轴于点D，在RtABO中 sinABO，OB4，设AO=3m，AB=5m，OB=4m=4，m=1，AO=3， 同（1）可证得， ， ，设直线AC解析式为 ，把C点坐标代入可得，解得 ，直线AC解析式为；设D坐标为（x，2x-5）,

8、当D在AB的下方时，过D作DEy轴于E，交BC于F,同（1）可证得ADEDPF，DF=AE=6-（2x-5）=11-2x，DE=x, 11-2x+x=8,x=3，D（3，1），当D在AB的上方时，如图，过D作DEy轴于E，交BC的延长线于F,同（1）可证得，DF=AE=（2x-5）-6=2x-11，DE=x，2x-11+x=8，综上述D（3，1）或【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法一次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键例4（2023湖南岳阳统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2，B=40，点D在线段BC上运

9、动（点D不与点B、C重合），连接AD，作ADE=40，DE交线段AC于点E（1）当BDA=115时，EDC=_，AED=_；（2）线段DC的长度为何值时，ABDDCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求BDA的度数；若不可以，请说明理由【答案】（1）25，65；（2）2，理由见详解；（3）可以，110或80.【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用DEC+EDC=140，ADB+EDC=140，求出ADB=DEC，再利用AB=DC=2，即可得出ABDDCE（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰

10、三角形【详解】解：（1）B=40，ADB=115，BAD=180-B-ADB=180-115-40=25，AB=AC，C=B=40，EDC=180-ADB-ADE=25，DEC=180-EDC-C=115，AED=180-DEC=180-115=65；（2）当DC=2时，ABDDCE，理由：C=40，DEC+EDC=140，又ADE=40，ADB+EDC=140，ADB=DEC，又AB=DC=2，在ABD和DCE中， ABDDCE（AAS）；（3）当BDA的度数为110或80时，ADE的形状是等腰三角形，BDA=110时，ADC=70，C=40，DAC=70，ADE的形状是等腰三角形；当BDA

11、的度数为80时，ADC=100，C=40，DAC=40，ADE的形状是等腰三角形【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题例5（2022浙江杭州一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DFAE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：ADFEAB理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以B90且ADAB和ADBC又因为DFAE（已知）即DFA90（垂直的意义）所以DFAB（等量代换）又ADBC 所以12（两直

12、线平行，内错角相等）在ADF和EAB中所以ADFEAB（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BHAE于点H，证明见详解；【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与ADF全等的三角形成立的理由即可解答本题；【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，

13、作BHAE于H，则ADFBAH；四边形ABCD是正方形，AD=BA，DAB=90，HAB+FAD=90，DFAE，BHAE，DFA=AHB=90，HAB+HBA=90，FAD=HBA，在ADF和BAH中 ADFBAH(AAS)；【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答；例6（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图，垂足分别为，求的长”，请直接写出此题答案：的长为_（2）探索证明：如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，且求证：（3）拓展应用：如图，在中，点在边上，点、在线段上，若的面积为15，则与的面积之和为_（直接填写结果

14、，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明CEBADC，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得BEAAFC，4ABE，根据AAS可证明ABECAF；（3）先证明ABECAF，得到与的面积之和为ABD的面积，再根据故可求解【详解】解：（1）BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90BCEACD90，EBCDCA在CEB和ADC中，CEBADC（AAS），BEDC，CEAD2.5cmDCCEDE，DE1.7cm，DC2.51.70.8cm，BE0.8cm故答案为：0.8cm；（2）证明：12，BEAAFC1ABE3，34BAC

15、，1BAC，BACABE3，4ABEAEBAFC，ABE4，ABAC，ABECAF（AAS） （3）ABE+BAE=FAC+BAE=FAC+ACFABE=CAF，BAE=ACF 又ABECAF，与的面积之和等于与的面积之和，即为ABD的面积，ABD与ACD的高相同则=5故与的面积之和为5故答案为：5【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键例7（2023贵州遵义八年级统考期末）过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点作一条直线（1）当不与正方形任何一边相交时，过点作于点，过点作于点如图（1），请写出，之间的数量关系，并证明你

