27.3垂径定理（分层练习）-九年级下册（沪教版）（解析版）.docx

1、27.3 垂径定理（分层练习）【夯实基础】一、单选题 1（2021上海九年级专题练习）如图，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，A=15，半径为 2，则弦 CD 的长为（）A2B1C 2D4【答案】A【分析】根据圆周角定理可知COE=30，CE=12 OC=1，再由垂径定理可知 CE=12 CD，即可求出 CD 的长【详解】解：A=15，COE=30，O 的直径 AB 垂直于弦 CD，半径为 2，CE=12 OC=1，CE=12 CD，CD=2故选：A【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、30角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键2（2022上海浦东新统考二模）

2、下列命题中，长度相等的两条弧是等弧；不共线的三点确定一个圆；相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径必垂直于这条弦，真命题的个数有（）A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】A【分析】根据圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理逐项分析判断即可【详解】解：在同一个圆内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；不共线的三点确定一个圆，为真命题在同一个圆内，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题为假命题；平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题故真命题的个数为 1 个，故选：A【点睛】本题考查了圆的相关概念，确定圆的条件，垂径定理，理解相关性质定理是解题的关键3（202

3、1 春上海闵行九年级上海市民办上宝中学校考期中）下列说法正确的个数有（）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；等弧所对的圆心角相等；过三点可以画一个圆A1B2C3D4【答案】A【分析】根据垂径定理，圆的基本性质，逐项判断即可求解【详解】解：平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；等弧所对的圆心角相等，说法正确；过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误综上所述，正确的说法有 1 个故选：A【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆的基本性质，熟练掌握垂径定理，圆的基本性质是解题的关键

4、 二、填空题 4（2022上海长宁统考二模）如图，O 的半径为 10cm，ABC 内接于O，圆心 O 在 ABC 内，如果AB=AC，BC=12cm，那么 ABC 的面积为 _cm2【答案】108【分析】过点 A 作 AMBC于点 M，连接 OC，根据等腰三角形的性质及垂径定理即可求出 OM 的值，从而可知 AM 的值，进而面积可求.【详解】如图，过点 A 作 AMBC于点 M，连接 OC，AB=AC 且 BC=12 cmBM=CM=12 BC=6 cm圆的半径等于 10 cm10OAOCcm228OMOCMCcm18AMcm11082ABCSAMBCcm2故答案为 108【点睛】本题主要考查

5、等腰三角形的性质及垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键.5（2022 秋上海徐汇九年级上海市徐汇中学校考期中）O 中，点 C 在直径 AB 上，AC3BC，过点 C作弦 EFAB，那么EOF _度【答案】120【分析】设圆的半径为 a，由 AC3BC 可求出 OE=OB=2OC，因此OEC=30；再根据垂径定理便可解答；【详解】解：如图，设圆的半径为 a，则 2a=AC+BC=4BC，BC=12 a，OC=BC=12 a，OE=OB=2OC，OCE=90，OEC=30，COE=60，由垂径定理可得：EOF=2COE=120，故答案为：120【点睛】本题考查了含 30角的直角三角形；垂径定理：垂直

6、于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；掌握垂径定理是解题关键6（2020 春上海浦东新九年级上海民办建平远翔学校校考阶段练习）如图，矩形 ABCD与圆心在 AB 上的圆O 交于点G、B、F、E，8cmGB，1cmAG，2cmDE，则 EF 的长为_cm【答案】6【分析】过点O 作OMCD于点 M，过点G 作GNCD 于点 N，根据矩形的对称性质及圆的垂径定理，即可求出线段 EF 的长【详解】如图，过点O 作OMCD于点 M，过点G 作GNCD 于点 N则四边形 NCBG、四边形 AGND、四边形WODA、四边形OMCB 是矩形矩形 NCBG 是轴对称图形，对称轴是OM，且GB 是直径，

7、8GBcm142OGOBBGcmNM与CM 是对称线段，则4MNCMcm由垂径定理得，点 M是 EF 的中点，则MEMF1AGcm，2DEcm1NEcm3MEcm26EFMEcm故答案为：6.【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质以及圆的垂径定理，准确的作出辅助线及熟练应用上述知识点是解题的关键7（2021 秋上海徐汇九年级上海市徐汇中学校考阶段练习）在O 中，弦 AB 的长为 8，它所对应的弦心距为 4，那么半径OA _【答案】4 2【分析】根据题意作出图形，进而根据垂径定理及勾股定理解答即可【详解】如图，8AB，OCAB，4ACOC，在 RtAOC中，22444 2AO，故答案为：4 2【

