8.3 三元一次方程组【七大题型】（人教版）（学生版）.docx

1、专题8.3 三元一次方程组【七大题型】【人教版】【题型1 三元一次方程（组）的解】1【题型2 用消元法解三元一次方程组】2【题型3 用换元法解三元一次方程组】2【题型4 构建三元一次方程组解题】3【题型5 运用整体思想求值】3【题型6 三元一次方程组中的数字问题】4【题型7 三元一次方程组的应用】5【知识点1 三元一次方程组及解法】1三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断2解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题3当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组【题

2、型1 三元一次方程（组）的解】【例1】（2022河南南阳七年级期中）我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，那么方程x+y+z=9的正整数解的组数是（）A27B28C29D30【变式1-1】（2022浙江杭州市实验外国语学校七年级期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值为（）A3B2C1D0【变式1-2】（2022全国八年级专题练习）方程x+2y+3z=14xyz的正整数解是_【变式1-3】（2022全国九年级专题练习）三元一次方程xyz1999的非负整数解的个数

3、有（）A20001999个B19992000个C2001000个D2001999个【题型2 用消元法解三元一次方程组】【例2】（2022贵州铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组2x+3y-z=183x-2y+z=8x+2y+z=24的解_【变式2-1】（2022全国八年级单元测试）已知2x+3y=z3x+4y=2z+6且xy3，则z的值为( )A9B3C12D不确定【变式2-2】（2022江苏七年级专题练习）解下列三元一次方程组：（1）y=2x-75x+3y+2z=23x-4z=4；（2）4x+9y=123y-2z=17x+5z=194【变式2-3】（2022湖北武汉七年级期中）九章算术是我

4、国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组比如对于方程组3x+2y+z=392x+3y+z=34x+2y+3z=26，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似其本质就是在消元那么其中的a，b的值分别是（）A24，4B17，4C24，0D17，0【题型3 用换元法解三元一次方程组】【例3】（2022全国七年级课时练习）方程组x:y:z=1:2:3x+y+z=36的解是x=y=z=.【变式3-1】（2022全国七年级单元测试）已知方程组x2=y

5、3=z45x-2y+z=16若设x2=y3=z4=k ，则k= _【变式3-2】（2022内蒙古乌海市第二中学七年级期中）探索创新完成下面的探索过程：给定方程组1x+1y=11y+1z=21z+1x=5，如果令1x=A，1y=B，1z=C，则方程组变成_；解出这个新方程组（要求写出解新方程组的过程），得出A，B，C的值，从而得到：x= _；y=_；z= _【变式3-3】（2022全国八年级课时练习）若xyz0且2y+zx=2x+yz=2z+xy=k，则k_【题型4 构建三元一次方程组解题】【例4】（2022四川省荣县中学校七年级期中）对于实数x，y定义新运算：xy=ax+by+c，其中a，b，

6、c均为常数，且已知35=15，47=28，则23的值为（）A2B4C6D8【变式4-1】（2022全国单元测试）已知（x+y-3)2+|y+z-5|+（z+x-4)4=0，则x+y+z的值是_【变式4-2】（2022全国七年级专题练习）在式子y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=1；当x=1时，y=0；当x=-1时，y=4，则a，b，c的值分别为_【变式4-3】（2022浙江七年级期末）对于实数x，y定义新运算xy=ax+by+cxy其中a，b，c为常数，若12=3,23=4，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有xd=x，则d的值是_【题型5 运用整体思想求值】【例5】（2022湖北十

7、堰市北京路中学七年级期中）已知实数x，y满足3x-y=5，2x+3y=7，求x-4y和7x+5y的值本题常规思路是先将，两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入欲求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由-可得x-4y=-2，由+2可得7x+5y=19这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”解决问题：(1)已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x-y=_，x+y=_(2)对于实数x、y，定义新运算：x*y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知3*5=15，4*

