斜率和积与韦达定理的应用（学生版）.pdf

1、1斜率和积与韦达定理的应用考点分析斜率和(积)构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和(积)构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点 P(0,t)，在椭圆上的动点 A(x1,y1),B(x2,y2)，那么：kPA kPB=y1 tx1 y2 tx2=y1y2 t(y1+y2)+t2x1x2，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.kPA+kPB=y1 tx1+y2 tx2=x1y2+x2y1 t(x1+x2)x1x2,这里对交叉项 x1y2+x2y1的处理可进一步代入直线方程：AB:y=kx+m，化

2、简可得：x1y2+x2y1=x1 kx2+m+x2 kx1+m=2kx1x2+m x1+x2kPA+kPB=x1y2+x2y1 t(x1+x2)x1x2=2k+(m t)(x1+x2)x1x2(*)，再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，(*)式是一个非常简洁的结构，易于操作.1kPA+1kPB=x1(y1 t)+x2(y2 t)=x1y2+x2y1 t(y1+y2)(y1 t)(y2 t).可进一步代入直线方程：AB:x=my+n，化简可得：x1y2+x2y1=my1+ny2+my2+ny1=2my1y2+n y1+y2精选例题1 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率

3、为22，点 A 0,1在 C 上过 C 的右焦点 F 的直线交 C 于 M，N 两点(1)求椭圆 C 的方程；(2)若动点 P 满足 kPM+kPN=2kPF，求动点 P 的轨迹方程22 已知点 A 2,1在双曲线 C:x2a2-y2a2-1=1 a 1上，直线 l(不过点 A)的斜率为-1，且交双曲线C 于 P、Q 两点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)求证：直线 AP、AQ 的斜率之和为定值.3 已知 O 为坐标原点，椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为32，椭圆的上顶点到右顶点的距离为5(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为 E、F，过点 D(-2,2)作直线

4、与椭圆交于 A、B 两点，且 A、B 位于第一象限，A 在线段 BD 上，直线 OD 与直线 FA 相交于点 C，连接 EB、EC，直线 EB、EC 的斜率分别记为 k1、k2，求 k1 k2的值34 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率是 12，且过点 M 1,32(1)求椭圆 C 的方程；(2)椭圆 C 的左、右顶点分别为 A1，A2，且 P，Q 为椭圆 C 上异于 A1，A2的点，若直线 PQ 过点12,0，是否存在实数，使得 kA1P=kA2Q恒成立若存在，求实数 的值；若不存在，说明理由5 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的右焦点 F 在直线 x

5、+2y-1=0 上，A,B 分别为 C 的左、右顶点，且 AF=3 BF.(1)求 C 的标准方程；(2)已知 P 2,0，是否存在过点 G-1,0的直线 l 交 C 于 M，N 两点，使得直线 PM，PN 的斜率之和等于-1?若存在，求出 l 的方程；若不存在，请说明理由.46 双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左顶点为 A，焦距为 4，过右焦点 F 作垂直于实轴的直线交双曲线 C 于 B，D 两点，且 ABD 是直角三角形(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)M，N 是 C 右支上的两动点，设直线 AM，AN 的斜率为 k1，k2，若 k1 k2=-2，试问：直线 MN

6、 是否经过定点？证明你的结论跟踪训练1 已知椭圆 C:x24+y2=1 的左右顶点分别为 A,B，上顶点为 D,M 为椭圆 C 上异于四个顶点的任意一点，直线 AM 交 BD 于点 P，直线 DM 交 x 轴于点 Q.(1)求 MBD 面积的最大值；(2)记直线 PM,PQ 的斜率分别为 k1,k2，求证：k1-2k2为定值.52 已知点 P 4,3为双曲线 E:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一点，E 的左焦点 F1到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线 E 的标准方程；(2)不过点 P 的直线 y=kx+t 与双曲线 E 交于 A,B 两点，若直线 PA，PB 的斜率和为 1，证

