2021高考数学文科（全国版）一轮复习教师用书：第六章第四讲　数列求和及数列的综合应用 WORD版含解析.docx

1、第四讲数列求和及数列的综合应用考法1 数列求和命题角度1用公式法和分组转化法求和1 2019山东五地联考已知等差数列an的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2 - S2x+20的解集为(1,2).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=a2n+2an - 1,求数列bn的前n项和Tn.(1)先设等差数列an的公差为d,再根据题意求出a1与d,进而可求出数列an的通项公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+2an - 1求出bn,再利用等差数列与等比数列的求和公式,以及分组转化法,即可求出结果.(1)设等差数列an的公差为d,因为关于x的不等式a1x2 - S2x+20).

2、因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12.又b1=2,所以q+q2 - 6=0,解得q=2(q= - 3舍去),所以bn=2n.由b3=a4 - 2a1,S11=11b4,可得8=3d - a1,11a1+11102d=1124,(构造方程组)解得a1=1,d=3,所以an=3n - 2.所以数列an的通项公式为an=3n - 2,数列bn的通项公式为bn=2n.()由()知,a2n=6n - 2,b2n - 1=24n - 1.设数列a2nb2n - 1的前n项和为Tn,a2nb2n - 1=(3n - 1)4n,故Tn=24+542+843+(3n - 1)4n,4Tn=242+5

3、43+(3n - 4)4n+(3n - 1)4n+1, - 得, - 3Tn=24+342+343+34n - (3n - 1)4n+1(错位相减时,注意最后一项的符号)=12(1 - 4n)1 - 4 - 4 - (3n - 1)4n+1(用公式法求和时,注意项数)= - (3n - 2)4n+1 - 8,所以Tn=3n - 234n+1+83.故数列a2nb2n - 1的前n项和为3n - 234n+1+83.2.2020四川五校联考设数列an是等差数列,数列bn的前n项和Sn满足2Sn=3(bn - 1)且a1=b1,a4=b2.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求anbn的前n项

4、和Tn.命题角度3用裂项相消法求和32019广东惠州第三次调研已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=n2+3n,nN*.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n - 1a2n+1的前n项和Tn.(1)利用an=S1,n=1,Sn - Sn - 1,n2可求出an的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列1a2n - 1a2n+1的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和Tn.(1)当n2时,2Sn - 1=(n - 1)2+3(n - 1),又2Sn=n2+3n,两式相减得2an=2n+2,所以an=n+1.当n=1时,2S1=2a1=4,解得a1=2.因为a1=2满足式子an=n+1,(验

5、证首项不能漏)故an的通项公式为an=n+1(nN*).(2)由(1)知1a2n - 1a2n+1=12n(2n+2)=141n(n+1)=14(1n-1n+1),(裂项,注意系数14不要漏)所以Tn=14(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1) =14(1 - 1n+1)=n4n+4.3.2017全国卷,15,5分等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.命题角度4用倒序相加法求和4已知函数f (x)=4x4x+2,数列an的通项公式为an=f (n2 020),则数列an的前2 019项和为.由题意可得f (x)+f (1 - x)=4x4x+2+41 - x41

6、 - x+2=4x4x+2+11+24x - 1=4x4x+2+22+4x=1.因为数列an的前2 019项和S2 019=f (12 020)+f (22 020)+f (2 0182 020)+f (2 0192 020),(这个等式的右边是2 019项的和)所以S2 019=f (2 0192 020)+f (2 0182 020)+f (22 020)+f (12 020),(倒过来写)+得,2S2 019=f (12 020)+f (2 0192 020)+f (22 020)+f (2 0182 020)+f (2 0192 020)+f (12 020)=2 0191=2 019

7、,所以S2 019=2 0192,所以数列an的前2 019项和为2 0192.4.已知平面向量a=(lg x,1),b=(1,lg y)满足ab=12,且S=lg xn+lg(xn - 1y)+lg(xn - 2y2)+lg(xyn - 1)+lg yn,则S=.命题角度5用并项求和法求和5 2016天津,18,13分文已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列( - 1)nbn2的前2n项和.(1)根据已知等式及S6=63求得q,进而求得首项,即可

8、得到an的通项公式;(2)先由(1)得bn的通项公式,再用并项求和法求数列( - 1)nbn2的前2n项和.(1)设数列an的公比为q.由已知,有1a1-1a1q= 2a1q2,解得q=2或q= - 1.又由S6=a11 - q61 - q=63,知q - 1,所以a11 - 261 - 2=63,解得a1=1.所以an=2n - 1.(2)由题意,得bn=12(log2an+log2an+1)=12(log22n - 1+log22n)=n - 12,即bn是首项为12,公差为1的等差数列.设数列( - 1)nbn2的前n项和为Tn,则T2n=( - b12+b22)+( - b32+b42