8、点睛】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半径，圆心到弦的距离转换到同一直角三角形中，然后通过勾股定理求解 三、解答题 8（2020 春上海九年级上海民办华二浦东实验学校校考期中）如图，P 是O 的弦 AB 的中点，PCOA，垂足为C，求证：PA PBAC AO【答案】见解析【分析】连结 OP，因 P 为弦 AB 的中点，利用垂径定理得 OPAB 结合 PCOA证 PACOAP，利用相似三角形的性质得 APAO=ACAP 即可【详解】连结 OP，因 P 为弦 AB 的中点，则 OPAB，又 PCOA，PCA=OPA=90，PAC=OAP，PACO

9、AP，APAO=ACAP，2AP=AC AO，P 为弦 AB 的中点，AP=PB，PA PB=AC AO，PA PBAC AO【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定与性质，掌握垂径定理与相似三角形的判定与性质，会利用解决问题是解题关键9（2022 秋上海杨浦九年级校考阶段练习）如图，O 的半径长为5，AB 为O 的直径，弦 AC 的长为8，点 D为 ABC 的中点，求弦 DC 的长【答案】4 5【分析】连接 DO 并延长，交 AC 于点 E，根据垂径定理的推论可得 DEAC，142AEECAC，在RtAOE中，勾股定理求得OE，进而得出8DE，在在 RtDEC中，勾股定理即可求解【详解】解

10、：如图，连接 DO 并延长，交 AC 于点 E，点 D为 ABC 的中点，DEAC，142AEECAC，在 RtAOE中，2222543OEAOAE，3 58DEEOOD ，在 RtDEC中，2222844 5DCDEEC【点睛】本题考查了垂径定理的推论，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键10（2022 秋上海黄浦九年级上海民办永昌学校校考期中）如图，已知 AB 是O 的直径，AB=16，点 P是 AB 所在直线上一点，OP=10，点 C 是O 上一点，PC 交O 于点 D，sinBPC=35，求 CD 的长【答案】CD=4 7【分析】过 O 作 OECD 于 E，由垂径定理得到 CD=2CE

11、，解直角三角形得到 OE=OPsinBPC=6，根据勾股定理即可得到结论【详解】解：过 O 作 OECD 于 E，CD=2CE，AB 是O 的直径，AB=16，OC=8，sinBPC=35，OP=10，OE=OPsinBPC=6，CE=222 7OCOE，CD=2CE=4 7【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键11（2021上海徐汇统考二模）如图，在梯形 ABCD 中，CD/AB，AB10，以 AB 为直径的O 经过点 C、D，且点 C、D 三等分弧 AB（1）求 CD 的长；（2）已知点 E 是劣弧 DC 的中点，联结 OE 交边 CD 于点 F，

12、求 EF 的长【答案】（1）5；（2）5 352【分析】（1）通过点 C、D 三等分弧 AB，可得AODCODBOC60，所以，COD 为等边三角形，CD 可求；（2）由点 E 是劣弧 DC 的中点，根据垂径定理的推论可得 OFCD，CF 12 CD；解直角三角形ODF，得出 OF 长度，通过 OEOFEF 得出答案【详解】解：（1）连接 OC,OD,AB 为直径，点 C、D 三等分弧 AB,60ADCDBC.AODCODBOC60OCOD,OCD 为等边三角形CDOD 12 AB5（2）连接 OE,交 DC 于点 F,点 E 是劣弧 DC 的中点，OFCD,DF=FC=12 CD.OCOD，

13、DOF 12 DOC30在 RtODF 中，cosFOD OFOD OFODcosFOD532 5 32 OEOD5,EFOEOF5 5 32【点睛】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要连接圆心的中点，得出垂直.12（2022 春上海青浦九年级校考阶段练习）如图，O 是 ABC 的外接圆，AB 长为 4，ABAC，连接 CO 并延长，交边 AB 于点 D，交 AB 于点 E，且 E 为弧 AB 的中点，求：（1）边 BC 的长；（2）O 的半径【答案】（1）4；（2）4 33【分析】（1）根据垂径定理证明点 C

14、 在 AB 垂直平分线上，即可解题；（2）连结 BO，先证明 ABC 是等边三角形，再结合已知可证30DBO，继而根据余弦的定义解题【详解】证明：（1）E 为 AB 中点，OE 为半径OE 垂直平分 ABC 在 AB 垂直平分线上4CBCAAB（2）连结 BOCBCAAB ABC 是等边三角形60ABCCDAB，又OBOC30OBCOCB 30DBO又122BDAB24 3cos303rBO【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键【能力提升】一、单选题 1（2022 秋上海九年级校考阶段练习）下列命题中，假命题是（）A如果一条直

