5.4三角函数的图像与性质 讲义（知识点 考点 练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第一册.docx

1、5.4 三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图象函数ysin xycos x图象图象画法五点法五点法关键五点(0,0)，(，0)，(2，0)(0,1)，(，1)，(2，1)正(余)弦曲线正(余)弦函数的图象叫做正(余)弦曲线思考为什么把正弦、余弦曲线向左、右平移2的整数倍个单位长度后图象形状不变？二、函数的周期性1函数的周期性一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个xD都有xTD，且f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的

2、最小正周期思考周期函数的周期是否唯一？三、正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数ysin xycos x图象定义域RR周期2k(kZ且k0)2k(kZ且k0)最小正周期22奇偶性奇函数偶函数思考判断函数的奇偶性除了定义外，还有判断函数奇偶性的方法吗？四、正弦函数、余弦函数的单调性与最值正弦函数余弦函数图象定义域RR值域1,11,1单调性在每一个闭区间(kZ)上都单调递增，在每一个闭区间(kZ)上都单调递减在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都单调递增，在每一个闭区间2k，2k (kZ)上都单调递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(

3、kZ)时，ymin1思考正弦、余弦函数在定义域上是单调函数，正弦函数在第一象限是增函数，这些说法对吗？五、正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在每一个区间(kZ)上都单调递增对称性对称中心(kZ)思考正切函数ytan x的图象与直线xk，kZ有公共点吗？考点一 五点画图【例1】(2020全国高一课时练习)利用正弦曲线，求满足的x的集合【练1】(2020永州市第四中学高一月考)函数，的大致图像是( )ABCD考点二 周期【例2】(2019云南高二期末)函数 的最小正周期为_【练2】(2020永昌县第四中学高一期末)函数的最小正周期是( )ABC2D5

4、考点三 对称性【例3】(2020辽宁大连高一期末)函数的图像的一条对称轴方程为()ABCD【练3】(2019伊美区第二中学高一月考)函数图象的对称轴方程可能是( )ABCD考点四 单调性【例4】(2020湖南益阳高一期末)函数的单调递增区间为( )ABCD【练4】下列函数中,在内是增函数且以为最小正周期的函数是 ( )ABCD考点五 奇偶性【例5】(2019贵州高三月考(文)函数是( )A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数【练5】(2020全国高一课时练习)对于函数，下列命题正确的是( )A周期为的偶函数B周期为的奇函数C周期为的偶函数D周期

5、为的奇函数考点六 定义域【例6】(2020辽宁沈阳高一期中)函数的定义域是( )ABCD【练六】(2020全国高一课时练习)求函数f(x)lgsinx的定义域 【例7】(2019伊美区第二中学高一月考)求函数的最值，及取最值时x的集合【练7】(2020重庆高三其他(文)设函数在上的值域为，则的取值范围为( )ABCD考点八 正切函数性质【例8】(2020山西省长治市第二中学校高一期末(理)下列关于函数的说法正确的是( )A函数的图象关于点成中心对称B函数的定义域为C函数在区间上单调递增D函数在区间上单调递增【练8】(2020陕西渭滨高一期末)函数的一个对称中心是( )ABCD课后练习1. （2

6、021高一下抚顺期末）函数 f(x)=xcos2x 在区间 0,2 上的零点个数为 A.2B.3C.4D.52. （2021高一下西安月考）函数 y=tan(4-x) 的定义域为（ ） A.xxk-4,kZB.xx2k-4,kZC.xxk+4,kZD.xx2k+4,kZ3. （2021高二下房山期末）已知函数 f(x)=cos2x+sinx ，则下列结论中正确的是（ ） A.f(x) 是奇函数B.f(x) 的最大值为2C.f(x) 在 (2,56) 上是增函数D.f(x) 在 (-,0) 上恰有一个零点4. （2020高一上东丽期末）下列结论正确的是（ ） A.sin1cos(-174)C.t

7、an(-52)tan(-47)D.sin(-18)sin(-10)5. （2021高三上福建月考）方程 3cos2x=sinx+1 在区间 0, 上的解为 6. （2021高一下咸阳期末）函数 y=tan(2x+6) 的对称中心为. 7. （2021平谷模拟）已知函数 f(x)=sinx(0) ，在 -4,23 上单调递增，那么常数 的一个取值 8. （2021高三上茂名月考）把函数 y=3sin(2x-6) 的图象向左平移 m(m0) 个单位后，得到的函数图象关于 y 轴对称，则实数 m 的最小值为 9. （2020高一上天河期末）已知函数 f(x)=2cosx(sinx+3cosx) .

