6.2 平行四边形的判定【九大题型】（举一反三）（北师大版）（教师版）.docx

1、专题6.2 平行四边形的判定【九大题型】【北师大版】【题型1 判断能否构成平行四边形】1【题型2 添加条件构成平行四边形】4【题型3 数图形中平行四边形的个数】7【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】10【题型5 证明四边形是平行四边形】14【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】18【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】22【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】28【题型9 平行四边形的应用】36【知识点1 平行四边形的判定】(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4

2、)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【题型1 判断能否构成平行四边形】【例1】（2021秋湖南永州九年级校考阶段练习）如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向右拉动框架，给出如下的判断：四边形ABCD为平行四边形；对角线BD的长度不变；四边形ABCD的面积不变；四边形ABCD的周长不变，其中所有正确的结论是（）ABCD【答案】B【分析】正确，根据平行四边形的判定方法即可判断；错误，观察图象即可判断；错误，面积是变小了；正确，根据平行四边形性质即可判断【详解】解：两组对边的长度分别相等，四边形AB

3、CD是平行四边形，故正确；向右扭动框架，BD的长度变大，故错误；平行四边形ABCD的底不变，高变小了，平行四边形ABCD的面积变小，故错误；平行四边形ABCD的四条边不变，四边形ABCD的周长不变，故正确故所有正确的结论是故选：B【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题【变式1-1】（2022春北京西城八年级校考期中）下列ABCD的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A1234B1423C1221D3232【答案】D【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以A和C是对角，B和D是对角，对角的份数应相等，据此即可

4、求解【详解】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法【变式1-2】（2021春河南新乡八年级新乡市第十中学校考期中）在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O给出下列四组条件：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO；ABCD，AD=BC其中一定这个四边形是平行四边形的条件有（）ABCD【答案】A【分析】根据平行四边形的5个判断定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

5、；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作出判断【详解】解：根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知能判断这个四边形是平行四边形；根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知不能判断这个四边形是平行四边形（例可能是等腰梯形）；故给

6、出下列四组条件中，能判断这个四边形是平行四边形故选：A【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定定理，解题关键是准确无误的掌握平行四边形的判定定理，难度一般【变式1-3】（2022春浙江舟山八年级统考期末）如图，已知ABCD的一组邻边AB，BC，用尺规作图作ABCD，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可【详解】解：图，由作图可知AB=CD，AD=BC，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图作法与理论依据正确；图，由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长

7、到点D，使OD=BO，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；图，作同位角相等，得出ABCD，再截取CD=AB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；图，作同位角相等，得出ABCD，再截取AD=BC，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；综上所述，作法与理论依据正确的是图、图、图，共3个故选：C【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的意义是解题的关键【题型2 添加条件构成平行四边形】【例2】（2022春山东枣庄八年级统考期末）如图，平

8、行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，如果添加一个条件使四边形BEDF是平行四边形，则添加的条件不能是（）ADE=BFBAE=FCCAF=CED1=2【答案】A【分析】根据各选项给出的条件，逐一验证即可【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，DAEBCF，DEBF，不能得出ADECBF，不能得出四边形DEBF是平行四边形，故A错误；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCF，AECF，ADECBF（SAS），AEDCFB，DEBF，DEFBFE；DEBF，四边形DEBF是平行四边形，故B正确；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCF；AFCE，A

9、ECF，ADECBF（SAS），AEDCFB，DEBF，DEFBFE，DEBF，四边形DEBF是平行四边形，故C正确；四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DAEBCF，ADECBF，ADECBF（ASA），DECF，AEDBFC，DEFBFE，DECF，四边形DEBF是平行四边形，故D正确；故选：A【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系【变式2-1】（2022春河南南阳八年级统考期末）如图，在ABC中，点D，E，F分别为边BC，AB

10、，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知FGAB，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（）AAD=EGBDF=DGCDEACDDG=AE【答案】D【分析】通过分析线段AG，DE互相平分，得四边形ADGE是平行四边形，结合选项，利用平行四边形的判定定理即可求解【详解】若线段AG，DE互相平分，则四边形ADGE是平行四边形，添加DG=AE，又FGAB，四边形ADGE是平行四边形，线段AG，DE互相平分，故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键【变式2-2】（2022春黑龙江双鸭山八年级统考期末）若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OBOD，

