2023年新高考一轮复习讲义第25讲 简单的三角恒等变换（解析版）.docx

1、第 25 讲 简单的三角恒等变换 学校:_姓名：_班级：_考号：_【基础巩固】1（2022全国高三专题练习）已知函数 1sinsin34f xxx，则 f x 的值不可能是（）A12B 12C0D2【答案】D【解析】1131()sinsin()sin(sincos)34224f xxxxxx21311 1 cos231sinsin cos?sin 22242244xxxxx311sin 2cos2sin(2)4426xxx 1 1,2 2f x ，故选：D2（2022全国高三专题练习（理）若角 顶点与原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边在直线 20 xy上，则sincos44（）A35B

2、45C310D 310【答案】C【解析】因为角 终边在直线 20 xy上，所以 tan2=-，21cos5 1sincossincos2sincos44442441sin 2242211113sin2cos22cos1cos2222210 故选：C.3（2022全国高三专题练习）已知角 为锐角，角 为钝角，且3 105sin,cos()105，则sin （）A22B23C25D210【答案】D【解析】解：因为 为锐角，3 10sin10，所以10cos10，因为 为钝角，所以,2，若,2，则3 105cos()cossin2105 ，不符题意，所以(,)，又5cos()5，所以2 5sin()

3、5，所以2 51053 102sinsin()51051010.故选：D.4（2022北京101 中学高三开学考试）在 ABC中，“tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析sinsincos()cos tan tan11000coscoscoscoscoscosABABCABABABAB coscoscos0ABCABC为钝角三角形.在 ABC中，“tantan1AB ”是“ABC为钝角三角形”的充要条件.故选：C.5（2022全国高三开学考试（文）函数 4sin 3cos 336f xxx的最大值为(

4、)A2B3C4D5【答案】D【解析】4sin 3cos 336f xxx13314sin3cos3cos3sin32222xxxx312sin32 3cos3cos3sin322xxxx55 3sin3cos322xx5sin 33xf(x)最大值为 5，故选：D.6（2022辽宁大连二十四中模拟预测）若将函数 sinsincosf xxxx的图象向左平移 4 个单位，所得图象对应的函数在区间,m m上无极值点，则m 的最大值为（）A 8B 4C 38D 2【答案】A【解析】因为 2sinsincossinsin cosf xxxxxxx11 cos2sin222xx，21sin 2242x，

5、所以将函数 f x 的图象向左平移 4 个单位，可得2121sin 2sin 22442242yxx，令222,Z242kxkk，解得3,Z88kxkk即函数21sin 2242yx的单调递增区间为3,Z88kkk，令0k，可得函数的单调递增区间为3,88 ，又由函数21sin 2242yx在区间,m m上无极值点，则m 的最大值为 8.故选：A.7（2022全国高三专题练习）若函数 f(x)2sin xcos x 在0，上是增函数，则当 取最大值时，sin 2的值等于（）A 45B 35C 25D215【答案】A【解析】f(x)5 sin(x)，其中 tan 12，且 0,2，由22kx 2

6、 2k，kZ，得22kx 2 2k，kZ，当 k0 时，增区间为,22，所以 max 2，所以当 取最大值时，sin 2sin 2 2 sin 22222sincos2tan4sincos1 tan5.故选：A8（2022上海长宁二模）已知函数()sincosf xxax满足：6f xf 若函数()f x 在区间12,x x上单调，且满足12()()0f xf x，则12xx的最小值为（）A 6B 3C 23D 43【答案】C【解析】2()sincos1sin()f xxaxax，,2 2 因为 6f xf ，所以当6x时，()f x 取得最大值，即sin()16所以 62，即3 因为12()

7、()0f xf x，所以1122(,(),(,()xf xxf x的中点是函数()f x 的对称中心，由,3xkkZ，得,3xkkZ所以1223xxk，所以1222,3xxkkZ易知，当0k 时12xx取得最小值 23.故选：C9（多选）（2022河北张家口市第一中学高三阶段练习）已知函数 22sin cos2 3sinf xxxx，则（）A f x 的最小正周期为B,06是曲线 f x 的一个对称中心C12x 是曲线 f x 的一条对称轴D f x 在区间5,6 12 上单调递增【答案】ACD【解析】sin23 1 cos2sin23cos23f xxxxx2sin 233x，22T，A 对

