专题1.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型（沪科版）（解析版）.docx

1、专题1.11 有理数中规律和新定义综合应用的六大题型【沪科版】考卷信息：本套训练卷共36题，共六大题型，每个题型6题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对有理数中规律和新定义综合应用的六大题型的理解！【题型1 数列型规律探究】1（2023春山东济宁六年级统考期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，依此规律，第n个图形的小圆个数是（）A3n-2个B3n+2个C5n+1个D5n-1个【答案】B【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5

2、个小圆，即5=21+3，第2个图形有8个小圆，即8=22+3+1，第3个图形有11个小圆，即11=23+3+2，依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+3+n-1=3n+2 ， 故选：B【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律2（2023春安徽滁州七年级校考期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（）A253B255C257D259【答案】C【分析】从特殊出发，归纳得到一般规律即可完成【详解】解：根据题意，1小时后分裂成4个并死去1

3、个，剩3个，32+1；2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，522+1；3小时后分裂成10个并死去一个，剩9个，923+1；n个小时后细胞存活的个数是2n+1，当n8时，存活个数是28+1257故选：C【点睛】本题考查了乘方的应用，根据前几个的情况得出一般规律是解决问题的关键3（2023春河北保定七年级统考期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（）A380B382C384D386【答案】B【分析】根据已知图形得出下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，据此可得答案【详解】解：由412+2，823+2，1434+2，2245+2，得到规律

4、：下面的数字是左边数字与左边数加1的乘积与2的和，y1920+2382，故选：B【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出右边数字是左边数字与1的和，下面数字是上面两个数字乘积与2的和4（2023春全国七年级期末）如图，在数轴上，点A表示数1,现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（）A-3029B-3032C-3035D-3038【答案】B【分析】从A的序号为奇数

5、的情形中，寻找解题规律求解即可.【详解】A表示的数为1，A1=1+（-3）1=-2，A2=-2+（-3）（-2）=4，A3=4+（-3）3=-5= -2+（-3），A4=-5+（-3）（-4）=7，A5=7+（-3）（-5）=-8= -2+（-3）2，A2021= -2+2021-12(-3)=-3032，故选B.【点睛】本题考查了数轴上动点运动规律，抓住序号为奇数时数的表示规律是解题的关键.5（2023春江西上饶七年级校考期中）把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(2， 3， 4)，(5，6，7，8，9)，(10， 11，12， 13， 14， 15， 16)，现用等式 AM

6、=(i，j)表示正整数 M 是第i 组第 j 个数(从左往右数)，如A8=(3，4)，则A2020=( )A(44，81)B(44，82)C(45，83)D(45，84)【答案】D【分析】根据排列规律，先判断2020在第几组，再判断是这一组的第几个数即可求解；【详解】设2020在第n组，组与组之间的数字个数规律可以表示为：2n-1则1+3+5+7+(2n-1)=122nn=n2，当n=44时，n2=1936 ，当n=45时，n2=2025， 2020在第45组，且2020-1936=84，即2020为第45组的第84个数；故选：D【点睛】本题考查数字类的规律探究、有理数的加法运算，善用联想探究

7、数字规律是解决此类问题的常用方法；6（2023春湖南永州九年级校考期中）观察下列算式发现规律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，则72020的个位数字是 【答案】1【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字【详解】解：71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7，个位数字的变化是以7，9，3

8、，1为周期，即周期为4，20204=505，72020的个位数字为1，故答案为：1【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键【题型2 裂差型规律探究】1（2023春浙江杭州七年级期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的矩形，接着把其中一个面积为12的矩形等分成两个面积为14的矩形，再把其中一个面积为14的矩形等分成两个面积为18的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 【答案】511256【分析】根据题意及图形可得12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-1

9、8，.依此规律可进行求解【详解】解：由图及题意可得：12=1-12，12+14=1-14，12+14+18=1-18，；依此规律可得：1+12+14+18+116+132+164+1128+1256= 511256；故答案为：511256【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可2（2023春福建泉州七年级福建省惠安第一中学校联考期中）观察下列等式：第1个等式：a1=113=121-13；第2个等式：a2=135=1213-15；第3个等式：a3=157=1215-17；第4个等式：a4=179=1217-19；请回答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等

10、式：a5=_=_；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=_=_(n为正整数)；（3）求a1+a2+a3+a2018的值（4）求1510+11015+11520+12025+120152020的值【答案】（1）1911=1219-111；（2）12n-12n+1=1212n-1-12n+1；（3）20184037；（4）40310100【分析】（1）根据前面4个等式找到规律即可得出第5个等式；（2）由题意可知：分子为1，分母是两个连续奇数的乘积，可以拆成分子是1，分母是以这两个奇数为分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述规律，相加后，采用拆项相消法即可得出结果；（4）模仿上述规律，相