11、AC24cm，则当OA_cm时，四边形ABCD是平行四边形【答案】12【分析】由OA=12cm求出OC，得出OA=OC，再由平行四边形的判定定理即可得出结论【详解】解：当OA=12cm时，OC=24-12=12（cm），OC=OA，OB=OD，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：12【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键【变式2-3】（2022春河南新乡八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，DEAC，BFAC，垂足分别为点E，F(1)请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形DEBF为平行四边形，你添加的条件是_(2)添加了条件后，请证明

12、四边形DEBF为平行四边形【答案】(1)DE=BF（答案不唯一）(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的判定可得出答案；（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论（1）解：由题意得DEBF，由平行四边形的判定可添加的条件是DE=BF（答案不唯一），故答案为：DE=BF（答案不唯一）；（2）证明：DEAC，BFAC，DEBF，DE=BF，四边形DEBF为平行四边形【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键【题型3 数图形中平行四边形的个数】【例3】（2021春内蒙古包头八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，EFBC，GHAB，EF与G

13、H相交于点O，图中共有个平行四边形()A4个B5个C8个D9个【答案】D【分析】根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，ABCD,ADBC，EFBC，GHAB，EFAD，GHCD，AEOGDF，BEOHCF，AGOEBH，DGOFCH，四边形BCFE，四边形ADFE，四边形ABHG，四边形CDGH，四边形AEOG，四边形BEOH，四边形DFOG，四边形CFOH均为平行四边形，图中共有个平行四边形9个故选：D【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键【变式3-1】（2021春重庆八年级期末）下列图形都是由同样大小

14、的平行四边形按一定的规律组成，其中第个图形中一共有10个平行四边形，第个图形中一共有14个平行四边形，第个图形中一共有19个平行四边形，按此规律排列下去，则第个图形中平行四边形的个数为（ ）A39B40C41D42【答案】B【分析】观察图形的变化可得10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，即可得结果【详解】解：观察图形的变化可知： 第个图形中一共有10个平行四边形， 第个图形中一共有14个平行四边形， 第个图形中一共有19个平行四边形， 第个图形中一共有25个平行四边形， 第个图形中一共有32个平行四边形， 则第个图形中平行四边形的个数为40 故选：B【

15、点睛】本题考查的是平行四边形的认识，规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题【变式3-2】（2021春浙江杭州八年级期末）如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且AC/DG,AD/BE/CF,AF/BG图中平行四边形有（）个A4B5C3D6【答案】B【分析】根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得【详解】解：如图，图中的平行四边形有：ABED，ABGF，BCFE，ACFD，PBQF，故选B【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形

16、（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【变式3-3】（2021春内蒙古呼伦贝尔八年级统考期末）如图，由25个点构成的55的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位定义：由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行四边形的个数为（）A6个B7个C9个D11个【答案】D【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及特殊四边形矩形与正方形即可得出答案【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形故选：D【点睛】本题考查了平行四边形的判定

17、，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键【题型4 求与已知三点组成平行四边形的点的个数】【例4】（2020春四川广元八年级统考期末）已知A，B，C三点的坐标分别是(3，3)，(8，3)，(4，6)，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则D点的坐标不可能是（）A(-1，6)B(9，6)C(7，0)D(0，-6)【答案】D【分析】根据平行四边形的性质，分别从以BC为对角线、以AC为对角线、以AB为对角线去分析求解即可求得答案【详解】解：当以BC为对角线时：CD=AB=5，此时D（9，6）；当以AC为对角线时，CD=AB=5，此时D（-1，6）；当以AB为对角线时，AD=BC4，此时

18、点D（7，0）D点的坐标不可能是：（0，-6）故选：D【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等解此题的关键是分类讨论数学思想的运用【变式4-1】（2019秋江苏南通八年级校考期末）以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作( )A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】连接不在同一直线上的三点，得到一个三角形，分别以三角形的三边为对角线，用作图的方法，可得出选项【详解】如图，以点A，B，C能做三个平行四边形：分别是ABCD，ABFC，AEBC.故选B.【变式4-2】（2022春湖南邵阳八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系内，以A（3，5），B（1，1），C（4，

19、1）三点为顶点画平行四边形(1)可以画多少个平行四边形？(2)写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标【答案】(1)可以画3个平行四边形；(2)（0，5）或（6，5）或（2，3）【分析】（1）根据平行四边形的性质，将平行四边形画出来即可；（2）根据所作平行四边形可直接得出点D的坐标（1）解：可以画3个平行四边形，如图所示：（2）由图可得：平行四边形第四个顶点D的坐标为（0，5）或（6，5）或（2，3）【点睛】本题考查了坐标与图形的性质、平行四边形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键【变式4-3】（2020春山东济南八年级统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(3，