9、)+( - b2n - 12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n - 1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2.5.2020合肥市调研检测设an=( - 1)n - 1n2,则a1+a2+a3+a51=.考法2 等差、等比数列的综合问题6 2019天津,18,13分文设an是等差数列,bn是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.()求an和bn的通项公式;()设数列cn满足cn=1,n为奇数,bn2,n为偶数.求a1c1+a2c2+a2nc2n(nN*).()设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q,由已知条件建立方程组进行求解即可;()利用

10、分组求和法及错位相减法求解.()设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q(q0).依题意,得3q=3+2d,3q2=15+4d,解得d=3,q=3,故an=3+3(n - 1)=3n,bn=33n - 1=3n.所以an的通项公式为an=3n,bn的通项公式为bn=3n.()a1c1+a2c2+a2nc2n=(a1+a3+a5+a2n - 1)+(a2b1+a4b2+a6b3+a2nbn)=n3+n(n - 1)26+(631+1232+1833+6n3n)=3n2+6(131+232+n3n).记Tn=131+232+n3n,则3Tn=132+233+n3n+1, - 得,2Tn=

11、- 3 - 32 - 33 - - 3n+n3n+1= - 3(1 - 3n)1 - 3+n3n+1=(2n - 1)3n+1+32.所以,a1c1+a2c2+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3(2n - 1)3n+1+32=(2n - 1)3n+2+6n2+92(nN*).考法3 数列与其他知识的综合命题角度1数列与函数的交汇72019吉林长春联考已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,a6和a8是函数f (x)=154ln x+12x2 - 8x的极值点,则S8=A. - 38B.38C. - 17D.17因为f (x)=154ln x+12x2 - 8x,所以f (x)=154

12、x+x - 8=x2 - 8x+154x=(x - 12)(x - 152)x.令f (x)=0,解得x=12或x=152.因为数列an的公差d0,所以数列an是单调递增数列,又a6和a8是函数f (x)的极值点,所以a6=12,a8=152,所以a1+5d=12,a1+7d=152,解得a1= - 17,d=72.所以S8=8( - 17)+8(8 - 1)272= - 38.A命题角度2数列与不等式的交汇8 2019福建厦门联考已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn.(2)求证:1S1+1S2+1Sn2.(1)设等差数列a

13、n的公差为d,由已知得a5+a13=34,3a2=9,即a1+8d=17,a1+d=3,解得a1=1,d=2,故an=2n - 1,Sn=n2.(2)1S1+1S2+1Sn=1+122+132+1n21+112+123+1n(n - 1)(注意放大技巧:把1n2放大为1n(n - 1)=1+(1 - 12)+(12- -13)+(1n - 1- -1n)(裂项)=2 - 1n(消项)0,|2), f (x)的部分图象如图6 - 4 - 1所示,Sn为数列an的前n项和,则S2 019的值为() 考法4 数列的实际应用 9 2019重庆八中模拟实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下

14、变化:从2019年开始到2028年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2029年开始到2038年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2018年人口总数为45万.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(注:2019年为第一年);(2)若“二孩”政策实施后,2019年到2038年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2038年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.99100.9)(1)根据题意可知an是分段数列,其中第一段是等差数列,第二段是等比数列,根据等差、等比数列的通项公式即可得到an的表达式;(2)设数列an的前n项和为Sn,根据等

15、差、等比数列的前n项和公式求出S20,并比较S2020与49的大小,即可得出结论.(1)由题意知,当1n10时,数列an是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得an=45.5+0.5(n - 1)=0.5n+45,则a10=50;当11n20时,数列an是公比为0.99的等比数列,则an=500.99n - 10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式为an=0.5n+45,1n10,500.99n - 10,11n20.(2)设Sn为数列an的前n项和.从2019年到2038年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+a20)=

16、477.5+4 950(1 - 0.9910)972.5.所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为S202048.63,则S2020100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110数学探究数列的新定义问题102016全国卷,17,12分Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.关键信息信息转化Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28可以求得数列an的通

17、项公式bn=lg an,x的定义可以分别求解b1,b2,b3,b1 000数列bn的前1 000项和分组求和(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg 1=0,b11=lg 11=1,b101=lg 101=2.(2)记bn的前n项和为Tn,则T1 000=b1+b2+b1 000=lg a1+lg a2+lg a1 000,当0lg an1时,n=1,2,9;当1lg an2时,n=10,11,99;当2lg an3时,n=100,101,999;当lg an=3时,n=1 000.所以bn=0,1n10,1,10n100,2,10

18、0n1 000,3,n=1 000,所以数列bn的前1 000项和为09+190+2900+31=1 893. 取整函数具有天生的“离散性”,与数列的“离散性”相似,常常作为数列的新定义问题的载体.本题以取整函数为载体,考查了取整函数的性质,同时考查了逻辑推理素养与运算求解能力.8.2019广东梅州二模给出定义:x=x+,xZ,01,其中x表示x的整数部分,表示x的小数部分.已知数列an满足a1=5,an+1=an+2,则a2 019 - a2 018等于()A.2 019 - 5B.2 018+5C.6+5 D.6 - 5数学文化数列与数学文化11 2018北京,5,5分文“十二平均律”是通