16、的结论（2）若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，的关系会发生变化，请直接写出，的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，的关系又会发生变化，请直接写出，的数量关系，不必证明【答案】(1)，证明见解析；(2)；(3)【分析】（1）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（2）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；（3）根据同角的余角相等可证，再证，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可【详解】（1），证明：四边形是正方形，又， 在和中 ，（2），理由是：四边形是正方形 ，又

17、， 在和中， EF=AF-AE=BE-DF（3），理由是：四边形是正方形，又， 在和中， EF=AE-AF=DF-BE【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明是关键模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180，三角形的内角和为180，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型）条件：如图，1=23， 结论：ACEBED.2）一线三等角模型（异侧型）

18、条件：如图，1=23， 结论：ADEBEC.3）一线三等角模型（变异型）图1 图2 图3特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：ACEBEDECD.一线三直角变异型1：条件：如图2，ABD=AFE=BDE=90.结论：ABCBDEBFCAFB.一线三直角变异型2：条件：如图3，ABD=ACE=BDE=90.结论：ABMNDENCM.例1（2023山东东营统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，则的长为（）ABCD【答案】C【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解【详解】解：为等边三角形， ，故选：C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相

19、似三角形的性质与判定是解题的关键例2（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图根据以上的操作，若，则线段的长是（）A3BC2D1【答案】C【分析】根据折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理求出，再证明，得，求解即可【详解】解：如图，过点作，交于点，在和中，设，则，即：，解得：，故选：C【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解

20、题的关键例3（2022河南新乡九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形（1）如图1，在ABC中，BAC90，k，直线l经过点A，BD直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E求证：k（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，k，D、A、E三点都在直线l上，并且有BDAAECBAC，其中为任意锐角或钝角请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和

21、矩形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I求证：I是EG的中点直接写出线段BC与AI之间的数量关系： 【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）见解析BC=AI【分析】（1）由条件可证明ABDCAE，可得=k；（2）由条件可知BADCAE180，且DBABAD180，可得DBACAE，结合条件可证明ABDCAE，同（1）可得出结论；（3）过点G作GMAE交AI的延长线于点M，连接EM，证明ABCGMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；由得到BC=AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解【详解】（1）如图1，BD直线l，CE直线l，BDA

22、CEA90， BAC90，BADCAE90BADABD90，CAEABDABDCAE，BDACEA，ADBCEA，=k；（2）成立，证明如下：如图2，BDABAC，DBABADBADCAE180，DBACAE，ABDCAE，BDACEAADBCEA，=k；（3）过点G作GMAE交AI的延长线于点M，连接EM四边形AGFC是矩形，GAC=90又AHBCAHC=90 5+CAH=4+CAH=905=4BDE=AHB=902+BAH=1+BAH=902=1又GMAE3=23=1ABCGMA又 GM=AE又GMAE四边形AGME是平行四边形 EI=IG 故I为EG的中点；由知BC=AM四边形AGME是

23、平行四边形AI=IMAI=AMBC=AI线段BC与AI之间的数量关系为BC=AI故答案为：BC=AI【点睛】此题考查相似三角形的判断与性质综合，解题关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解例4（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，交于点，探究与的数量关系问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延长过点F作，证明即可得出结论（2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即

24、可证明（3）过点A作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，由（2）知，通过相似求出，即可解出【详解】（1）延长过点F作，在和中，故答案为： （2）解：在上截取，使，连接，（3）解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为，在中，由（2）知，在上截取，使，连接，作于点O由（2）知，【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似例4（2023湖北荆州统考中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线(1)如图2，