15、线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案【详解】A如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平

16、分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直错误，是假命题；D如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题故选 C【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，经过圆心，垂直于弦，平分弦（弦不是直径），平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个 二、填空题 2（2022上海统考中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为 2 的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，

17、这个圆的半径为_【答案】22#22【分析】如图，当等弦圆 O 最大时，则O 经过等腰直角三角形的直角顶点 C，连接 CO 交 AB 于 F，连接OE，DK，再证明 DK 经过圆心，CFAB，分别求解 AC，BC，CF，设O 的半径为,r再分别表示,EF OF OE再利用勾股定理求解半径 r 即可【详解】解：如图，当等弦圆 O 最大时，则O 经过等腰直角三角形的直角顶点 C，连接 CO 交 AB 于 F，连接 OE，DK，,90,CDCKEQACB=?Q90,CODCOK?DK 过圆心 O，CFAB，,90,2,ACBCACBAB=?Q12,1,2ACBCAFBFCFAB=设O 的半径为,r22

18、2,1,CDrrrEQ OFr OEr=+=-=,CFAB2,2EFQFr=()22221,2rrr骣琪=-+琪桫整理得：2420,rr-+=解得：1222,22,rr=+=-,OCCFQ22r=+不符合题意，舍去，当等弦圆最大时，这个圆的半径为22.故答案为：22【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键3（2022上海统考中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛 O，点 C 在弦 AB 上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_（结果保留）

19、【答案】400【详解】解：过点 O 作 ODAB 于 D，连接 OB，如图，AC=11，BC=21，AB=AC+BC=32，ODAB 于 D，AD=BD=12 AB=16，CD=AD-AC=5，在 RtOCD 中，由勾股定理，得OD=2222135OCCD=12,在 RtOBD 中，由勾股定理，得OB=22221612BDCD=20，这个花坛的面积=202=400，故答案为：400【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键4（2022上海崇明统考二模）如图，O 是Rt ABC 的外接圆，OEAB交O 于点 E，垂足为点 D，,AE CB的

20、延长线交于点 F如果3,8ODAB，那么 FC 的长是_【答案】10【分析】由 OEAB，得 AD=BD，且 OD 是 ABC 的中位线，OE 是三角形 AFC 的中位线，根据勾股定理求出圆的半径即可【详解】OEAB，AD=BD=12 AB=12 8=4，OA=OC，OD 为三角形 ABC 的中位线，OD/BC，又OD=3，225OAADODOE=OA=5，OECF，点 O 是 AC 中点，AE：EF=AO：OC=1，即 E 为 AF 中点，OE 是三角形 ACF 的中位线，CF=2OE=25=10，故答案为：10【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握勾股定理和

21、三角形中位线的性质是解题的关键5（2022 秋上海浦东新九年级上海市进才实验中学校考期中）在半径为 13cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为 24cm，另一条弦长为 10cm，则这两条弦之间的距离为_cm【答案】7 或 17【分析】分两种情况进行讨论：弦 AB 和 CD 在圆心同侧；弦 AB 和 CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可【详解】解：当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图，AB=24cm，CD=10cm，AE=12cm，CF=5cm，OA=OC=13cm，EO=5cm，OF=12cm，EF=OF-OE=7cm；当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，

22、如图，AB=24cm，CD=10cm，AF=12cm，CE=5cm，OA=OC=13cm，EO=12cm，OF=5cm，EF=OF+OE=17cm故答案为：7 或 17【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算6（2022上海黄浦统考二模）如图，在半径为 2 的O 中，弦 AB 与弦 CD 相交于点 M，如果 ABCD23，AMC120，那么 OM 的长为_【答案】2 33【分析】根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系以及勾股定理可求出 OE、OF，再利用全等三角形可求出OME60，进而利用直角三角形的边角关系求解即可【详解】解：如图，过点 O

23、作 OEAB，OFCD，垂足为 E、F，连接 OA，则 AEBE 12 AB3，CFDF 12 CD3，在 RtAOE 中，OA2，AE3，OE22OAAE1，ABCD，OEOF1，又OMOM，RtOEMRtOFM（HL），OMEOMF 12 AMC60，OM sin60OE 2 33，故答案为：2 33【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的全等，特殊角的函数值，垂径定理是解题的关键，特殊角的函数值是解题的基础7（2022 秋上海长宁九年级上海市复旦初级中学校考期中）如图，已知在O 中，半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D如果 CD=4，AB=16，那么 OC=_【答案】10【分析