11、加后，采用拆项相消法即可得出结果【详解】解：(1)1911=12(19-111)；(2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)；(3)a1+a2+a3+a4+a2018，=12(1-13+13-15+14035-14037)，=12(1-14037)，=20184037；(4)1510+11015+11520+12025+120152020，=15(15-110+110-115+115-120+120-125+12015-12020)，=15(15-12020)，=154032020，=40310100【点睛】本题考查的是有理数运算中的规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法

12、，并运用运算规律解决问题”是解题的关键3（2023春北京七年级景山学校校考期中）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|67|67；|76|76；|67|67；|67|67（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：|72| ；|1215| ；（2）用简单的方法计算：|1312|1413|1514|1202112020|【答案】（1）7+2；12-15；（2）20194042【分析】（1）根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案【详解】解：（1）7+20 ，|72|7+2；-12+150 ，|12

13、15|12-15；（2）原式12-13+13-14+14-15+.+12020-12021 ，=12-12021 ，20194042【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键4（2023春河北保定七年级校联考期中）观察下列各式：-112=-1+12-1213=-12+13-1314=-13+14(1)按照上述规律，第4个等式是：_(2)第n个等式是：_(3)运用你发现的规律计算：-1516+-1617(4)-112+-1213+-1314+-1202112022=_【答案】(1)-1415=-14+15(2)-1n1n+1=-1n+1n+1(3)-235(4)

14、-20212022【分析】（1）按照上面计算方法计算即可得出答案；（2）根据题目规律可发现，-1n1n+1=-1n+1n+1；（3）按（2）的公式运算即可得出答案；（4）由规律式子变形，中间部分互相抵消，只剩首项和尾项，即可算出答案【详解】（1）-1415=-14+15；（2）-1n1n+1=-1n+1n+1；（3）-1516+-1617=-15+16-16+17=-15+17=-235；（4）原式=-1+12-12+13-12021+12022=-20212022【点睛】本题考查找规律，抽象概括出规律并能计算是解题的关键5（2023春河南新乡七年级校考期中）（1）1223=_122334=_

15、12233445=_猜想：12233445nn+1=_（2）根据上面的规律，解答下列问题：计算：1100-1199-1198-113-112-1将2020减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，依次类推，最后减去余下的12020，则剩余的结果是多少?【答案】（1）13；14；15；1n+1；（2）-1100，1【分析】（1）约分计算即可求解；（2）先算括号里面的减法，再约分计算即可求解；根据题意列出算式2020(1-12)(1-13)(1-12020)，再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解【详解】解：（1）1223=13，122334=14，12233445=1512233445

16、nn+1=1n+1，故答案为：13；14；15；1n+1；（2）(1100-1)(199-1)(198-1)(14-1)(13-1)(12-1)=-9910098999798342312=-1100；依题意有：2020(1-12)(1-13)(1-12020)=2020122320192020=1【点睛】此题考查了有理数的混合运算，第（2）问根据题意列出算式是解本题的关键6（2023春浙江金华七年级统考期中）我们知道：1-12=212-112=112；12-13=323-223=123；13-14=434-334=134；，反过来，可得：112=1-12；123=12-13；134=13-14

17、；，各式相加，可得：112+123+134=1-12+12-13+13-14=1-14=34根据上面的规律，解答下列问题：(1)112+123+134+145+156+167=_；(2)计算：115+159+1913+197101；(3)计算：1147+14710+171013+19497100【答案】(1)67(2)25101(3)1012425【分析】（1）根据规律，裂项相减即可求解；（2）每项提出14，然后根据规律，裂项相减即可求解；（3）每项提出16，然后根据规律，裂项相减即可求解【详解】（1）解：112+123+134+145+156+167=1-12+12-13+14-14+15-

18、15+16-16+17-17=1-17=67（2）解：原式=141-15+15-19+19-113+197-1101=141-1101=14100101=25101（3）解：原式=16114-147+147-1710+1710-11013+19497-197100=1614-19700=1012425【点睛】本题考查了有理数的加减运算，有理数的乘法运算，根据题意，找到规律是解题的关键【题型3 新定义型规律探究】1（2023春四川成都七年级校考期中）已知：C32=3212=3，C53=543123=10，C64=65431234=15，观察上面的计算过程，寻找规律并计算C118= 【答案】165

19、【分析】对于Cab(ba)来讲，等于一个分式，其中分母是从1到b的b个数相乘，分子是从a开始，依次减1，b个连续的自然数相乘【详解】解：C32=3212=3，C53=543123=10，C64=65431234=15，C118=111098765412345678=165，故答案为：165【点睛】此题考查了数字的变化规律，利用已知得出分子与分母之间的规律是解题关键2（2023春全国七年级期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f(4)=3，；（2）f(12)=2，f(13)=3，f(14)=4，f(15)=5，利用以上规律计算：f

