2021-2022学年高中人教A版数学选修2-1课后巩固提升：模块复习课 第4课时　利用向量解决平行与垂直、夹角问题 WORD版含解析.docx

1、模块复习课第4课时利用向量解决平行与垂直、夹角问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),如果ab,那么x等于()A.-1B.1C.-5D.5解析向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),ab,解得x=1.故选B.答案B2.已知=(2,3),=(3,t),|=1,则=()A.-3B.-2C.2D.3解析由=(1,t-3),|=1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)(1,0)=21+30=2.故选C.答案C3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=()A.(c+b-a)

2、B.(a+b-c)C.(a-c)D.(c-a)解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,=a,=b,=c,=)+)=(-c+b)+c+(-a-b)=-a+c=(c-a),故选D.答案D4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N所成的角的余弦值是()A.B.C.D.解析以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设N,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),=(-3,0,1),=-,-3,-3.cos=,故选D.

3、答案D5.已知点A(m,-2,n),点B(-5,6,24)和向量a=(-3,4,12),且a,则点A的坐标为.解析A(m,-2,n),B(-5,6,24),=(-5-m,8,24-n).又向量a=(-3,4,12),且a,=a,即解得=2,m=1,n=0,点A的坐标为(1,-2,0).答案(1,-2,0)6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.解析正方体棱长为a,A1M=AN=,.=)+)=.又是平面B1BCC1的法向量,=0.又MN平面B1BCC1,MN平面B1BCC1.答案平行7.在四边形AB

4、CD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.解析ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30.AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,=()()=-=-12+22cos 30+52cos 30+52cos 180=-22+6+15=-1.答案-18.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,BAA1=45,平面AA1C1C平面AA1B1B.(1)求证:AA1BC;(2)若BB1=AB=2,直线BC与平面ABB1A1所成角为45,D为CC1的中点,求二面角B1-A1D-C1的余弦值.(1)证明过点C作COAA1,垂足

5、为O,因为平面AA1C1C平面AA1B1B,所以CO平面AA1B1B,故COOB.又因为CA=CB,CO=CO,COA=COB=90,所以RtAOCRtBOC,故OA=OB.因为A1AB=45,所以AA1OB.又因为AA1CO,所以AA1平面BOC,故AA1BC.(2)解以O为坐标原点,OA,OB,OC所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,因为CO平面AA1B1B,所以CBO是直线BC与平面AA1B1B所成角,故CBO=45,所以AB=,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),设平面A1B

6、1D的法向量为n=(x1,y1,z1),则所以令x1=1,得n=(1,1,0),因为OB平面AA1C1C,所以为平面A1C1D的一条法向量,=(0,1,0),cos=,所以二面角B1-A1D-C1的余弦值为.9.如图,AE平面ABCD,CFAE,ADBC,ADAB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF平面ADE;(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),

7、E(0,0,2).设CF=h(h0),则F(1,2,h).依题意,=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又=(0,2,h),可得=0,又因为直线BF平面ADE,所以BF平面ADE.(2)解依题意,=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(-1,-2,2).设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,则不妨令z=1,可得n=(2,2,1).因此有cos=-.所以,直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)解设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,则即不妨令y=1,可得m=1,1,-.由题意,有|cos|=,解得h=,经检验,符合题意.所以,线段CF的长为.能力提升1.正方体ABCD-A1B1

8、C1D1的棱长为a,点M在AC1上且,N为B1B的中点,则|为()A.aB.aC.aD.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),点M在AC1上且,(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z).x=a,y=,z=.M,|=a.答案A2.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则二面角B-A1C1-A的余弦值为()A.B.C.D.解析以D为原点,直线DA为x轴,直线DC为y轴,直线DD1为z轴,建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则A(1,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1

9、(0,1,1),=(-1,1,0),=(0,0,-1),=(0,1,-1).设平面A1C1A的法向量n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,1,0).设平面A1C1B的法向量m=(a,b,c),则取a=1,得m=(1,1,1).设二面角B-A1C1-A的平面角为,则cos =.二面角B-A1C1-A的余弦值为.故选C.答案C3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则所成角的大小为,=.解析以D为坐标原点,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间坐标系,如图所示.AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,B1(1,2,1

10、),C(0,2,0),A1(1,0,1),P(0,1,1).=(-1,0,-1),=(-1,1,0).=1+0+0=1,|=,|=.设所成角为,cos =,=60.答案6014.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,M为A1C1的中点,N为BB1的中点,则直线CM与AN所成的角的余弦值为.解析以A为原点,在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系,设正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,则C(0,2,0),M(0,1,2),A(0,0,0),N(,1,1),=(0,-1,2),=(,1,1),设直线CM与AN所成的角为,则cos =.

11、直线CM与AN所成的角的余弦值为.故答案为.答案5.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为.解析根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.PA=PB=PC,H为ABC的外心.又ABC为正三角形,H为ABC的重心,可得H点的坐标为.PH=a.点P到平面ABC的距离为a.答案a6.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,AB=1,CD=3,AP=2,DP=2,PAD=60,AB

12、平面PAD,点M在棱PC上.(1)求证:平面PAB平面PCD;(2)若直线PA平面MBD,求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值.解(1)证明:因为AB平面PAD,所以ABDP.又因为DP=2,AP=2,PAD=60,由,可得sinPDA=,所以PDA=30,所以APD=90,即DPAP,因为ABAP=A,所以DP平面PAB,因为DP平面PCD,所以平面PAB平面PCD.(2)由AB平面PAD,以点A为坐标原点,在平面PAD中,过点A作AD的垂线为x轴,AD,AB所在直线分别为y轴、z轴,如图所示建立空间直角坐标系.其中A(0,0,0),B(0,0,1),C(0,4,3),D(0,4,0),

13、P(,1,0).从而=(0,4,-1),=(,1,0),=(-,3,3),设=,从而得M(1-),3+1,3),=(1-),3+1,3-1),设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),若直线PA平面MBD,满足即得=,取n=(,-3,-12),且=(,1,-1),直线BP与平面MBD所成角的正弦值sin =.7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA底面ABCD,ABC=60,AB=,AD=2,AP=3.(1)求证:平面PCA平面PCD;(2)设E为侧棱PC上的一点,若直线BE与底面ABCD所成的角为45,求二面角E-AB-D的余弦值.解(1)证明:在平行四边形ABCD中

14、,ADC=60,CD=,AD=2,由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=12+3-22cos 60=9,AC2+CD2=AD2,ACD=90,即CDAC,又PA底面ABCD,CD底面ABCD,PACD.又ACCD=C,CD平面PCA.又CD平面PCD,平面PCA平面PCD.(2)如图,以A为坐标原点,AB,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(,0,0),C(0,3,0),D(-,3,0),P(0,0,3).设E(x,y,z),=(01),则(x,y,z-3)=(0,3,-3),x=0,y=3,z=3-3,即点E的坐标为(0,3,3-3),=(-,3,3-3).又平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),sin 45=|cos|=,解得=.点E的坐标为(0,1,2),=(0,1,2),=(,0,0),设平面EAB的法向量为m=(x,y,z),由令z=1,得平面EAB的一个法向量为m=(0,-2,1),cos=.又二面角E-AB-D的平面角为锐角,所以,二面角E-AB-D的余弦值为.