20、2)（1）如图1，在y轴上是否存在点P，使PAPB最小，若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）如图2，点C坐标为(4，1)，点D由原点O沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，求点D运动几秒时，四边形ABCD是平行四边形；（3）点P在x轴上，点Q在y轴上，且以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P以及对应的点Q的坐标【答案】(1) 存在点P的坐标，且P(0, 54)；(2)D运动2秒后四边形ABCD是平行四边形；(3) P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)【分析】(1)过A点作关于y轴的对称点M，连接BM

21、后与y轴的交点即为所求的点P，求出BM解析式，再令y=0进而求出P点坐标；(2)只能是AC为一条对角线，BD为另一对角线，设D(m,0)，利用BD的中点与AC的中点为同一个点即可求解；(3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，再分成AB为对角线；AP为对角线；AQ为对角线共三种情况分别求解即可【详解】解：(1)过A点作关于y轴的对称点M(-1，1)，连接BM后与y轴的交点即为所求的点P，如下图所示：设直线BM的解析式为y=kx+b，代入M(-1,1)，B(3,2)，1=-k+b2=3k+b，解之得k=14b=54，直线BM解析式为y=14x+54，令x=0，解得y=54，存在点P的坐标，且

22、P(0, 54)，故答案为：存在点P的坐标，使得PA+PB最小，此时P点坐标为(0, 54)；(2)当四边形ABCD是平行四边形，只能是AC为一条对角线，另一条对角线为BD，设D(m,0)，由中点坐标公式可知：线段AC的中点坐标为(1+42,1+12)，即(52,1)，线段BD的中点坐标为(m+32,0+22)，即(m+32,1)，又线段AC与BD中点为同一个点，m+32=52，解得m=2，故四边形ABCD是平行四边形，D点的坐标为(2,0)，又速度为1个单位每秒，经过2秒后，四边形ABCD是平行四边形，故答案为：2秒；(3)分类讨论：设P(m,0)，Q(0,n)，A(1,1)，B(3,2)，

23、情况：AB为对角线时，另一对角线为PQ，线段AB的中点坐标为(2,32)，线段PQ的中点坐标为(m2,n2)，又线段AB和线段PQ的中点为同一个点，2=m232=n2，解得m=4n=3，故此时P(4,0)，Q(0,3)；情况：AQ为对角线时，另一对角线为BP，线段AQ的中点坐标为(12,1+n2)，线段BP的中点坐标为(3+m2,0+22)，又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，12=3+m21+n2=0+22，解得m=-2n=1，故此时P(-2,0)，Q(0,1)；情况：AP为对角线时，另一对角线为BQ，线段AP的中点坐标为(1+m2,1+02)，线段BQ的中点坐标为(3+02,n+22)，

24、又线段AQ和线段BP的中点为同一个点，1+m2=3+021+02=n+22，解得m=2n=-1，故此时P(2,0)，Q(0,-1)；综上所述，P点坐标为(4,0)或(-2,0)或(2,0)，对应的Q点坐标为(0,3)或(0,1)或(0,-1)【点睛】本题考查了平行四边形的性质及判定、平行四边形的存在性问题等，熟练掌握判定法则及平行四边形的性质是解决本题的关键【题型5 证明四边形是平行四边形】【例5】（2023秋山东泰安八年级校考期末）如图，在ABC中，BCAC，点E，F分别是边AB，AC的中点，连接EF并延长，交ABC外角ACD的平分线于点G求证：四边形AECG是平行四边形【答案】见解析【分析

25、】先由BC=AC可以知道角相等，再利用角平分线的性质进行等角转化得到平行，然后根据中点得到边相等，进而得到全等三角形，最后根据AEFCFG得到相等，最后得出结论【详解】解：BC=ACBAC=ABCCG是外角ACD的角平分线ACG=DCG=12ACDACD=BAC+ABC=2BACACG=BACAECG点F是AC的中点AF=FC在AEF和CGF中ACG=BACAF=FCAFE=CFGAEFCFGASAAE=CG四边形AECG是平行四边形【点睛】本题考查了三角形的判定和性质，平行四边形的判定，利用全等三角形的判定和性质得到边相等是解题的关键【变式5-1】（2022春湖北恩施八年级统考期末）如图，B