24、】根据垂径定理求出 AD 的长，设半径 OC=OA=r，则 OD=r-4，再根据勾股定理列出关于 r 的方程，解出即可得出 OC 的长【详解】设半径 OC=OA=r，则 OD=OC-CD=r-4半径 OC 垂直于弦 AB，垂足为点 D，AB=16AD=12 AB=8，在 RtAOD 中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为 10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.8（2022 秋上海九年级校考期中）如图，点 A、B、C 在圆 O 上，弦 AC 与半径 OB 互相平分，那么AOC度数为_度【答案】120【分析】首先根据垂径定理得到

25、OA=AB，结合等边三角形的性质即可求出AOC 的度数【详解】解：弦 AC 与半径 OB 互相平分，OA=AB，OA=OC，OAB 是等边三角形，AOB=60，AOC=120，故答案为 120【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明 OAB 是等边三角形，此题难度不大9（2022上海嘉定统考二模）如图，已知O 中，直径 AB 平分弦 CD，且交 CD 于点 E，如果 OE=BE，那么弦 CD 所对的圆心角是_度【答案】120【详解】连接 OC，直径 AB 平分弦 CD，ABCD，OE=BE，OE=1122OBOC，在 Rt OCE 中，OE=12 OC，cosCOE=12OEOC

26、，OEB=60，弦 CD 所对的圆心角是 602=120.故答案为 120.三、解答题 10（2022 春上海九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）如图，O 是 ABC 的外接圆，AE 平分ABC 的外角DAC，OMAB，ONAC，垂足分别为点 M、N，且 AEBC求证：OMON【答案】证明见解析【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明BC，则 ABAC，利用垂径定理证明 AMAN，进而证明RtRtHLNAOMAO，则OMON【详解】解：AEBC，DAEBCAEC，=，AE 平分DAC，DAECAE，BC，ABAC，OMAB，ONAC，119022AMABANACAMOANO，AMAN

27、，在 RtAOM和RtAON中，AMANAOAO，RtRtHLNAOMAO，OMON【点睛】本题主要考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明 ABAC是解题的关键11（2022上海上海市娄山中学校考二模）如图，已知O 的直径2 13AB，点 P 是弦 BC 上一点，联结OP，=45OPB，1PC ，求弦 BC 的长【答案】6【分析】过O 作ODBC于 D，求出OPBPOD，根据等腰三角形的判定得出 PDOD，设 PDODx，则根据垂径定理得出1BDCDx，再个勾股定理求出 x 即可【详解】解：过O 作ODBC于 D，则=90ODPODB

28、，=45OPB，=45PODOPB，PDOD，设 PDODx，直径2 13AB，13OBOA，ODBC，OD 过圆心O，BDCD，1PC ，1BDCDx，在 Rt ODB中，由勾股定理得：222BDODOB，即222(1)(13)xx，解得：12x ，23x （不符合题意，舍去），即2 13BDCD ，即336BC 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键12（2022 秋上海浦东新九年级校考期中）如图，圆O 经过平行四边形 ABCD的三个顶点 A、B、D，且圆心O 在平行四边形 ABCD的外部，1tan2DAB，D为弧 AB 的中点

29、，O 的半径为5，求平行四边形的面积【答案】16【分析】连接OD，交 AB 于点 E，连接OA，由 D为弧 AB 的中点，利用垂径定理的逆定理得到OD 垂直于AB，E 为 AB 的中点，在直角三角形 ADE 中，由 tanDAB的值，得到2AEDE，设DE x，则有2AEx，由半径为5，得到5OAOD，由OD DE表示出OE，在直角三角形 AEO中，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，确定出 AB 与 DE 的长，利用平行四边形的面积公式即可求出面积【详解】连接OD，交 AB 于点 E，连接OA，如图所示，D为 AB 的中点，ODAB，E为 AB 的中点，即 AEBE

30、，在 RtADE中，1tan2DEDABAE，设 DEx，5OAOD，则2AEx，5OEODDEx，在 Rt AOE 中，根据勾股定理得：222OAAEOE，即22254(5)xx，解得：0(x 舍去)或2x ，4AE，2DE，28ABAE，则8 216ABCDSAB DE 平行四边形【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，以及平行四边形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键13（2022上海普陀统考二模）如图，已知矩形 ABCD中，5AD ，以 AD上的一点 E 为圆心，EA为半径的圆，经过点 C，并交边 BC 于点 F（点 F 不与点 C 重合）(1)当4AE 时，求矩形对