8、（1）求函数 f(x) 的单调递增区间和对称中心； （2）当 x(-4,6) 时，解不等式 f(x) 的值域； （3）当 x-, 时，解不等式 f(x)0 . 10. （2020高一上合肥期末）已知函数f（x）sin2x+acos2x（aR，a为常数），且 4 是函数yf（x）的零点 （1）求a的值，并求函数f（x）的最小正周期； （2）若x0， 2 ，求函数f（x）的值域 11. （2020高一上成都期末）已知函数 f(x)=Asin(x+) (其中 A0 ， |1 舍去），所以 sinx=1-520 ，结合正弦函数的图象可知 sinx=1-52 在 (-,0) 上有两个解，所以 f(x)

9、在 (-,0) 上有两个零点，故错误；故答案为：C.【分析】 由奇函数定义判断A；利用正弦函数的性质判断B；利用正弦函数的单调性判断C；根据正弦函数的图象判断D。4.【答案】 D 【考点】正弦函数的单调性，余弦函数的单调性，正切函数的单调性 【解析】对于A选项，因为正弦函数 y=sinx 在 (0,2) 上单调递增， 且 02-11sin(2-1)=cos1 ，A选项错误；对于B选项，因为余弦函数 y=cosx 在 (0,) 上为减函数，cos(-235)=cos235=cos35 ， cos(-174)=cos174=cos4 ，0435 ，则 cos35cos4 ，即 cos(-235)c

10、os(-174) ，B选项错误；对于C选项，当 -90x0 时，正切函数 y=tanx 单调递增，因为 -90-52-470 ，所以， tan(-52)tan(-47) ，C选项错误；对于D选项，因为正弦函数 y=sinx 在 (-2,0) 上单调递增，因为 -2-10-18sin(-10) ，D选项正确.故答案为：D.【分析】利用诱导公式结合正弦函数的单调性、余弦函数的单调性、正切函数的单调性，从而比较出大小，进而选出结论正确的选项。5.【答案】 6 或 56 【考点】正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性 【解析】由题设， 3(1-2sin2x)=sinx+1 ，即 6sin2x+sin

11、x-2=0 ， (3sinx+2)(2sinx-1)=0 ，可得 sinx=-23 或 sinx=12 .在 0, 上，有 sinx0 ，故 sinx=12 ， x=6 或 x=56 .故答案为： 6 或 56【分析】首先整理化简原式由此得到(3sinx+2)(2sinx-1)=0 ， 求解出sinx的值，然后结合正弦函数的单调性即可得出x的值。6.【答案】 (k4-12,0),kZ 【考点】正切函数的奇偶性与对称性 【解析】由正切函数性质，令 2x+6=k2 ，可得 x=k4-12 (kZ) . 函数 y=tan(2x+6) 的对称中心为 (k4-12,0),kZ故答案为： (k4-12,0

12、),kZ【分析】根据正切函数的对称性进行求解即可。7.【答案】 =12 （答案不唯一） 【考点】正弦函数的单调性 【解析】f(x)=2sin(x)(0) 在 -4,23 上单调递增, 则 232,(-4)-2 ,00) 在 -4,23 上单调递增,则 232,(-4)-2 ,进而即可解得00) 个单位可得： y=3sin(2x+2m-6) ， y=3sin(2x+2m-6) 图象关于 y 轴对称， 2m-6=2+k(kZ) ，解得： m=3+k2(kZ) ，又 m0 ， mmin=3 .故答案为： 3 .【分析】三角形的面积公式由函数平移的性质即可得出函数平移后的解析式，再由图像的对称性计算出

