2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册教师用书（含习题测试）：6-3-2 平面向量的正交分解及坐标表示 6-3-3 平面向量加、减运算的坐标表示 WORD版含解析.docx

1、6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示课标解读课标要求核心素养1.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(一般)2.能用坐标表示平面向量的加、减运算.(重点)1.通过平面向量的正交分解及坐标表示培养直观想象核心素养.2.平面向量坐标的概念及其坐标运算,体现了数学抽象核心素养.-在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量OA.问题1:根据平面向量基本定理,有OA=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?答案相同.问题2:如果向量OA也用(x,y)表示,那么向量OA与实数对(x,y)之间是否一一

2、对应?答案一一对应.1.平面向量的正交分解及坐标表示(1)正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐标表示:前提设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取i,j作为基底线性表示对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj坐标表示把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y)特殊坐标i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0)特别提醒点的坐标与向量的坐标的联系与区别(1)联系:当且仅当向量的起点为原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标.(2)区别:点的坐标反映的是点的位置,而向量的坐

3、标反映的是向量的大小和方向,而向量与位置无关.(x,y)在平面直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量.为了加以区分,在叙述中,常说点(x,y)或向量(x,y).思考:两个向量相等用坐标如何表示?提示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=bx1=x2,y1=y2.2.平面向量的坐标及运算文字描述符号表示点A(x1,y1),B(x2,y2)向量坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点B的坐标减去起点A的坐标AB=(x2-x1,y2-y1)向量设a=(x1,y1),b=(x2,y2)加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a+b=(x1+x2

4、,y1+y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a-b=(x1-x2,y1-y2)探究一平面向量的坐标表示例1(1)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任一向量a,则给出下列结论正确的有()A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)B.若x1,x2,y1,y2R,a=(x1,y1)(x2,y2),则x1x2,且y1y2C.若x,yR,a=(x,y),且a0,则a的始点是原点OD.若x,yR,a0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)(2)如图所示,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30角.求点B和点D的坐标以及AB与AD的坐标.答案

5、(1)A解析(1)由平面向量基本定理,知A正确;例如,a=(1,0)(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的始点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.(2)由题知B,D分别是30角,120角的终边与单位圆的交点.设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos30=32,y1=sin30=12,x2=cos120=-12,y2=sin120=32,B32,12,D-12,32,又A(0,0),AB=32,12,AD=-12,32.思维突破求点、向量坐标的常用方法(1)求

6、一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.(2)求一个向量的坐标时,首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标.1-1如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC为平行四边形.OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105,OA=a,AB=b.(1)求向量a,b的坐标;(2)求向量BA的坐标.解析(1)如图,作AMx轴于点M,则OM=OAcos45=422=22,AM=OAsin45=422=22,A(22,22),故a=(22,22).AOC=180-105=75,AOy=45,COy=30,又OC=AB=3,易知C-32,332

7、,AB=OC=-32,332,即b=-32,332.(2)BA=-AB=32,-332.探究二平面向量的坐标运算例2(1)设i,j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量,且OA=4i+2j,OB=3i+4j,OC=AB,则C点的坐标为()A.(-2,1)B.(1,-2)C.(2,-1)D.(-1,2)(2)已知三点A(2,-1),B(3,4),C(-2,0),则向量AB+CA=,BC-AB=.答案(1)D(2)(5,4);(-6,-9)解析(1)由题意可知AB=OB-OA=-i+2j.OC=AB,OC=-i+2j,C(-1,2).(2)A(2,-1),B(3,4),C(-2,

8、0),AB=(1,5),CA=(4,-1),BC=(-5,-4),AB+CA=(1,5)+(4,-1)=(1+4,5-1)=(5,4),BC-AB=(-5,-4)-(1,5)=(-5-1,-4-5)=(-6,-9).思维突破平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,再进行向量的坐标运算.(3)向量加、减坐标运算可完全类比数的运算进行.2-1已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=CA,CN=CB,求点M,N及MN的坐标.解析A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4

9、),CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),CB=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3).设M(x1,y1),N(x2,y2),CM=CA,CN=CB,(x1+3,y1+4)=(1,8),(x2+3,y2+4)=(6,3),x1=-2,y1=4,x2=3,y2=-1,M(-2,4),N(3,-1),MN=(3,-1)-(-2,4)=(5,-5).探究三平面向量加、减运算的应用例3(易错题)已知点O是ABC内一点,AOB=150,BOC=90,设OA=a,OB=b,OC=c,且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量AB,BC的坐标.解析建立如图所示的平面直角坐标系.因为|OB|=|

10、b|=1,AOB=150,所以B(-cos30,sin30),所以B-32,12.因为|OC|=|c|=3,BOC=90,所以C(-3sin30,-3cos30),所以C-32,-332,所以BC=-32,-332-32,12=3-32,-332-12,易知A(2,0),所以AB=-32,12-(2,0)=-32-2,12.易错点拨向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向,与终点坐标无关,只有当向量的始点是坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标才是一致的.3-1已知平面上三个点A(3,7),B(4,6),C(1,-2),求点D的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.解析设点D的坐标为(x,

11、y),当四边形ABCD为平行四边形时,AB=DC,(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),即(1,-1)=(1-x,-2-y),1-x=1,-2-y=-1,解得x=0,y=-1,D(0,-1);当四边形ABDC为平行四边形时,同可得D(2,-3);当四边形ADBC为平行四边形时,同可得D(6,15).综上所述,点D的坐标可能为(0,-1)或(2,-3)或(6,15).1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a+b=()A.(1,6)B.(5,4)C.(1,-6)D.(-6,5)答案Aa+b=(3,5)+(-2,1)=(3-2,5+1)=(1,6).2.已知向量OA=(1,-