31、角线 AC 的长；(2)设边,ABx CFy，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出 x 的取值范围；(3)设点 G 是 AC 的中点，且45GEF，求边 AB 的长【答案】(1)2 10AC(2)225.(05)5xyx(3)105 3【分析】（1）连接 CE，AC，由勾股定理可求出答案；（2）过点 E 作 EHBC 于点 H，连接 CE，由矩形的性质得出 AB=EH=x，AE=5-12 y，由勾股定理可求出答案；（3）当点 G 在弧 CF 上时，设 EF 与 AC 的交点为 M，连接 CE，求出DEC=30，由直角三角形的性质可得出答案；当点 G 在弧 AF 上时，则点 F 与点 C 重

32、合，不合题意（1）解：连接 EC，AC4,5AEAD，4,1CEED在 RtCDE中，由勾股定理得222224115CDCEDE在 Rt ACD中，同理得，AC=2225 152 10ADCD（2）过点 E 作 EHBC，垂足为点 H由垂径定理可得1122CHCFy 那么152BHy 由四边形 ABHE 为矩形，得1,52EHx AEy 那么152 ECy 在 RtCHE中，由股定理得：22211522xyy化简得225.(05)5xyx；（3）当点 G 在弧CF 上时，设 EF 与 AC 的交点为 M点 G 是 AC 的中点，EGAC由45GEF，得45EMC EAECEACECA 同理得E

33、FCECF ADBC，EACACF ECAACF EMCEFCACF，3 EMCACF 230 EFCACF ADBC，30DECCE=2CD1522yx 解得1105 3x,2105 3x(不合题意，舍去)即边 AB 的长为105 3当点 G 在弧 AF 上时，则点 F 与点 C 重合，不符合题意【点睛】本题是圆的综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的性质定理是解题的关键14（2022上海黄浦统考二模）如图，已知 A、B、C 是圆 O 上的三点，ABAC，M、N 分别是 AB、AC的中点，E、F 分别是 OM、ON 上的点(

34、1)求证：AOMAON；(2)如果 AEON，AFOM，求证：212OE OMAO【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出OMAB，ONAC，再证 RtAOMRtAON（HL），即可得出结论；（2）连接 EF，交 AO 于点 P先证四边形 AEOF 是平行四边形，再证四边形 AEOF 是菱形，根据菱形的性质得 EFAO，12POAO然后证EPOAMO得 OEOPAOOM，代入即可得出结论(1)证明：M、N 分别是 AB、AC 的中点，OM、ON 过圆心，OMAB，ONAC又 ABAC，AMAN在 RtAOM 和 RtAON 中，AMANOAOA，RtAOMRtAO

35、N（HL），AOMAON(2)解：连接 EF，交 AO 于点 P AEON，AFOM，四边形 AEOF 是平行四边形 AEON，EAOAON，AOMAON，AOMEAO AEEO，四边形 AEOF 是菱形 EFAO，12POAOOMAB，90EPOAMO AOMAOM，EPOAMO OEOPAOOM，212OE OMAO OPAO，即212OE OMAO【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形 AEOF 是菱形是解题的关键15（2022上海杨浦校考一模）如图，已知 ABC 中，45B，4 2AB，tan2C，O

36、 过点 A、C，交 BC 边于点 D，且 ADAC，求CD的长【答案】4【分析】如图，连接 AC，延长 AO 交 BC 于点 E根据圆心角、弧、弦间的关系推知ACD 是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得 AE 是 CD 的中垂线，AECD，且 CD2CE，在 RtAEB 中根据45B ，4 2AB，求得线段 AE 的长度，再根据tan2C 求出 EC 的长度，进而来求出线段 CD 的长度【详解】解：如图，连接 AD，连接 AO 并延长 AO 交 BC 于点 E ADAC，ADAC，ADC 是等腰三角形O 过点 A、C，交 BC 边于点 D，O 是ADC 的外接圆 AE 是 CD 的中垂线AE

37、CD，且 CD2CEAEBAEC90在 Rt ABE 中，AEB90，B45，4 2AB，AEABsin454 2 224tanC2，2AECE，AE2CE，CDAE4，即线段 CD 的长度是 4【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、三角形外接圆、圆心角、弧、弦间的关系等知识证明 AE 是线段 CD 的中垂线是解题的关键16（2022上海长宁统考二模）已知：如图，AO 是O 的半径，AC 为O 的弦，点 F 为的中点，OF 交AC 于点 E，AC=10，EF=3(1)求 AO 的长；(2)过点 C 作 CDAO，交 AO 延长线于点 D，求 OD 的长【答案】(1)

