广东省3月模拟考真题汇编：数列篇（解析版）.pdf

1、1广东省 3 月模拟考真题汇编：数列篇一、单选题1(2024广东深圳一模)由 0，2，4 组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成的数列记为an，即 a1=0,a2=2,a3=4,，若 an=2024，则 n=()A.34B.33C.32D.30【答案】B【详解】由 0,2,4 组成可重复数字的自然数，按从小到大的顺序排成数列 an，则一位自然数有 3 个，两位自然数有 32-3=6 个，三位自然数有 33-9=18 个，四位自然数有 34-27=54 个，又四位自然数为 2000,2002,2004,2020,2022,2024,2024 为四位自然数中的第 6 个，所以 n=3+6+1

2、8+6=33.故选：B2(2024广东深圳一模)已知数列 an满足 a1=a2=1，an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(k N)，若 Sn为数列 an的前 n 项和，则 S50=()A.624B.625C.626D.650【答案】C【详解】数列 an中，a1=a2=1，an+2=an+2,n=2k-1-an,n=2k(k N)，当 n=2k-1,k N 时，an+2-an=2，即数列 an的奇数项构成等差数列，其首项为 1，公差为 2，则 a1+a3+a5+a49=25 1+25 242 2=625，当 n=2k,k N 时，an+2an=-1，即数列 an的偶数项构成等比数列，

3、其首项为 1，公比为-1，则 a2+a4+a6+a50=1 1-(-1)251-(-1)=1，所以 S50=(a1+a3+a5+a49)+(a2+a4+a6+a50)=626.故选：C3(2024广东汕头一模)在 3 与 15 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等差数列，则插入的 3 个数之和为()A.21B.24C.27D.30【答案】C【详解】令插入的 3 个数依次为 a1,a2,a3，即 3,a1,a2,a3,15 成等差数列，因此 2a2=3+15，解得 a2=9，2所以插入的 3 个数之和为 a1+a2+a3=3a2=27.故选：C4(2024广东模拟预测)已知等比数列 an的各项

4、均为正数，若 a4=2,a8=6，则 a6=()A.4B.2 3C.3D.3 3【答案】B【详解】因为等比数列 an的各项均为正数，所以 a4 a8=a26=12，所以 a6=2 3.故选：B5(2024广东江门一模)已知 an是等比数列，a3a5=8a4，且 a2，a6是方程 x2-34x+m=0 两根，则 m=()A.8B.-8C.64D.-64【答案】C【详解】因为 an是等比数列，所以 a3a5=a24，a2a6=a24，又 a3a5=8a4，所以 a4=8，又 a2，a6是方程 x2-34x+m=0 两根，所以 m=a2a6=a24=64.故选：C6(2024广东佛山二模)设数列 a

5、n的前 n 项之积为 Tn，满足 an+2Tn=1(n N*)，则 a2024=()A.10111012B.10111013C.40474049D.40484049【答案】C【详解】因为 an+2Tn=1(n N*)，所以 a1+2T1=1，即 a1+2a1=1，所以 a1=13，所以 TnTn-1+2Tn=1(n 2,n N*)，所以 1Tn-1Tn-1=2(n 2,n N*)，所以数列1Tn是首项为 1T1=1a1=3，公差为 2 的等差数列，所以 1Tn=3+2(n-1)=2n+1，即 Tn=12n+1，所以 a2024=T2024T2023=12 2024+112 2023+1=404

6、74049 故选：C37(2024广东广州一模)记 Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 a3a5=2a2a4，则 S4S2=()A.5B.4C.3D.2【答案】C【详解】根据题意，设等比数列 an 的公比为 q，若 a3a5=2a2a4，即 a3a5a2a4=q2=2，故 S4S2=a1(1-q4)1-qa1(1-q2)1-q=1+q2=3故选：C二、填空题8(2024广东广州一模)已知数列 an的前 n 项和 Sn=n2+n，当 Sn+9an取最小值时，n=.【答案】3【详解】因为 Sn=n2+n，则当 n 2 时，an=Sn-Sn-1=n2+n-n-12-n-1=2n，又当 n=1 时

7、，a1=S1=2，满足 an=2n，故 an=2n；则 Sn+9an=n2+n+92n=12 n+9n+12，又 y=x+9x,x 1 在 1,3单调递减，在 3,+单调递增；故当 n=3 时，n+9n 取得最小值，也即 n=3 时，Sn+9an取得最小值.故答案为：3.三、解答题9(2024广东深圳一模)设 Sn为数列 an的前 n 项和，已知 a2=4,S4=20，且Snn为等差数列(1)求证：数列 an为等差数列；(2)若数列 bn满足 b1=6，且 bn+1bn=anan+2，设 Tn为数列 bn的前 n 项和，集合 M=Tn Tn N*，求 M(用列举法表示)【答案】(1)证明见解析