26、E是ABC的中线，延长BE到D，使EDBE，连接AD，CD，补全图形判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论【答案】四边形ABCD是平行四边形，理由见解析【分析】按题意画出图形，证明AC与BD互相平分即可得出结论【详解】解：补全图形如下，证明：BE是ABC的中线，E是AC的中点，又DEBE，即E是BD的中点，AC与BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形【点睛】本题考查了三角形的中线，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键【变式5-2】（2022春宁夏中卫八年级校考期末）如图，ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B，C重合)，ADE是以AD为边的等边三角形

27、，过点E作BC的平行线，分别交射线AB，AC于点F，G，连接BE(1)求证：AEBADC(2)当点D在线段BC上时探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并写出证明过程【答案】(1)见解析(2)四边形BCGE是平行四边形，理由见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60，然后求出BAE=CAD，再利用边角边证明AEB和ADC全等；（2）四边形BCGE是平行四边形，因为AEBADC，所以可得ABE=C=60，进而证明ABE=BAC，则可得到EB GC，又EG BC，所以四边形BCGE是平行四边形（1）证明：ABC和ADE都是等边三角形，AE=AD，AB=

28、AC，EAD=BAC=60又EAB=EAD-BAD，DAC=BAC-BAD，EAB=DAC，在AEB和ADC中，AB=ACEAB=DACAE=AD，AEBADCSAS；（2）解：四边形BCGE是平行四边形，理由如下：由1得AEBADC，ABE=C=60又BAC=C=60，ABE=BAC，EB GC，又EG BC，四边形BCGE是平行四边形【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键【变式5-3】（2022春江西九江八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，且DE=CF，连接BE和

29、AF的交点为M，CE和DF的交点为N，连接MN，EF(1)求证：四边形ABFE为平行四边形；(2)若AD=6cm，求MN的长【答案】(1)见解析(2)3cm【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ABFE为平行四边形；（2）由平行四边形的性质可得DN=FN，AM=MF，由三角形中位线定理可求解（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AD=BCDE=CF，AE=BF四边形ABFE是平行四边形；（2）解：DE=CF，ADBC，四边形DEFC是平行四边形，DN=FN，四边形ABFE是平行四边形，AM=MF，MNAD，MN=12AD=3cm【点睛】本题考查了平行四边形

30、的判定和性质，三角形中位线定理，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键【题型6 全等三角形拼平行四边形问题】【例6】（2022春福建厦门八年级统考期中）如图，有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长分别为1和2，另一种纸片的两条直角边长都为2图1、图2、图3是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1(1)请用三种方法将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形（非矩形），每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，三种方法所拼得的平行四边形（非矩形）的周长互不相等，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图2、图3的方

31、格纸上要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹(2)请证明你在图1所拼得的四边形是平行四边形（非矩形）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）图1可以先用边长为1、2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2的直角三角形；图2可以先用边长都为2的直角三角形拼出矩形，再分别在边长为2的两侧拼上边长都为2、1的直角三角形；图3以四个直角三角形的直角边拼出对角线为3的平行四边形即可；（2）根据平行四边形的判定方法证明即可（1）解：如图所示：（2）证明：如图1中，ABCD3，ADBC22+22=22，四边形ABCD是平行四边

32、形（同理，图2和图3均可根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行证明）【点睛】本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用直角三角形和平行四边形的性质进行拼接【变式6-1】（2021全国九年级专题练习）如图，有两块全等的含30角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（）A1种B2种C3种D4种【答案】C【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形：故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键【变式6-2】（2021河南周口三模）把三

33、角形形状的纸片放在方框纸上，使其每一个顶点都在格点上，如图1所示（方格边长均为）对这个三角形进剪切、拼接后，可以得到一个平行四边形，如图2中阴影部分所示剪切、拼接的方案如下：如图2，取BC的中点M，连接AM剪下AMC后，拼接到BEA位置，可得到平行四边形AEBM我们约定：剪切、拼接时，纸片的每一部分都要被用到，而且不得用所给纸片以外的纸片(1)请你采用不同于图2的剪切、拼接方案，也得到一个平行四边形，在图3中用阴影表示出你得到的平行四边形，并补充已知和求证，写出证明过程(2)对这个三角形进行剪切、拼接后，也可以得到一梯形试在图4中，用阴影表示出你得到的梯形（不必说明剪切、拼接方案，但必须保留作