8、7=28，求1*1的值【变式5-1】（2022山东日照七年级期末）已知方程组x+y=2y+z=-1z+x=3，则x+y+z的值是（）A1B2C3D4【变式5-2】（2022吉林长春七年级期末）【数学问题】解方程组x+y=3，5x-3（x+y）=1【思路分析】榕观察后发现方程的左边是x+y，而方程的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程直接代入到方程中，这样，就可以将方程直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程解：把代入，得（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组a+b=5，2a+3c=16，a+b-c=1【变式

9、5-3】（2022江苏泰州七年级阶段练习）阅读：善于思考的小明在解方程组4x+10y=68x+22y=10时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：解：将方程变形为8x+20y+2y=10，即24x+10y+2y=10，把方程代入得，26+2y=10，则y=-1；把y=-1代入得，x=4，所以方程组的解为：x=4y=-1试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：（1）试求方程组的解2x-3y=76x-5y=9（2）已知xyz，满足3x-2z+12y=52x+z+8y=8，求z的值【题型6 三元一次方程组中的数字问题】【例6】（2022浙江八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差

10、是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（）A5B6C7D8【变式6-1】（2022江苏宿迁七年级期末）在33正方形网格中有9个数，若各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则称此图为“九宫图”(1)图（甲）就是一个九宫图的一部分，请你求出x，y的值；(2)已知图（乙）和图（丙）都是不完整的九宫图填空：a=_，b=_，c=_；d=_，e=_，f=_【变式6-2】（2022重庆巴南七年级期末）对于个位数字和十位数字不相同的两位自然数m，把个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数记为m1，同时记F(m)=m-m19若F（m）能被4

11、整除，则称这样的两位自然数m为“四季数”例如：15是“四季数”，因为两位自然数15的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为51，同时F(15)=15-519=4，而4能被4整除，所以15是“四季数”；74不是“四季数”，因为两位自然数74的个位上的数字和十位上的数字交换后得到的新两位自然数为47，同时F(74)=74-479=3，而3不能被4整除，所以74不是“四季数”（1）判断29、48是否是“四季数”？并说明理由；（2）已知两位自然数m是“四季数”，m的十位上的数字为a，个位上的数字为c在m的中间插入一个数b，得到一个三位数n若n比m的9倍少8，求出所有符合题意的n值【变式6

12、-3】（2022重庆綦江八年级期末）对于一个三位数n,如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7,那么称这个数n为“幸福数”例如：n1=935,9+3-5=7,935是“幸福数”；n2=701,7+0-1=6,701不是“幸福数”（1）判断845,734是否为“幸福数”？并说明理由；（2）若将一个“幸福数”m的个位数的2倍放到十位,原来的百位数变成个位数,原来的十位数变成百位数,得到一个新的三位数t（例如：若m=654,则t=586）,若t也是一个“幸福数”,求满足条件的所有m的值【题型7 三元一次方程组的应用】【例7】（2022湖北黄冈七年级阶段练习）购买铅笔7支，作业本3本

13、，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元，则购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需（）A4.5元B5元C6元D6.5元【变式7-1】（2022山东烟台市福山区教学研究中心八年级期中）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱经核算，A

14、盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（）元A135B155C185D225【变式7-2】（2022重庆八中八年级阶段练习）某工厂A，B，C型生产线进行产品加工，每条生产线每天的产量之比为1：2：3，现甲、乙两公司计划各自租用该工厂8条生产线同时进行产品加工，且每种类型的生产线均租用，甲公司用6天恰好能加工完所需产品，乙公司用3天恰好能加工完所需产品，乙公司租用的B型生产线数量与甲公司相同，甲公司租用的A型生产线条数与乙公司租用的C型生产线条数相同，乙公司需加工的产品总量比甲公司少16，则乙公司B型生产线有_条【变式7-3】（2022全国八年级课时练习）某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售（包装成本忽略不计）甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具4个，C茶具4个若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_