8、(2)M=6,8,9,10,11【详解】(1)设等差数列Snn的公差为 d，则 S44=S11+3d，即 S1+3d=5，因为 S2=a1+a2=S1+4，所以由 S22=S11+d，得 S1+2d=4由、解得 S1=2,d=1，所以 Snn=n+1，即 Sn=n n+1，4当 n 2 时，an=Sn-Sn-1=n n+1-n-1n=2n，当 n=1 时，a1=S1=2，上式也成立，所以 an=2n n N*，所以数列 an是等差数列(2)由(1)可知 bn+1bn=anan+2=2n2n+4=nn+2，当 n 2 时，bn=bnbn-1 bn-1bn-2 b2b1 b1=n-1n+1 n-2

9、n 13 6=12n n+1，因为 b1=6 满足上式，所以 bn=12n n+1=12 1n-1n+1n N*Tn=121-12+12-13+1n-1n+1=12 1-1n+1=12-12n+1，因为当12n+1 N*时，n=1,2,3,5,11，所以 M=6,8,9,10,1110(2024广东广州二模)已知数列 an中，a1=1,a1+12 a2+13 a3+1n an=an+1-1 n N*.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn=2nan，记 Tn为 bn的前 n 项和，证明：n 3 时，Tn n 2n+1-4.【答案】(1)an=n(2)证明见解析【详解】(1)因为 a1+1

10、2 a2+13 a3+1n an=an+1-1，所以 a1+12 a2+13 a3+1n an+1n+1 an+1=an+2-1，作差可得1n+1 an+1=an+2-an+1，变形为 an+1=n+1an+2-n+1an+1，即 an+1an+2=n+1n+2，即 a2a3 a3a4an+1an+2=23 34 n+1n+2，化简为 a2an+2=2n+2，因为 a1=1,a1+12 a2=a2-1 a2=2，所以 an+2=n+2，因为 an+1an+2=n+1n+2 anan+2=nn+2 an=n，所以数列 an的通项公式为 an=n.(2)因为 bn=2nan=n 2n，公众号：慧博

11、高中数学最新试题所以 Tn=1 2+2 22+n 2n，2Tn=1 22+2 23+n 2n+1，作差可得-Tn=2+22+2n-n 2n+1=2 1-2n1-2-n 2n+1，所以 Tn=n-12n+1+2，Tn-n 2n+1-4=n-12n+1+2-n 2n+1-4=-2n+1+4n+2，设 f x=-2 2x+4x+2,x 3，则 f x=-2 2xln2+4 在给定区间上递减，又 f 3=-16 ln2+4 05故 f x在 3,+是减函数，f xmax=f 3=-24+4 3+2=-2 0，所以当 n 3 时，Tn n 2n+1-4.11(2024广东佛山模拟预测)已知数列 an满足

12、 am+2n=an+2m m,n N*，且 a3=5(1)求数列 an的通项公式；(2)证明：a13+a232+an3n 1【答案】(1)an=2n-1(2)证明过程见解析【详解】(1)am-2m=an-2n，故 an-2n为常数列，其中 a3=5，故 a3-6=5-6=-1，故 an-2n=-1，即 an=2n-1；(2)bn=an3n=2n-13n，设 bn的前 n 项和为 Tn，则 Tn=13+332+2n-13n，13 Tn=132+333+2n-13n+1，两式-得，23 Tn=13+232+233+23n-2n-13n+1=13+232-23n+11-13-2n-13n+1=23-

13、2+2n3n+1，故 Tn=1-n+13n 1.12(2022广东汕头一模)已知数列 an 和 bn，其中 bn=2an，n N*，数列 an+bn 的前 n 项和为 Sn(1)若 an=2n，求 Sn；(2)若 bn 是各项为正的等比数列，Sn=3n，求数列 an 和 bn 的通项公式【答案】(1)Sn=n2+n+43(4n-1)(2)an=1，bn=2【详解】(1)解：当 n 2 时，an-an-1=2n-2(n-1)=2，从而 an 是等差数列，an=2n，bnbn-1=2an2an-1=2an-an-1=4，所以 bn 是等比数列，又 b1=2a1=22=4，则 bn=4 4n-1=4

14、n，所以 Sn=n(2+2n)2+4 (1-4n)1-4=n2+n+43(4n-1)(2)解：bn 是各项为正的等比数列，设其首项为 b1，公比为 q，由 bn=2an，可得 an=log2bn，则 an+1-an=log2bn+1-log2bn=log2q，(定值)6则数列 an 为等差数列，设其首项为 a1，公差为 d，由数列 an+bn 的前 n 项和 Sn=3n，可得方程组a1+b1=3a1+d+b1q=3a1+2d+b1q2=3a1+3d+b1q3=3，整理得 d+b1q2-b1q=0d+b1q3-b1q2=0，解得：b1q(q-1)2=0，b1 0，q 0，q=1 且 d=0，由