8、,36 是曲线 f x 的一个对称中心，B 错232xk，5122kx，k Z，1k 时，12x，12x 是 f x 的一条对称轴，C 对2232x，5266x，51212x，f x 在5,12 12上单调递增，D 对故选：ACD.10（多选）（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，且满足sin1 2cos2sincoscossinBCACAC，则下列结论可能成立的是（）A2abB2baC2ABD90C【答案】AD【解析】因为sin1 2cos2sincoscossinBCACAC，所以，2sincoscossin2sincossin2sincoss

9、incoscossinACACBCACBCACAC，所以，sincos2sincos0ACBC，即cossin2sin0CAB.所以，cos0C 或sin2sinAB，0180CooQ，90C或2ab.故选：AD.11（2022江苏泰州模拟预测）若0时，2sin2cosf 取得最大值，则0sin 24_【答案】1010【解析】111sin21 cos2sin2cos2222f 5 2 55151sin2cos2sin 2255222（其中2 5cos5，5sin5），当 f 取最大值时，022，02202 5sin 2sincos25，05cos2cossin25 02 525210sin 2

10、4525210 故答案为：101012（2022河北衡水第一中学高三阶段练习）函数3()sin 2cos4f xxx的最小值为_.【答案】98【解析】3332()sin 2cossin 2cos cossin sin2sin coscossin4442f xxxxxxxxxx，令cossin2,2xxt ，则22sin cos1xxt，故 222291248g tttt，所以当24t 时，min98g t 故答案为：9813（2022全国高三专题练习）若33sin3sin44xx ，则2sin2sin cos2sincos2xxxxx _【答案】85【解析】解：由33sin3sin44xx 得

11、2222cossin3cossin2222xxxx，整理得2cossinxx，即 tan2x，222sin cossin2cos1sinsin 2sin cos2sin1 coscos 22xxxxxxxxxxx2222sin cos1 cos4sin cos4tan884sin cos1 cossincostan14 152xxxxxxxxxxxx故答案为：8514（2022全国高三专题练习）已知 tan,tan 是方程23 340 xx的两根，且3,22，则的值为_.【答案】43【解析】tan,tan 是方程23 340 xx的两根，tantan3 3,tantan4，tantan3 3t

12、an31tantan1 4.又 tantan0,tantan0，tan0,tan0，3,22，,2 ，,2，43.故答案为：43.15（2022北京朝阳一模）某地进行老旧小区改造，有半径为 60 米，圆心角为 3 的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地 PQR，其中 P 在 BC 上，PQAB，垂足为Q，PRAC，垂足为 R，设0,3PAB，则 PQ _（用 表示）；当 P 在 BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积是_.【答案】60sin 米225 3 平方米.【解析】在Rt PAQ中，0,3PAB，AP=60 米，sin60sinPQAP（米），在 Rt PAR 中，可得

13、60sin3PR，由题可知23QPR，PQR 的面积为：1sin2PQRSPQ PRQPR1260sin60sinsin233900 3sinsin3311450 3sin 2cos22221450 3 sin 262，又0,3，52,666，当262，即6 时，PQR 的面积有最大值225 3 平方米，即三角形绿地的最大面积是 225 3 平方米.故答案为：60sin 米；225 3 平方米.16（2021浙江高考真题）设函数 sincos(R)f xxx x.（1）求函数22yfx的最小正周期；（2）求函数()4yf x fx 在 0,2 上的最大值.【解】（1）由辅助角公式得()sinc

14、os2 sin4f xxxx，则2223332 sin2sin1 cos 21 sin 22442yfxxxxx ，所以该函数的最小正周期22T;（2）由题意，2 sin2 sin2sinsin444yf x fxxxxx2222sinsincos2 sin2 sin cos22xxxxxx1 cos2222222sin 2sin 2cos2sin 22222242xxxxx，由0,2x 可得32,444x ，所以当242x即38x时，函数取最大值212.17（2022浙江高三专题练习）设函数 sincossincos22f xxxxx.(1)求函数 f x 单调递增区间；(2)求函数 6g