19、用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为A.32f B.322f C.1225f D.1227f 因为从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122,第一个单音的频率为f ,所以这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为122的等比数列,记为an,则第八个单音的频率为a8=f (122)8 - 1=1227f ,故选D.D “十二平均律”是由中国明代

20、律学家朱载堉发明的,本题以此为背景,不仅弘扬了中国传统文化,还考查了等比数列的通项公式及定义,考查了逻辑推理素养与运算求解能力,体现了等比数列在实际生活中的应用.9.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1 016个浮雕,这些浮雕构成一幅优美的图案.若从最下层往上,浮雕的数量构成一个数列an,则log2(a3a5)的值为()A.8B.10C.12D.161.255由于an+2 - an=1+( - 1)n(nN*),所以当n为奇数时,an+2=an,当n为偶数时,a

21、n+2 - an=2,所以a1=a3=a29,a2,a4,a30构成首项为2,公差为2的等差数列.又a1=1,所以a1+a2+a3+a29+a30=15+152+151422=255.所以该医院近30天入院治疗流感的总人数为255.2.(1)由2Sn=3(bn - 1)知,当n=1时,b1=3,当n2时,2Sn - 1=3(bn - 1 - 1),2bn=2Sn - 2Sn - 1=3(bn - 1) - 3(bn - 1 - 1),即bn=3bn - 1,所以bn是首项为3,公比为3的等比数列,所以数列bn的通项公式为bn=3n.又数列an是等差数列,且a1=b1=3,a4=b2=9,所以公

22、差d=a4 - a13=2,可得数列an的通项公式为an=2n+1.(2)Tn=331+532+733+934+(2n+1)3n,3Tn=332+533+734+(2n - 1)3n+(2n+1)3n+1, - 得, - 2Tn=331+2(32+33+34+3n) - (2n+1)3n+1, - 2Tn=331+29(3n - 1 - 1)3 - 1 - (2n+1)3n+1,整理得Tn=n3n+1.3.2nn+1设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意,知a1+2d=3,4a1+6d=10,即a1+2d=3,2a1+3d=5,解得a1=1,d=1,所以Sn=n(n+1)2,因此k=1n

23、1Sk=2(1 - 12+12 - 13+1n - 1n+1)=2nn+1.4.6n(n+1)因为平面向量a=(lg x,1),b=(1,lg y)满足ab=12,所以lg x+lg y=12,所以lg(xy)=12.因为S=lg xn+lg(xn - 1y)+lg(xn - 2y2)+lg(xyn - 1)+lg yn,所以S=lg yn+lg(xyn - 1)+lg(xn - 2y2)+lg(xn - 1y)+lg xn,以上两式相加得,2S=(lg xn+lg yn)+lg(xn - 1y)+lg(xyn - 1)+(lg yn+lg xn)=lg(xnyn)+lg(xn - 1yxyn

24、 - 1)+lg(ynxn)=nlg(xy)+lg(xy)+lg(xy)=n(n+1)lg(xy)=12n(n+1),所以S=6n(n+1).5.1 326a1+a2+a3+a51=12 - 22+32 - 42+492 - 502+512=1+(3 - 2)(3+2)+(5 - 4)(5+4)+(51 - 50)(51+50)=1+2+3+4+5+50+51=51(1+51)2=1 326.6.B由题图可得T4=712 - 3=4(T为f(x)的最小正周期),则T=,=2T=2.将(712, - 1)代入f(x)=sin(2x+)中,可得76+=2k+32,kZ,则有=2k+3,kZ.又|1

25、00,即k(k+1)2100,结合kN*,解得k14,即N出现在第13组之后.又第k组所有项的和为1 - 2k1 - 2=2k - 1,所以前k组所有项的和为1+(1+2)+(1+2+2k - 1)=(21 - 1)+(22 - 1)+(2k - 1)=(21+22+2k) - k=2k+1 - k - 2.设满足条件的N在第(t+1)(tN*,t13)组,且第N项为第(t+1)组的第m(mN*)个数,第(t+1)组的前m项和为1+2+22+2m - 1=2m - 1.要使该数列的前N项和为2的整数幂,需使2m - 1与 - t - 2互为相反数,即2m - 1=2+t,所以2m=t+3,所以

26、m=log2(t+3),所以m=4,t=13时,N=13(13+1)2+4=955时,N440,故选A.8.D因为a1=5,an+1=an+2,所以a2=2+25 - 2=6+25,a3=10+225 - 4=12+5,a4=14+25 - 2=18+25,a5=22+225 - 4=24+5,所以a2 018=62 017+25,a2 019=62 018+5.则a2 019 - a2 018=6 - 5.故选D.9.C依题意得,数列an是以2为公比的等比数列,因为最下层的浮雕的数量为a1,所以S7=a1(1 - 27)1 - 2=1 016,解得a1=8,所以an=82n - 1=2n+2(1n7,nN*),所以a3=25,a5=27,从而a3a5=2527=212,所以log2(a3a5)=log2212=12.