25、在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，延长至点，使，作的等联角和将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接确定的形状，并说明理由；若，求等联线和线段的长（用含的式子表示）【答案】(1)见解析(2)等腰直角三角形，见解析；【分析】（1）根据新定义，画出等联角；（2）是等腰直角三角形，过点作交的延长线于由折叠得，证明四边形为正方形，进而证明，得出即可求解；过点作于，交的延长线于，则证明，得出，在中，进而证明四边

26、形为正方形，则，由，得出，根据相似三角形的性质得出，根据即可求解【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一）（2）是等腰直角三角形理由为：如图，过点作交的延长线于 由折叠得，四边形为正方形又， ，而，是等腰直角三角形过点作于，交的延长线于，则，由是等腰直角三角形知：，而，在中，由，四边形为正方形，由，得：，而，即，解得：，由知：，【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键例5（2022山西晋中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作

27、垂线，即可得三垂直模型”如图，在中，分别过、向经过点直线作垂线，垂足分别为、，我们很容易发现结论：（1）探究问题：如果，其他条件不变，如图，可得到结论；请你说明理由（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，且两直线夹角为，且，请你求出直线的解析式（3）拓展应用：如图，在矩形中，点为边上个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，点落在点处，当点在矩形外部时，连接，若为直角三角形时，请你探究并直接写出的长【答案】（1）理由见解析；（2）；（3）长为3或【分析】（1）根据同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）过点作交直线于点，分别过、作轴，轴，由（1）得，从而得到，然

28、后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出，从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；（3）分两种情形讨论：如图1中，当PDC=90时如图2中，当DPC=90时，作PFBC于F，PHCD于H，设BE=x分别求解即可【详解】解：（1），又（2）如图，过点作交直线于点，分别过、作轴，轴由（1）得坐标，解得：，设直线表达式为，代入， 得，解得， 直线表达式为（3）解：如图1中，当PDC=90时， ADC=90，ADC+PDC=180，A、D、P共线，EA=EP，AEP=90，EAP=45，BAD=90，BAE=45，B=90BAE=BEA=45，BE=AB=3如图2中，当DPC=90时，作PF

29、BC于F，PHCD于H，设BE=x，AEB+PEF=90，AEB+BAE=90，BAE=PEF，在ABE和EFP中，ABEEFP，EF=AB=3，PF=HC=BE=x，CF=3-（5-x）=x-2，DPH+CPH=90，CPH+PCH=90，DPH=PCH，DHP=PHC，PHDCHP，PH2=DHCH，（x-2）2=x（3-x），x=或（舍弃），BE=，综上所述，当PDC是直角三角形时，BE的值为3或【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型例6（2023江苏南京

30、校考三模）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观察与猜想】(1)如图，在正方形中，分别是，上的两点，连接，若，则的值为_；(2)如图，在矩形中，是上的一点，连接，若，则的值为_；【类比探究】(3)如图，在四边形中，为上一点，连接，过作的垂线交的延长线于，交的延长线于，求证：；【拓展延伸】(4)如图4，在中，将沿翻折，落在处，得到，为线段上一动点，连接，作，交于，垂足为，连接若，则的最小值为_【答案】(1)(2)(3)见解析(4)【分析】（1）可证明，即可得到答案（2）可证明，即可得到答案（3）过点作的垂线，交于点，可得到，然后证明，可得，问题即可得证（4

31、）过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点，连接可先证，得到的长度，进而求得，的长度根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，可知，当时，取得最小值，即可求得答案【详解】（1）解：四边形为正方形，在和中，故答案为：（2）解：四边形为长方形，又，故答案为：（3）解：如图，过点作的垂线，交于点由题意知四边形为矩形，又，又，（4）解：如图，过点作的垂线，交于点，取的中点为，连接，取以的中点为，连接，连接由轴对称图形的性质可知，.，又，又，根据题意可知，点在以的中点为圆心，长度为半径的圆上，且,即，当时，取得最小值故答案为：【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与