15、xf xfx在区间 0,2 上的最值.【解】(1)222cossinsincossincossincos2sin cosf xxxxxxxxxxx 1 sin 2x ，当322,222xkk，即 x3,44kkkZ时是单调递增区间；(2)332sin 2sin 22sin 2cos 223sin 23226g xxxxxx ，因为2,0 x，所以72,666x，所以当2,66 2x 时 g x 单调递减，当72,626x 时 g x 单调递增，min23sin232gx ，最大值在区间的两个端点中的一个，3023sin262g ，7323sin2262g ，故 g x 最小值为 23，g x

16、大值是322 ；综上，f x 的单调递增区间为3,44kkkZ，g x的最大值为322 ，最小值为 23.18（2022浙江绍兴高三期末）已知函数 sinf xx.(1)若3fxfx 对于任意实数 x 恒成立，其中，求 的值；(2)设函数 226g xfxfx，求 g x 在区间,4 4 上的取值范围.【解】(1)解：由3fxfx，即sinsin3xx 恒成立，2Z3xxkk恒成立,或2 Z3xxkk恒成立，由于2 Z3xxkk不可能恒成立，2 Z3xxkk 恒成立,即22+Z3kk 恒成立，又，23.(2)解：22221 cos 21 cos23sinsin6622xxg xfxfxxx11

17、131cos2cos 21cos2cos2sin 223222xxxxx 31331sin 2cos21sin 222223xxx ,当 x,4 4 时，5 2,366x,1sin 21,32x,g x 331,124,即 g x 在区间,4 4 上的取值范围是区间331,124.【素养提升】1（2022四川眉山三模（文）已知函数 11 sin 21 sin22 cossin44xxf xxx，当32x时，f x的值域为()A(-1，1)B(0，1)C(-1，0)D2,0【答案】C【解析】22221sincos2sin cossincos2sincos222222sin44xxxxxxxxf

18、xx1sincossincos2221 cosxxxxx32x，3224x，sincos0 xx，sincos022xx，cos02x，21 sincossincos22212cos12xxxxf xx21 2sincos2cos1sincos222222cos 2xxxxxx2cossincossincos222222cos 2xxxxxx22cossin22xxcosx，1,0f x 故选：C2（2022全国高三阶段练习）已知，是三个互不相同的锐角，则在sincos，sincos，sincos三个值中，大于 2 的个数最多有（）个A0B1C2D3【答案】C【解析】因为，是三个互不相同的锐角

19、，所以sincossincossincos2 sin2 sin2 sin2223 2444，所以在sincos，sincos，sincos三个值中，不会全部大于 2，若令3，4，6，则32sincos222，23sincos222，sincos12 所以大于 2 的个数最多有 2 个.故选：C3（2022安徽蚌埠二中模拟预测（理）已知函数 sincos2sin 2f xxxx，以下结论错误的是()A 是 f x 的一个周期B f x 在区间0,3单调递减C34fx是偶函数D f x 在区间,2 2 恰有两个零点【答案】B【解析】sincos2sin 2sincos2sin 2f xxxxxxx

20、f x，故 A 正确；当0,2x 时，sincos2sin 2f xxxx，cossin4cos2fxxxx=22cossin4 cossinxxxxcossin1 4 cossinxxxx2 cos1 4 2 sin44xx，则在0,4 上，cos04x，1 4 2 sin04x，0fx，f(x)递减，在 ,4 2 上，cos04x，1 4 2 sin04x，0fx，f(x)递增，故 f(x)在0,3上不单调，故 B 错误；34fx定义域为 R，且：34fx333sincos2sin 2444xxxcossin2cos244xxx22sincossincos2cos222xxxxx，3333