15、a1+2a1=3，可得 a1=1，则 b1=2，则数列 an 的通项公式为 an=1；数列 bn 的通项公式为 bn=2【点睛】本题考查数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式求出数列的通项公式，是难题公众号：慧博高中数学最新试题13(2024广东百日冲刺模拟预测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn=3n2+6n(1)求 an的通项公式；(2)设 bn=9anan+1，求数列 bn的前 n 项和 Tn【答案】(1)an=6n+3,n N*(2)Tn=n3 2n+3,n N*【详解】(1)由题意 a1=S1=9，当 n 2,n N*时，an=Sn-Sn-1=

16、3n2+6n-3 n-12-6 n-1=6n+3，且 a1=6+3=9 满足上式，所以 an=6n+3,n N*.(2)由题意 bn=9anan+1=96n+36n+9=12n+12n+3=1212n+1-12n+3，所以 Tn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=1213-12n+3=n3 2n+3.14(2024广东一模)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，n 为正整数，且 3 Sn-n=4 an-2(1)求证数列 an-1是等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若点 P an-1,bn+23在函数 y=log4x 的图象上，且数列 cn满足 cn=(-1)n+1 6

17、n-1bnbn+1，求数列 cn的前 n 项和 Tn【答案】(1)证明见解析，an=4n+1(2)Tn=3n3n+1,n 为偶数3n+23n+1,n 为奇数【详解】(1)当 n=1 时，3(a1-1)=4(a1-2)，解得 a1=5，当 n 2 时，由 3 Sn-n=4 an-2可得 3 Sn-1-n+1=4 an-1-2，7两式相减可得，an=4an-1-3，即 an-1=4 an-1-1，所以数列 an-1是以 5-1=4 为首项，4 为公比的等比数列，所以 an-1=4 4n-1=4n，即 an=4n+1.(2)点 P an-1,bn+23在函数 y=log4x 的图象上，所以 bn+2

18、3=log4 an-1=log44n=n，即 bn=3n-2，所以 cn=(-1)n+1 6n-1bnbn+1=(-1)n+16n-13n-2(3n+1)=(-1)n+113n-2+13n+1，当 n=2k,k N 时，Tn=c1+c2+cn=1+14-14+17+-13n-2+13n+1=1-13n+1=3n3n+1，当 n=2k-1,k N 时，Tn=c1+c2+cn-1+cn=3n-33n-2+cn=3n-33n-2+13n-2+13n+1=1+13n+1=3n+23n+1综上，Tn=3n3n+1,n 为偶数3n+23n+1,n 为奇数15(2024广东佛山二模)已知数列 an满足 a1

19、=1，an+1=an+1,n 为奇数3an,n 为偶数，且 bn=a2n+1-a2n-1(1)证明 bn为等比数列，并求数列 bn的通项公式；(2)设 cn=bn-5bn+1-5，且数列 cn的前 n 项和为 Tn，证明：当 n 2 时，1213n-1-3 3Tn-n an，所以 a2n+1-a2n-1 0，因为 bn+1bn=a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=3a2n+2-3a2na2n+1-a2n-1=3 a2n+1+1-3 a2n-1+1a2n+1-a2n-1=3 a2n+1-a2n-1a2n+1-a2n-1=3所以 bn是等比数列，首项 b1=5，公比 q=3，所以 bn=

20、5 3n-1(2)由(1)可得 cn=bn-5bn+1-5=5 3n-1-55 3n-5=3n-1-13n-1，先证明左边：即证明 1213n-1-3 3n-1-13n=13-13n，所以 Tn13-131+13-132+13-13n=n3-13 1-13n1-13=n3-12 1-13n，所以 3Tn-n 1213n-1-3，再证明右边：3Tn-n ln3n3n-1-1，因为 cn=3n-1-13n-1=13 3n-33n-1=13 1-23n-1 13 1-23n=13-23n+1，所以 Tn13-232+13-233+13-23n+1=n3-232 1-13n1-13=n3-13+13n+1，即 3Tn-n 13n-1，下面证明 13n-1 ln3n3n-1-1，即证 13n ln3n3n-1，即证 13n 0，所以函数 f t=lnt+1-t 在 t 23,1上单调递增，则 f t f 1=0，即 1-t-lnt，t 23,1，所以 13n-ln 1-13n，所以 3Tn-n 13n-1 ln3n3n-1-1综上，1213n-1-3 3Tn-n ln3n3n-1-1【点睛】方法点睛：数列不等式的证明方法主要有：(1)作差比较法：不等式两边作差与 0 比较大小.(2)放缩比较法：对表达式适当放缩，证出不等式.