38、173(2)16151【分析】（1）由垂径定理得出 AE4，设圆的半径为 r，知 OEOFEFr2，根据 OA2AE2OE2 求解可得；（2）由OAECAD，AEOADC90知AOEACD，从而根据 sinACDsinAOE AEAO，进而求得 AD的长，即可求得OD 的长可得答案（1）O 是圆心，且点 F 为 AC 的中点，OFAC，AC10，AE5，EF=3 设圆的半径为 r，即 OAOFr，则 OEOFEFr3，由 OA2AE2OE2得 r252（r3）2，解得：r173，即 AO173；（2）OAECAD，AEOADC90，AOEACD，则 sinACDsinAOE AEAO51517

39、17315150sin10 1717ADACACD1501716117351ODADAO【点睛】本题主要考查圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点17（2022上海杨浦校考一模）如图，O 的两条弦 AB、CD 互相垂直，垂足为 E，且 AB=CD，已知 CE=2，ED=6，求O 的半径长【答案】2 5【分析】过点O 分别作 AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN 是正方形，利用垂径定理即可求得OM，AM 的长度，然后在直角 AOM中利用勾股定理即可求得OA的长度【详解】解：过点O 分别作 AB、CD的垂线OM、ON，则四边形OMEN 是矩

40、形，连接OAABCD，ABCD，OMON，矩形OMEN 是正方形2CE，6ED，268CD，ONCDQ142CNCD，2ENOM，同理：4AM 在直角 AMO中，2222422 5OAAMOMO的半径长为2 5【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是利用垂径定理可以把求弦长以及半径的计算转化成求直角三角形的边长的计算18（2022 秋上海普陀九年级校考期中）如图，已知O 的直径 AB=10，点 P 是弦 BC 上一点，联结 OP，OPB=45，PC=1，求弦 BC 的长【答案】8BC【分析】过点O 作ODBC，则 DCDB，根据垂径定理可得 DCDB，根据OPB=45，可得PDO是等

41、腰直角三角形，在 Rt ODB 中，勾股定理建立方程，解方程求解即可求得3PD，然后即可求得 BC 的长【详解】解：如图，过点O 作ODBC，则 DCDB，OPB=45，PDO是等腰直角三角形，PDDO，设 PDDOx，由1PC 1DBDCxO 的直径 AB=10，5OB 在 Rt ODB 中，222ODDBBO22215xx3x 3 14CD 28BCCD【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握垂径定理是解题的关键19（2022 秋上海金山九年级校考阶段练习）已知CD为O 的直径，A、B 为O 上两点，点 C 为劣弧 AB中点，连接 DABAAC、，且30B(1)求证

42、：30D；(2)F、G 分别为线段CDAC、上两点，满足 DFAG，连接 AFOG、，取OG 中点 H，连接CH，请猜测 AF与CH 之间的数量关系，并证明【答案】(1)见解析(2)2AFCH，理由见解析【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等，可直接得出30DB ；（2）过点 O 作OPCH交 AC 延长线于点 P由垂径定理可得ACDBCD，CDAB，结合题意即得出60ACDBCD ，即证明 OCA 为等边三角形，从而可求120PCOFOA 又可求出 FOCG，HOHG根据平行线分线段成比例可得出 GHGCHOCP，从而可推出OFCP即易证(SAS)FOAPCO，推出 AFOP最后根据三角形中位

43、线定理即可得出答案（1）=AC AC，30DB ；（2）2AFCH，理由如下：如图，过点 O 作OPCH交 AC 延长线于点 P点 C 为劣弧 AB 中点，CD为O 的直径，ACDBCD，CDAB30B，60ACDBCD =OA OC，OCA 为等边三角形，120PCOFOA DFAGDOCA，FOCGH 为OG 中点，HOHGOPCH，GHGCHOCP，CGCP，OFCP在 FOA 与PCO中，=OF CPFOAPCOOA OC(SAS)FOAPCO，AFOPC 为 PG 中点，H 为OG 中点，CH 为 POG 中位线，12CHOP，2AFCH【点睛】本题为圆的综合题，考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，三角形全等的判定和性质以及三角形中位线定理等知识正确的作出辅助线是解题关键