32、性质、勾股定理、轴对称图形的性质等，牢记全等三角形的判定定理及性质、相似三角形的判定定理及性质、勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键课后专项训练1（2022湖南长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC的直角顶点C与坐标原点重合，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足为D、E，点A的坐标为（-2，5），则线段DE的长为（）ABCD【答案】D【分析】由等腰直角三角形的性质得出OA=BO，AOB=90，证明ADOOEB（AAS），由全等三角形的性质得出AD=OE=5，OD=BE=2，则可得出答案【详解】解：A（-2，5），ADx轴，AD=5，OD=2，ABO为等腰直角三角形，OA=BO，AOB=90，AO

33、D+DAO=AOD+BOE=90，DAO=BOE，在ADO和OEB中，ADOOEB（AAS），AD=OE=5，OD=BE=2，DE=OD+OE=5+2=7故选：D【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键2（2022贵州凯里一模）如图，在平面直角坐标系中、，轴，存在第一象限的一点使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的坐标（）A或BC或D【答案】C【分析】分点P在AB的上方和点P在AB的下方，根据全等三角形的判定与性质进行讨论求解即可【详解】解：当点P在AB的上方时，过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB延长线于F，如图1，则AEP=

34、PFB=APB=90，E(0，2a5)，F(6，2a5)，PE=a，PF=6a，AE=2a9，EAP+EPA=90，EPA+BPF=90，EAP=BPF，又AEP=PFB，PA=PB，AEPPFB(AAS)，AE=PF，6a=2a9，解得：a=5，P(5，5)；当点P在AB的下方时，同样过P作x轴的平行线交y轴于E，交CB于F，如图2，则AEP=PFB=APB=90，E(0，2a5)，F(6，2a5)，PE=a，PF=6a，AE=92a，EAP+EPA=90，EPA+BPF=90，EAP=BPF，又AEP=PFB，PA=PB，AEPPFB(AAS)，AE=PF，92a=6a，解得：a=3，P（

35、3，1），综上，点P的坐标为（3，1）或（5，5），故选：C【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、坐标与图形性质、解一元一次方程等知识，过已知点向坐标轴作平行线或垂线，然后求出相关线段的长是解决此类问题的基本方法3（2023河南郑州统考二模）如图，已知矩形的顶点分别落在轴轴上，AB=2BC则点的坐标是（）ABCD【答案】D【分析】过C作CEx轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，ABC=90，根据余角的性质得到BCE=ABO，进而得出BCEABO，根据相似三角形的性质得到结论【详解】解：过C作CEx轴于E，四边形ABCD是矩形，CD=AB，ABC=90，

36、ABO+CBE=CBE+BCE=90，BCE=ABO，BCEABO，AB=，AB=2BC，BC=AB=4，CE=2，BE=2OE=4+2C（4+2，2），故选：D【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键4（2023湖南长沙九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，BC6，AB2，RtBEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且BEF90，EFBE，DF，则BE 【答案】3【分析】过F作FGCD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FGEC，GE2CD；设ECx，则DGx，FGx，再根据勾股定理，即可得到CE29，最后依据勾股定理

37、进行计算，即可得出BE的长【详解】如图所示，过F作FGCD，交CD的延长线于G，则G90，四边形ABCD是矩形，C90，ABCD2，又BEF90，FEG+BEC90EBC+BEC，FEGEBC，又CG90，BCEEGF，即，FGEC，GE2CD，DGEC，设ECx，则DGx，FGx，RtFDG中，FG2+DG2DF2，（x）2+x2（）2，解得x29，即CE29，RtBCE中，BE3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线

38、构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形5（2021浙江台州中考真题）如图，点E， F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AFEG若AB5，AEDG1，则BF_【答案】【分析】先证明，得到，进而即可求解【详解】在正方形ABCD中，AFEG，AGE+GAM =90，FAB+GAM=90，FAB =AGE，又ABF=GAE=90，即：，BF=故答案是：【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明，是解题的关键6（2023浙江九年级专题练习）如图，为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，将沿直线DE翻折得到，当点F落在边BC上，且