20、(12008)-f(2008)= 【答案】1【分析】直接利用运算公式化简，即可得出答案【详解】解：f(12008)-f(2008)=2008-2007=1，故答案为：1【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题3（2023春江西宜春七年级统考期中）对于正数x，规定fx=x1+x，例如：f2=21+2=23，f3=31+3=34，f12=121+12=13，f13=131+13=14利用以上规律计算：f12019+f12018+f12017+f13+f12 +f1+f2+f2019的值为： .【答案】201812【分析】按

21、照定义式f(x)=x1+x，发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的12，最后再求和即可【详解】f(12019)+f(12018)+f(12017)+f(13)+f(12)+f(1)+f(2)+f(2019)=12020+12019+12018+14+13+12+23+20172018+20182019+20192020=(12020+20192020)+(12019+20182019)+(12018+20172018)+(14+34)+(13+23)+12=2018+12=201812故答案为：201812【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键

22、4（2023春山西临汾七年级校联考期中）探究规律，完成相关题目老师说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后老师写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+5)(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)(-6)=-(|5|+|6|)=-11；0(+8)=8；(-6)0=6小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的（加乘）运算的运算法则了”聪明的你也明白了吗？(1)归纳（加乘）运算的运算法则两数进行（加乘）运算时，运算法则是： ；特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加

23、乘）运算运算法则是： (2)计算：(-5)0(-3)；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）(-4)3(-10)(-5)【答案】(1)两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）都等于这个数的绝对值(2)-8；-22【分析】（1）归纳总结得到加乘法则，写出即可；（2）各式利用得出的法则计算即可求出值【详解】（1）两数进行（加乘）运算时，运算法则是：两数进行（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相加；特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算运算法则是：0和任何数进行（加乘）运算，或

24、任何数和0进行（加乘）都等于这个数的绝对值；（2）根据题中的新定义得：(-5)0(-3)=(-5)3=-(5+3)=-8；根据题中的新定义得：(-4)3(-10)(-5)=-715=-(7+15)=-22【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键5（2023春重庆潼南七年级统考期末）阅读材料，探究规律，完成下列问题甲同学说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算“然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7乙同学看

25、了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了”聪明的你也明白了吗？(1)请你根据甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则，计算下列式子：(-2)*(-7)= ；(+4)*(-3)= ；0*(-5)= 请你尝试归纳甲同学定义的*（加乘）运算的运算法则：两数进行*（加乘）运算时， 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算， (2)我们知道有理数的加法满足交换律和结合律，这两种运算律在甲同学定义的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证（举一个例子即可）【答案】(1) +9 -7 5 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 等于这个数的绝对值(2)

26、加乘运算满足交换律，不满足结合律，举例见解析.【分析】（1）根据题干提供的运算特例的运算特点分别进行计算，再归纳可得：加乘运算的运算法则；（2）对于加乘运算的交换律， 可举例(-3)*(-5), (-5)*(-3),进行运算后再判断，对于加乘运算的结合律，可举例0*(-3)*(-5), 0*(-3)*(-5), 进行运算后再判断即可.【详解】（1）解：根据加乘运算的运算法则可得：(-2)*(-7)=+9；(+4)*(-3)=-7；0*(-5)=5归纳可得：两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值（2）解：加法的交换律仍

27、然适用， 例如：(-3)*(-5)=8, (-5)*(-3)=8,所以(-3)*(-5)=(-5)*(-3),故加法的交换律仍然适用 加法的结合律不适用， 例如：0*(-3)*(-5)=3*(-5)=-8,0*(-3)*(-5)=0*(+8)=8, 所以0*(-3)*(-5)0*(-3)*(-5),故加法的结合律不适用【点睛】本题考查的是新定义运算，同时考查的是有理数的加法运算，绝对值的含义，理解新定义，归纳总结运算法则是解本题的关键.6（2023春北京房山七年级统考期末）将n个互不相同的整数置于一排，构成一个数组在这n个数字前任意添加“+”或“-”号，可以得到一个算式若运算结果可以为0，我们

28、就将这个数组称为“运算平衡”数组（1）数组1，2，3，4是否是“运算平衡”数组？若是，请在以下数组中填上相应的符号，并完成运算；1234=（2）若数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，则m的值可以是多少？（3）若某“运算平衡”数组中共含有n个整数，则这n个整数需要具备什么样的规律？【答案】（1）是，+1-2-3+4=0；（2）m=1，3，9，11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0【分析】（1）根据“运算平衡”数组的定义即可求解；（2）根据“运算平衡”数组的定义得到关于m的方程，解方程即可；（3）根据“运算平衡”数组的定义可以得到n个数的规律【详解】