34、图痕迹）【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）沿中位线裁剪即为平行四边形BC是拼成四边形的一条边，即可，再根据拼接方法，写出已知、求证，利用平行线的判定定理证明即可；（2）沿一腰的中点D向底边剪开，得出FD=DG，进而得出梯形（1）解：所画图形如下所示，已知：沿ABC的中位线NE裁剪下ANE，将ANE按如图所示拼接在一起，即点A与点C重合，点N与点M重合，AE与CE重合，得到四边形BCMN，求证：四边形BCMN是平行四边形证明：由题意，得ANECME，A=ACM，AE=CM，ANCM，即BNCM，四边形BCMN是平行四边形（2）解：所画图形如下所示，【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质

35、以及平行四边形性质与判定、梯形的性质，正确利用全等三角形的性质是解题关键【变式6-3】（2020秋河北石家庄九年级校考期中）如图所示，ABC的顶点在88的网格中的格点上(1)画出ABC绕点A逆时针旋转90得到的AB1C1；(2)在图中确定格点D，并画出一个以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由题意可知旋转中心、旋转角、旋转方向，根据旋转的画图方法作图即可；（2）如图有三种情况，构造平行四边形即可.【详解】解：（1）如图AB1C1即为所求（2）如图，D、D、D均为所求.【点睛】本题考查了图形的旋转及中心对称图形，熟练掌握作旋转图形的

36、方法及中心对称图形的定义是解题的关键.【题型7 利用平行四边形的判定和性质求解】【例7】（2022秋山东淄博八年级校考期末）如图，在ABCD中，过对角线BD上一点P作EFBC，GHAB，且CG=3BG，SBEPG=1.5，则SAEPH=_【答案】4.5#92【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案【详解】解：EFBC，GHAB，四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，SPEB=SBGP，同理可得SPHD=SDFP，SABD=SCDB

37、，SABD-SPEB-SPHD=SCDB-SBGP-SDFP，即S四边形AEPH=S四边形PFCGCG=3BG，SBEPG=1.5，S四边形AEPH=S四边形PFCG=31.5=4.5；故答案为：4.5【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即两组对边分别平行四边形为平行四边形，两组对边分别相等四边形为平行四边形，一组对边平行且相等四边形为平行四边形，两组对角分别相等四边形为平行四边形，对角线互相平分四边形为平行四边形【变式7-1】（2021秋湖北十堰八年级统考期末）如图，在RtABC中，ACB90，分别以AB，AC为腰向外作等腰直角三角形ABD和等

38、腰直角三角形ACE，连接DE，CA的延长线交DE于点F，则与线段AF相等的是（）A12 BCB12 ABC12 ACD23 AB【答案】A【分析】如图，作DHCF交CF的延长线于H，连接EH，证明BCA AHDAAS，四边形ADHE是平行四边形，即可解决问题【详解】解：如图，作DHCF交CF的延长线于H，连接EHACB=BAD=DHA=90，BAC+DAH=90，DAH+ADH=90，BAC=ADH，AB=AD，BCA AHDAAS，AC=DH，BC=AH，DHA=EAH=90，AC=AE，DHAE，AH=AE，四边形ADHE是平行四边形，AF=FH，AF=12AH=12BC，故选A【点睛】本

39、题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型【变式7-2】（2022春广东深圳八年级校考期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，BCDADF，FAAC，垂足为A，AFDF5，AD6，则AC的长为_【答案】9.6【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，BA=BC，根据等腰三角形的性质得到DAC=DCA，BAC=BCA，证明ABDF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD=AF=5，AB=DF=5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案【详解】解：BD垂直

40、平分AC，DADC，BABC，DACDCA，BACBCA，DACBACDCABCA，即DABBCD，BCDADF，DABADF，ABDF，FAAC，DBAC，AFBD，四边形AFDB为平行四边形，BDAF5，ABDF5，设BEx，则DE5x，在RtAEB中，AB2-BE2=AE2，在RtAED中，AD2-DE2=AE2，AB2-BE2=AD2-DE2，即52-x2=62-5-x2，解得：x75，AE52-752=245，AC2AE9.6，故AC的长为9.6，故答案为：9.6【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键【