21、sincos2sin 24444fxxxx cossin2cos244xxx22cossinsincos2cos222xxxxx，3344fxfx ，故34fx 是偶函数，故 C 正确；当,02x ，0f x，则 f x 在区间,02 无零点，f x 在0,4 上单调递减，010f，2204f ，由零点存在定理可知 f x 在0,4 上有且仅有一个零点，同理可证 f x 在 ,4 2 上有且仅有一个零点，综上，f x 在区间,2 2 恰有两个零点，故 D 正确故选：B.4（2022全国高三专题练习）在 ABC 中，已知2sinsinsinsinABCC，其中1tan3 （其中02），若112t

22、antantanABC为定值，则实数 的值是（）A 1020B55C 10D510【答案】A【解析】由1tan,(0)32，可得1sin10，3cos10，因为2sinsinsinsinABCC，得231sinsinsincossin1010ABCCC，即2131sinsincossinsin1010CCCAB，又由112coscos2costantantansinsinsinABCABCABCsin2cossinsinsinCCABC2sin2cossinsinsinsinCCABCC11312cos1311cos2cossincossinsinsinsin10101010CCCCCkCCC

23、C（定值），即3sincos2 10 cos10sinCCCkC，即3sincos2 10sincos2kCCCC 恒成立，可得32 10212 10k ，解得6k，1020.故选：A5（2022全国高三专题练习）已知函数 sincosf xxax，周期2T，33f，且在6x处取得最大值，则使得不等式a 恒成立的实数 的最小值为（）A310B311C312D313【答案】B【解析】2()sincos1sin()f xxaxax，其中 tana，6x处取得最大值，262k，即226k，kZ，1tantan(2)tan()2626tan 6ka，kZ，222()1sin()1sin(2)1cos3

24、333266faaka，kZ，23cos 61a ，得213sin 61aa ，2222233sincos1661(1)aaa，即42230aa ，解得3a，3a （舍去），由得 tantan()66k，kZ，cos06，6 在第一象限，取3tan(2)36k，kZ，由22|T，即|1 ，266k，kZ，121k，kZ，使|最小，则1k ，即|11min，若不等式|a 恒成立，则3()|11maxa，故选：B6（2022河北保定二模）已知3248tan2tan3cos ，则7tan4 的取值范围为_.【答案】1,13【解析】解：因为222221sincostan1coscos，所以332248

25、tan2tan8tan4tan2tan43cos ，即328tan4tan2tan1.设函数 32842f xxxx，则 22482fxxx，因为284 24 20 ，所以 0fx，所以 f x 为增函数.又112f ，所以 112f xx，所以1tan2，故7tan121tantan1,1441tan1tan3 .故答案为：1,137（2022全国高三专题练习）如图，正三角形 ABC 内有一点 P，2BPC，56APC，连接 AP 并延长交 BC 于 D，则|CDCB _.【答案】13【解析】设正三角形边长为 2，2CD，设CDP，在 CAD 中，23CAD，2sinsin3CDCA，代入数

26、据可得，222sinsin3，在 CDP 中，5cos2cos6CPCBBCP，sinsin 6CDCP代入数据可得，52cos64sin/得，152cossin263，解得 tan3 3 ，代入式得13.所以12|1323CBCD.故答案为：13.8（2022全国高三专题练习）已知 ABC 中，则2222sinsin2sinABC则111tantantanABC最小值是_【答案】132【解析】因为2222sinsin2sinABC，所以22222abc，所以2222sincos2444sinabcbbBCababaA,又sinsin()sincoscossin,BACACAC所以sincos

27、cossincossincos=4sin44tanACACCCCAA,所以 tan3tanCA.因为 ABC 中，tan+tantantan()1 tantanABCABAB ,所以 tantantantantantanCCABAB 所以 tantantantantantanABCABC,所以24tantan3tan1ABA,所以23ta111113tan13tn14taantantantan3tan412tannAAAABCAAA，因为sincos04sinBCA，所以C 为锐角.因为 tan3tan0CA，所以 tan0A，所以1113tan133tan13132=tantantan412tan412tan2AAABCAA.当且仅当13tan3A 时等号成立.故答案为：132