7、明：直线 y=kx+t 过定点，并求该定点的坐标.3 已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0，a=3b，点 1,2 23在椭圆 C 上(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 Q 1,0且不与 y 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，T 3,0，证明 TM，TN 斜率之积为定值64 在平面直角坐标系中，已知两定点 A-4,0，B 4,0，M 是平面内一动点，自 M 作 MN 垂直于AB，垂足 N 介于 A 和 B 之间，且 2 MN2=AN NB(1)求动点 M 的轨迹；(2)设过 P 0,1的直线交曲线 于 C，D 两点，Q 为平面上一动点，直线 QC，QD，QP 的斜

8、率分别为k1，k2，k0，且满足 1k1+1k2=2k0问：动点 Q 是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由5 设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为 2,0(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB76 设抛物线 E:y2=2px(p 0)的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线 l 与 E 交于 A，B 两点，且 AB=8(1)求抛物线 E 的方程；(2)设 P 1,m为 E 上一点，E 在 P 处的切线与 x 轴交于 Q，过 Q 的

9、直线与 E 交于 M，N 两点，直线PM 和 PN 的斜率分别为 kPM 和 kPN求证：kPM+kPN 为定值7 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 A 1,32，离心率为 12 过点 B 0,2的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 M，N(1)求椭圆 E 的方程；(2)设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为 kAM 和 kAN，求1kAM+1kAN的值8考点过关练8 已知 O 为坐标原点，过点 P 2,0的动直线 l 与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点(1)求 OA OB；(2)在平面直角坐标系 xOy 中，是否存在不同于点 P 的定点 Q，使得 AQ

10、P=BQP 恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由9 设抛物线 E:y2=2px p 0的焦点为 F，过 F 且斜率为 1 的直线与 E 交于 A,B 两点，且 AB=8.(1)求抛物线 E 的方程；(2)已知过点-1,0的直线 l 与 E 交于不重合的两点 M,N，且 P 1,2，直线 PM 和 PN 的斜率分别为kPM 和 kPN.求证：kPM+kPN 为定值.910 已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右顶点分别为 A1,A2，点 P 3,52在 C 上，且2 A2P=3.(1)求 C 的方程；(2)直线 l:y=kx+1 与 C 交于 M,N

11、两点，记直线 A1M,A2N 的斜率分别为 k1,k2，若 k1+5k2=0，求 k 的值.11 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，A1、A2分别为椭圆 C 的左、右顶点，F1、F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，A1F1=2(1)求椭圆 C 的方程；(2)设与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆 C 于 P、Q 两点(P、Q 在 x 轴的两侧)，记直线 A1P，A2P，A2Q，A1Q 的斜率分别为 k1，k2，k3，k4(i)求 k1k2的值；(ii)若 k1+k4=53 k2+k3，求 F2PQ 面积的取值范围1012 已知曲线 C 上的任意一点到直线 x=4

12、55的距离是它到点(5,0)的距离的 2 55倍.(1)求曲线 C 的方程;(2)设 M(-2,0)，N(2,0)，过点 G(4,0)的直线 l 在 y 轴的右侧与曲线 C 相交于 A，B 两点，记直线 AM，BN 的斜率分别为 kAM，kBN，求直线 l 的斜率 k 的取值范围以及 kBN+3kAM 的值.13 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率 e=32，短轴长为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 4,2且斜率不为 12 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点，点 P 是直线 y=12 x 上一定点，设直线 PM、PN 的斜率分别为 k1、k2，若 k1

13、k2为定值，求点 P 的坐标.1114 在平面直角坐标系内，已知 P,Q 两点关于原点对称，且 P 的坐标为6,1.曲线 C 上的动点R 满足当直线 PR，QR 的斜率 k1，k2都存在时，k1 k2=-12.(1)求曲线 C 的方程；(2)已知直线 l 过点-4,0且与曲线 C 交于 A，B 两点，问是否存在定点 M，使得直线 MA，MB 关于x 轴对称？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由.15 在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 是直角三角形，CAB=2，C 0,-12，点 A，B 分别在 x轴和 y 轴上运动，点 A 关于 B 的对称点为 M.(1)求动点 M 的轨迹方程；(2)若过点 C 的直线 l 与点 M 的轨迹交于 P，Q 两点，N 0,12，求直线 NP，NQ 的斜率之和.