41、变式7-3】（2022秋江苏八年级期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究图是一块边长为12cm的等边三角形学具，P是边AC上一个动点，由点A 向点C 运动，速度为1cm/s，Q是边CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动，连接PQ，交AB于点D，设点P运动的时间为t(s)(1)【问题】填空：CP+CQ=cm；(2)当DQB=30时，求t的值；(3)【探究】如图，过点P作PEAB，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段DE的长度是否发生变化？若不变，请求出DE的长度；若变化，请说明理由【答案】(1)24(2)4(3)不变，是定值6【分析】（1）

42、由线段和差关系可求解；（2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值；（3）过点Q作QFAB交AB延长线于点F连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF；【详解】（1）解：ABC 是边长为12的等边三角形，ACB=60，AB=BC=AC=12 ，设AP=tcm ，则PC=(12-t)cm，QB=tcm ，QC=QB+BC=(12+t)cm ，CP+CQ=12-t+12+t=24cm（2）解：ACB=60，BQD=30 QPC=90 QC=2PC 12+t=2(12-t) ，解得：t=4（3）解：线段DE的长度不改变，如图：过点Q作QF

43、AB交AB延长线于点F连接EQ，PFPEAB，QFAB QFPE 点P、Q 速度相同，AP=BQ ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60 AP=BQ，AEP=QFB，A=QBF AEPBFQ(AAS) AE=BF BE+AE=BF+BE AB=EF=12 PEAB，QFAB QFEP，QF=EP ，四边形PEQF是平行四边形，DE=DF=12EF=6【点睛】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键【题型8 利用平行四边形的判定和性质证明】【例8】（2022春吉林长春八年级统考期末）如图，以ABCD的边AB

44、、CD为边，作等边ABE和等边CDF，连接DE，BF求证：四边形BFDE是平行四边形【答案】证明见解析【分析】根据平行四边形的性质，得出AD=CB，AB=CD，DAB=BCD，再根据等边三角形的性质，得出AB=BE=AE=CD=CF=DF，BAE=DCF=60，再根据角之间的数量关系，得出DAE=BCF，再根据SAS，得出ADECBF，再根据全等三角形的性质，得出DE=BF，再根据平行四边形的判定定理，即可得出结论【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形，AD=CB，AB=CD，DAB=BCD，ABE和CDF是等边三角形，AB=BE=AE=CD=CF=DF，BAE=DCF=60，DAB-BAE

45、=BCD-DCF，DAE=BCF，在ADE和CBF中，AD=CBDAE=BCFAE=CF，ADECBFSAS，DE=BF，BE=DF，四边形BFDE是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理【变式8-1】（2022春四川成都八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD=2AB，点E为线段OC的中点(1)求证：ABO=2ODE；(2)若F，G分别是OB，AD的中点判断EFG的形状并证明你的结论；当EFEG，且AB=25时，求平行四边形ABCD的面积【答案】(1)见解析，(

46、2)EFG的形状为等腰三角形，理由见解析；24【分析】（1）由平行四边形的性质易证CDO=ABO，再证CDO是等腰三角形，由等腰三角形三线合一性质得出ODE=CDE=12CDO，即可得出结论；（2）易证DECO，由G为AD中点，得出EG=12AD，再由E、F分别是OC、OB的中点，得出EF=12BC，由平行四边形的性质得AD=BC，即可得出EG=EF，则EFG是等腰三角形；先证四边形BEFG是平行四边形，得出EFG=GDE，DGE=FEG，再证EFG、DEG、AED都是等腰直角三角形，设DG=GE=x，则DE=AE=2x，CE=13AE=2x3，由勾股定理求出x=3，得出DE=32，AC=4C

47、E=42，最后由S平行四边形ABCD=212ACDE，即可得出答案【详解】（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD, AB=CD，BD=2DO=2BO，CDO=ABO，BD=2AB，AB=DO=CD，CDO是等腰三角形，点E为线段OC的中点，ODE=CDE=12CDO=12ABO，ABO=2ODE；（2）EFG的形状为等腰三角形，理由如下：CDO是等腰三角形，E是CO中点，DECO，DEA=90，G为AD中点，EG=12AD，E、F分别是OC、OB的中点，EF=12BC，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，EG=EF，EFG是等腰三角形；解：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，AB=