12、2),OB=(-3,4),则AB=()A.(-4,6)B.(2,-3)C.(2,3)D.(6,4)答案AAB=OB-OA=(-3,4)-(1,-2)=(-4,6).3.若向量AB=DC=(2,0),AD=(1,1),则AC+BC等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)答案BAC=AD+DC=(3,1),BD=AD-AB=(-1,1),BC=BD+DC=(1,1),所以AC+BC=(4,2).4.如图,向量a,b,c的坐标分别是,.答案(-4,0);(0,6);(-2,-5)解析将各向量分别向基底i,j所在直线分解,则a=-4i+0j,a=(-4,0);b=0i+6j,b

13、=(0,6);c=-2i-5j,c=(-2,-5).5.已知点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6).在平面直角坐标系中,分别作出向量AC,BD,EF,并求向量AC,BD,EF的坐标.解析如图,描出点A(2,2),B(-2,2),C(4,6),D(-5,6),E(-2,-2),F(-5,-6),分别作出向量AC,BD,EF.易知AC=(2,4),BD=(-3,4),EF=(-3,-4).直观想象向量的加、减运算在ABC中,点D满足AD=2AB-AC,则()A.点D不在直线BC上B.点D在BC的延长线C.点D在线段BC上D.点D在CB的延长

14、线上答案D解析AD=2AB-AC=AB+AB-AC=AB+CB,如图,作BD=CB,连接AD,则AB+CB=AB+BD=AD=AD,D和D重合,点D在CB的延长线上.故选D.素养探究:向量的加减运算借助图像会使问题更简洁,从而培养直观想象核心素养.平面上有三点A,B,C,设m=AB+BC,n=AB-BC,若m,n的长度恰好相等,则有()A.A,B,C三点必在同一直线上B.ABC必为等腰三角形,且B为顶角C.ABC必为直角三角形,且B=90D.ABC必为等腰直角三角形答案C如图,作ABCD,则AB+BC=AC,AB-BC=AB-AD=DB,因为|m|=|n|,所以|AC|=|DB|,所以ABCD

15、为矩形,所以ABC必为直角三角形,且ABC=90.1.(多选题)下列说法正确的是()A.相等向量的坐标相同B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标C.一个坐标对应唯一的一个向量D.平面上一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一对应答案ABD由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误,其余正确,故选ABD.2.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),那么AB可以表示为()A.2i+3jB.4i+2jC.2i-jD.-2i+j答案C3.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则DA=()A.(2,4

16、)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)答案C4.已知AB=(-2,4),则下列说法正确的是()A.A点的坐标是(-2,4)B.B点的坐标是(-2,4)C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)答案D5.(多选题)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(-3,4),如图所示,x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j,则下列正确的是()A.OA=2i+3jB.OB=3i+4jC.AB=-5i+jD.BA=5i-j答案ACDi,j互相垂直,故可作为基底,由平面向量基本定理,有OA=2i+3j,OB=-3i+4j,AB=OB-OA=-5i+j

17、,BA=OA-OB=5i-j.6.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为.答案(-1,2)解析设点C的坐标为(x,y),则由已知得OC=AB,又OC=(x,y),AB=(1,3)-(2,1)=(-1,2),所以(x,y)=(-1,2).7.已知O是坐标原点,点A在第一象限,|OA|=43,xOA=60,则OA的坐标为.答案(23,6)解析设点A(x,y),则x=|OA|cos60=43cos60=23,y=|OA|sin60=43sin60=6,即A(23,6),OA=(23,6).8.如图所示,已知直角梯形ABCD中,ADAB,AB=2AD=2

18、CD,过点C作CEAB于点E,用向量的方法证明DEBC.证明CEAB,而AD=DC,四边形AECD为正方形.如图,以E为坐标原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设|AD|=1,则|DC|=1,|AB|=2.E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1).ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1),ED=BC,EDBC,即DEBC.9.已知点A(0,1),B(3,2),AC=(-4,-3),则向量BC=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A设C(x,y),A(0,1),AC=(x

19、,y-1)=(-4,-3),x=-4,y-1=-3,解得x=-4,y=-2,C(-4,-2),又B(3,2),BC=(-7,-4).10.在ABCD中,已知AD=(3,7),AB=(-2,3),对角线AC,BD相交于O点,则CO的坐标是()A.-12,5B.-12,-5C.12,-5D.12,5答案B由向量加法的平行四边形法则可得AC=AD+AB=(3,7)+(-2,3)=(1,10),CO=-12AC=-12,-5.11.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且OA=(-1,-1),则OB=;OC=;OD=.答案(1,-1);(1,1);(-1,1)解析根据题意,知点A与点B关于y轴对称,与点

20、C关于原点对称,与点D关于x轴对称,又OA=(-1,-1),O为坐标原点,A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1),OB=(1,-1),OC=(1,1),OD=(-1,1).12.已知平行四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D的坐标依次为(3,-1),(1,2),(m,1),(3,n),则msin+ncos的最大值为.答案5解析四边形ABCD为平行四边形,AD=BC.又A(3,-1),B(1,2),C(m,1),D(3,n),(3-3,n+1)=(m-1,1-2),即m-1=0,n+1=-1,解得m=1,n=-2,msin+ncos=sin-2cos=5sin(+),其中tan=-2,故msin+ncos的最大值为5.13.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的对应关系可以用v=f(u)表示.(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标.解析(1)由v=f(u)可得,当u=(x,y)时,有v=(y,2y-x)=f(u),从而f(a)=(1,21-1)=(1,1),f(b)=(0,20-1)=(0,-1).(2)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(4,5),y=4,2y-x=5,解得x=3,y=4,即c=(3,4).