39、时，的值为 【答案】【分析】根据ABC为等边三角形，ADE与FDE关于DE成轴对称，可证BDFCFE，根据BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DEAF，根据S四边形ADFE=SCEF=-SABC-SCEF，进而可求【详解】解：如图，作ABC的高AL，作BDF的高DH，ABC为等边三角形，ADE与FDE关于DE成轴对称，DFE=DAE= 60，AD = DF，CFE+FEC=CFE+DFB= 120，DFB= CEF，又B=C= 60，BDFCFE， ，即 ，设CF= x(x 0)，BF=4CF，BF= 4x，BD=3， BDFCFE，解得：x=2，C

40、F=4，BC=5x=10，在RtABL中，B=60，AL=ABsin60=10=5，SABC=，在RtBHD中，BD=3，B=60，DH=BDsin60=，SBDF=，BDFCFE，SBDF=，SCEF=，又AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，AD=DF，ADF为等腰三角形，DEAF，S四边形ADFE=SCEF=-SABC-SCEF=，故答案为:【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性质：对角线互相垂直的四边形的面积对角线乘积的一半7（2022安徽九年级专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E为边AD上一个动点，连接BE

41、，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90得到点F，连接CF，在点E从A到D的运动过程中，点G的运动路径= ，CEF面积的最小值是 【答案】 2 15【分析】连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，因为GN为ABE的中位线，故G的运动路径为线段MN；过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，则FEHEBA，设AE=x，可得出CEF面积与x的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值【详解】解：连接BD，取BD的中点M，AB的中点N，连接MN，E为边AD上一个动点，点E从A到D的运动，G是BE的中点当E在A点时，BE与AB重合，G与AB的中点N重合，当E运动到D点时，BE与BD重合，

42、G与BD的中点M重合，E在从A到D的运动过程中，MN为ABE的中位线，故G的运动路径=2，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，A=H=90，FEB=90， FEH=90-BEA=EBA，FEHEBA， 为的中点， 设AE=x， AB HF 当 时，CEF面积的最小值 故答案为：2，15【点睛】本题通过构造K形图，考查了三角形的中位线和相似三角形的判定与性质，建立CEF面积与AE长度的函数关系式是解题的关键8（2023浙江九年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），ADEB，DE交AC于点E，且cos，下列结论：ADEACD；当BD6时，ABD与D

43、CE全等；DCE为直角三角形时，BD为8或；0CE6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【分析】根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；由BD6，则DC10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得；分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；依据相似三角形对应边成比例即可求得【详解】解：ABAC，BC，又ADEB，ADEC，ADEACD，故正确；作AGBC于G，ABAC10，ADEB，cos，BGABcosB，BC2BG2ABcosB21016，BD6，DC10，ABDC，在ABD与DCE中，ABDDCE（ASA），故正确；当AED90时，由可知：A

44、DEACD，ADCAED，AED90，ADC90，即ADBC，ABAC，BDCD，ADEB且cos，AB10，BD8，当CDE90时，易CDEBAD，CDE90，BAD90，B且cos，AB10，cosB，BD，故错误；易证得CDEBAD，由可知BC16，设BDy，CEx，整理得：y216y646410x，即（y8）26410x，0x6.4，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形与全等三角形的判定和性质是解题的关键9（2022河北保定模拟预测）如图，桌面上竖直放置着一个等腰直

45、角三角板，若测得斜边的两端点到桌面的距离分别为，（1）求证：；（2）若，求的长【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出DAC=BCE，进而判断出ACDCBE；（2）由全等三角形的性质，即可求出答案【详解】解：（1）证明：，（2）解：，【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出ACDCBE是解本题关键10（2023浙江九年级期末）如图，已知和均是直角三角形，于点（1）求证：；（2）若点是的中点，求的长【答案】（1）见解析；（2）cm【分析】（1）根据即可证明结论；（2）结合（1）可得cm，根据点是的中点，可得cm，根据勾股定理即可求出的长【详解】解：（1）证明：，在和中，；（2），cm，