48、CD=25，AD=BC，ADBC，E、F分别是OC、OB的中点，CE=13AE，EF是OBC的中位线，EFBC，EF=12BC，EFBCDG，G是AD的中点，DG=12AD=12BC，EF=DG，四边形BEFG是平行四边形，EFG=GDE，EFDG，DGE=FEG，EFEG，FEG=DGE=90，由得：EG=EF，EFG是等腰直角三角形，EFG=GDE=45，DEG是等腰直角三角形，DG=GE，DEA=90，AED是等腰直角三角形，DE=AE，设DG=GE=x，则DE=AE=2x，CE=13AE=2x3，在RtDEC中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2，即(25)2=(2x)2+(2x3)

49、2，解得：x=3或x=-3(不合题意，舍去)，DE=32，AC=4CE=42x3=4233=42，S平行四边形ABCD=212ACDE=4232=24【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理、平行四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键【变式8-2】（2022春四川成都八年级统考期末）已知，在ABC中，点M是BC的中点，点D是线段AM上一点（不与点A重合）过点D作AB的平行线，过点C作AM的平行线，两线交于点E，连结AE(1)如图1，当点D与M

50、重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；(2)如图2，当点D不与M重合时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)图3，延长BD交AC于点H，若BHAC，且BH=AM，求CAM的度数【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析(3)30【分析】（1）利用平行线的性质可得同位角相等，再利用ASA证明ABDEDC，得AB=ED，从而证明结论；（2）过点M作MGDE交EC于点G，则四边形DMGE为平行四边形，得ED=GM且ED/GM，由（1）可得AB=GM且ABGM，从而得出结论；（3）取线段HC的中点I，连接MI，由三角形中位线定理得MIBH，MI=12BH，则MI=1

51、2AM，MIAC，即可解决问题（1）解：证明：DEAB，EDC=ABM，CEAM，ECD=ADB，AM是ABC的中线，且D与M重合，BD=DC，ABDEDC(ASA)，AB=ED，ABED，四边形ABDE是平行四边形；（2）成立，理由如下：过点M作MGDE交EC于点G，CEAM，四边形DMGE为平行四边形，ED=GM且EDGM，由（1）可得AB=GM且ABGM，AB=ED且ABED，四边形ABDE为平行四边形；（3）取线段HC的中点I，连接MI，MI是BHC的中位线，MIBH，MI=12BH，BHAC且BH=AM，MI=12AM，MIAC，CAM=30【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行

52、四边形的判定与性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，遇中点取中点构造中位线是解决问题（3）的关键【变式8-3】（2022春江西吉安八年级统考期末）如图，ABC中，AB=AC=2，B=30，将ABC绕顶点A逆时针旋转得到ADE设旋转角度为度0120，AD交BC于点F，DE分别交BC、AC于点G、H试探究以下问题：(1)当=_时，ABF为直角三角形；(2)当ADH且为等腰三角形时，求BF的值；(3)连接BD，是否存在角，使得四边形ABDH为平行四边形?如果存在，直接写出的大小：如果不存在，请说明理由【答案】(1)60或90(2)BF的值为23-2或433(3)不存在；理由见解析【分

53、析】（1）分两种情况：当AFB90时；由角的互余关系即可求出结果；当BAF90时，即90；（2）分两种情况：当ADDH时，作FNAB于N，设FNx，则BF2x，BN=3x，ANFNx，根据题意得出方程，解方程即可得出结果；当AHDH时，DAHD30，由勾股定理即可求出BF；（3）若四边形ABDH为平行四边形，则ABDH，得出D30，由等腰三角形的性质得出ADBDAH，得出BD与AH不平行，即可得出结论（1）解：分两种情况：当AFB90时，90B60；当BAF90时，即90；综上分析可知，当60或90时，ABF为直角三角形故答案为：60或90（2）解：分两种情况：当ADDH时，DACAHD12（

54、18030）75，AB=AC=2，B=30，B=C=30，BAC=180-30-30=120，BADBAC-DAC=45，FNA=90，NFA=90-45=45，BAD=NFA，AN=NF，作FNAB于N，如图所示：设FNx，则BF2x，BN=BF2-FN2=2x2-x2=3x，ANFNx，则3x+x=2，解得：x=3-1，BF=2x=23-2；当AHDH时，DAHD30，BAF1203090，设AF=x，则BF=2x，根据勾股定理得：BF2=AB2+AF2，即2x2=22+x2，解得：x=233，BF=433；综上分析可知，当ADH为等腰三角形时，BF的值为23-2或433（3）解：不存在，