13、m=3+k2(kZ) ， 由已知条件即可求出m的最小值。9.【答案】 （1）解: f(x)=2cosx(sinx+3cosx)=2cosxsinx+23cos2x =sin2x+3cos2x+3=2sin(2x+3)+3 ，由 -2+2k2x+32+2k, 解得 -512+kx12+k ，所以 -512+k,12+k,kZ ，由 2x+3=k 可得 x=-6+k2 ，所以对称中心为 (-6+k2,3) （2）解:由 x(-4,6) ，可得 2x+3(-6,23) ， 所以 sin(2x+3)(-12,1 ，所以 f(x) 的值域为 (3-1,2+3 （3）解:当 x-, 时， 2x+3-53,

14、73 ， 由 f(x)0 可得： 2sin(2x+3)+30 ，则 sin(2x+3)-32 ，根据正弦函数的图像与性质可得： 2x+3-53,-23-3,4353,73 ,解得 x 的取值范围为 -,-2-3,223, 【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，正弦函数的图象，正弦函数的单调性 【解析】 (1)由两角和的正弦公式以及二倍角的正、余公式整理化简函数的解析式，再由整体思想以及正弦函数的单调性即可求出x的取值范围，由此得出函数的单调区间，再由正弦函数图象的性质即可求出对称中心。 (2)首先由角的取值范围即可求出2x+3(-6,23) ， 然后由正弦函数的性质

15、即可求出函数的值域。 (3)根据题意由角的取值范围即可得出2x+3-53,73 ， 然后由正弦函数的单调性和图象即可得出x的取值范围。 10.【答案】 （1）解：由于 4 是函数yf（x）的零点，即x =4 是方程f（x）0的解， 从而f（ 4 ）sin 2+ acos2 4= 0，则1 +12 a0，解得a2所以f（x）sin2x2cos2xsin2xcos2x1，则f（x） =2 sin（2x -4 ）1，所以函数f（x）的最小正周期为（2）解：由x0， 2 ，得2x -4 -4 ， 34 ， 则sin（2x -4 ） -22 ，1，则1 2 sin（2x -4 ） 2 ，2 2 sin（

16、2x -4 ）1 2- 1，值域为2， 2- 1【考点】正弦函数的单调性，正弦函数的周期性，正弦函数的零点与最值 【解析】 (1)根据零点与方程根的情况代入数值计算出a的值，再由二倍角公式以及两角和的正弦公式即可求出函数的解析式，结合正弦函数的周期公式即可求出函数的周期。 (2)首先由题中角的取值范围有整体思想即可得出 2x -4 的取值范围，结合正弦函数的性质即可求出函数的值域。11.【答案】 （1）解：根据函数 f(x)=Asin(x+) ( xR ， 0 ， |2 )的部分图象， 可得 A=1 ， 142=712-3 ， =2 .再根据五点法作图， 23+= ， =3 ， f(x)=si

17、n(2x+3) .（2）解：若将函数 y=f(x) 的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍， 得到函数 g(x)=sin(23x+3) 的图象，对于函数 y=g(x) ，令 2k-223x+32k+2 ，求得 3k-54x3k+4 ，可得 g(x) 的增区间为 3k-54,3k+4 ， kZ .结合 x0, ，可得增区间为 0,4 【考点】正弦函数的图象，正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图象变换，由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】 (1)首先由图象即可得出A与周期的值，再由周期公式代入数值计算出=3由此即可得出函数的解析式。 (2)根据题意由函数平

18、移的性质即可得到平移之后的函数的解析式g(x)，再由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数g(x)的单调区间。12.【答案】 （1）解： a=(2sinx,cos2x) ， b=(3cosx,2) ， 由 f(x)=ab=23sinxcosx+2cos2x =3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+6)+1 ，f(x) 的最小正周期 T=22= （2）解：由 x0,2 可得： 2x+66,76, 当 2x+6=76 时，函数 f(x) 取得最小值为 2sin76+1=0, 当 2x+6=2 时，函数 f(x) 取得最大值为 2sin2+1=3, 故得函数 f(x) 在区间 0,2 上的最大值为3，最小值为0【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，两角和与差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的周期性 【解析】（1）根据向量的数量积运算与两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的值域求解即可.