55、理由如下：若四边形ABDH为平行四边形，则ABDH，D30，ABAD，ADBABD75，ABAC2，B30，BAC120，DAH90，ADBDAH，BD与AH不平行，四边形ABDH不是平行四边形；不存在角，使得四边形ABDH为平行四边形【点睛】本题是几何变换综合题目，考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，本题综合性强，难度较大，需要进行分类讨论才能得出结果【题型9 平行四边形的应用】【例9】（2022春八年级课时练习）如图，一块草地的中间有一条弯路，ACBD，CEDF请给出一种方案，把道路改直，且草地的种植面积保持不变【答案】方案见解

56、析【分析】延长EC和FD，即可把道路改直根据平行四边形CGHD和平行四边形CABD的面积相等，所以道路所占面积不变，所以草地的种植面积不变【详解】解：延长EC和FD，即得所求新路，如图：由图知CDAB，ABCD，且ACBD，四边形CABD为平行四边形，CD=AB，同理：CDGH，且GCHD，四边形CGHD为平行四边形，CD=GH，GH=AB，四边形CABD和四边形CGHD的高相等，平行四边形CABD和平行四边形CGHD的面积相等，道路所占面积不变，草地的种植面积不变【点睛】本题考查了平行线之间的距离，平行四边形的判定及性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定及性质【变式9-1】（2022全国

57、九年级专题练习）村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？【答案】见解析【分析】设l1和l2为河岸，作BDl2，取BB等于河宽，连接AB交l1于C1，作C1C2l2于C2，则AC1C2B为最短路线，即A与B之间的距离最短【详解】解：如下图所示，作BDl2，取BB等于河宽，连接AB交l1于C1，作C1C2l2于C2，连接C2B，BBC1C2,BB=C1C2,四边形BBC2C1是平行四边形，BC1=BC2，A与B之间的距离等于BC2+C1C2+AC1=BB+BC1+C1A,，其中BB等于河宽，当B、C1、A在同一条直线上时

58、，BC1+C1A=BA最小，AC1C2B为最短路线，即A与B之间的距离最短，故C1C2即为桥所在的位置【点睛】本题考查最短路径和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握最小路径的识别方法【变式9-2】（2021春八年级课时练习）如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想?若能，画出图形，说明理由【答案】见解析【分析】连接AC、BD，分别过A、B、C、D作BD、AC的两条平行线，相交于E、F、G、H，平行四边形EFGH即为所求【详解】解：能，如图所示，平行四边形EFG

59、H即为所求：理由如下：EHBD，FGBD，EHFG，EFAC，HGAC，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，四边形EBDH和BFGD都是平行四边形，SABD=12S四边形EBDH，SCBD=12S四边形BFGD，S四边形EFGH=2S四边形ABCD【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形【变式9-3】（2021江苏无锡九年级专题练习）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且把四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在ABCD中的四条边上，请你设计两种方案：方案（一）：如图所示，两个出入口

60、E,F以确定，请在图上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案（二）：如图所示，一个出入口M已确定，请在图上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法【答案】方案（一）：见解析；方案（二）：见解析【分析】（1）画法1：过F作FHAB交AD于H，则得到平行四边形ABFH和平行四边形CDHF，则EFH的面积等于平行四边形ABFH面积的一半，在CD上取一点G，得到GFH的面积等于平行四边形CDHF面积的一半，四边形EFGH即为所求，同理，画法2、画法3也可得到满足条件的四边形；（2）过点M作MPAB交AD于P，在AB上取一点Q，连接PQ，过M作MNPQ交CD于N，连接QM、PN，则QPM和NPM的

61、面积分别为平行四边形ABMP、CDPM的面积的一半，即梯形PQMN即为所求【详解】方案（1）画法1：过F作FHAB交 AD于点H，在DC上任取一点G，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；画法2：过F作FHAB交AD于点H，过E作EGAD交DC于点G，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形； 画法3：在AD上取一点H，使DH=CF，在CD上任取一点G，连接EF、FG、GH、 HE，则四边形EFGH就是所要画的四边形；方案（2）画法：过M点作MPAB交AD于点P，在AB上取一点Q，连接PQ，过M作MNPQ交DC于点N， 连接QM、PN，则梯形PQMN就是所要画的梯形【点睛】本题考查基本作图-应用与设计作图、平行四边形判定与性质、平行线之间的距离，利用平行线间的距离相等解决问题是解答的关键