29、解：（1）数组1，2，3，4是“运算平衡”数组，+1-2-3+4=0；（2）要使数组1，4，6，m是“运算平衡”数组，有以下情况：1+4+6+m=0；-1+4+6+m=0；1-4+6+m=0；1+4-6+m=0；1+4+6-m=0；-1-4+6+m=0；-1+4-6+m=0；-1+4+6-m=0；1-4-6+m=0；1-4+6-m=0；1+4-6-m=0；-1-4-6+m=0；-1-4+6-m=0，-1+4-6-m=0，1-4-6-m=0；-1-4-6-m=0；共16中情况，经计算得m=1，3，9，11；（3）这n个整数互不相同，在这n个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为0【点睛】本题

30、考查了新定义问题，理解“运算平衡”数组的定义是解题关键【题型4 含n2型规律探究】1（2023春全国七年级期末）观察下列等式：（1）13=12（2）13+23=32（3）13+23+33=62（4）13+23+33+43=102根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（）A45B54C55D65【答案】C【分析】根据所给的算式，探索其底数之间的关系，根据规律解答即可.【详解】其底数之间的关系为：（1）1=1（2）1+2=3（3）1+2+3=6（4）1+2+3+4=10（10）1+2+3+10=55故选：C【点睛】本题考查的是探索数字之间的规律，关键是要善于观察，抓住其底数之间的关系

31、.2（2023浙江嘉兴七年级校联考期中）数列：0，2，4，8，12，18，是我国的大衍数列，也是世界数学史上第一道数列题该数列中的奇数项可表示为n2-12，偶数项表示为n22如：第一个数为12-12=0，第二个数为222=2，现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；按此规律跳跃，点P20表示的数为 【答案】-110【分析】通过总结规律和数轴上表示即可求解.【详解】第1秒时，点P在原点，记为P1；第2秒时，

32、点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为-2；第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2；第4秒时，点P向左跳8个单位，记为P4，此时点P3所表示的数为-6；第5秒时，点P向右跳12个单位，记为P5，此时点P4所表示的数为6；第6秒时，点P向左跳18个单位，记为P6，此时点P5所表示的数为-12；第7秒时，点P向右跳24个单位，记为P7，此时点P6所表示的数为12；通过规律得出以0为轴左右两边的绝对值相等，符号相反，只要求出一边即可得出结论，通过秒数为奇数 1对应0，3对应2，5对应6，7对应12，以此推类得出奇数所对应的数值为n2-12，将P21代入得110

33、，所以P20为-110.答案为-110.【点睛】本题主要考查了规律和数轴，正确找出规律是关键.3（2023春广东珠海八年级校联考期末）观察下列式子：02+11213+12224+13235+142（1）第个式子 ，第个式子 ；（2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明：（3）求值：（1+113）（1+124）（1+135）（1+146）（1+120162018）【答案】（1）46+152，911+1102；（2）（n1）（n+1）+1n2；（3）20171009.【分析】(1)观察发现一个正整数乘以比这个正整数大2的数再加1就等于这个正整数加1的平方；（2）根据（1）中发现的规律

34、解答即可；（3）先通分，然后根据（2）中结论解答即可.【详解】解：（1）第个式子为46+152，第个式子911+1102，故答案为46+152，911+1102；（2）第n个式子为（n1）（n+1）+1n2，证明：左边n21+1n2，右边n2，左边右边，即（n1）（n+1）+1n2（3）原式13+11324+12435+13520162018+120162018=2213322442355246.2017220162018 22017201820171009【点睛】本题考查了规律型-数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题4（2023春四川乐山七年

35、级统考期中）(1)把左右两边计算结果相等的式子用线连接起来：1122(1+13)(1-13) 1132(1+15)(1-15)1142(1+14)(1-14)1152(1+12)(1-12)(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：11n2_(3)利用上述规律计算下式的值：(1-122)(1-132)(1-142)(1-1992)(1-11002)【答案】(1)见解析；(2)(1+1n)(1-1n)；(3)101200.【分析】（1）根据有理数的乘法和乘方运算分别计算结果可得；（2）根据以上表格中的计算结果可得；（3）根据以上规律，将原式裂项、约分即可得【详解】(1)把左右两边计

36、算结果相等的式子用线连接起来：1122(1+12)(1-12)1132(1+13)(1-13)1142(1+14)(1-14)1152(1+15)(1-15)(2)观察上面计算结果相等的各式之间的关系，可归纳得出：1-1n2(1+1n)(1-1n)，故答案为(1+1n)(1-1n) (3)原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)(1+14)(1-14)(1+199)(1-199)(1+1100)(1-1100)=12322343345499100101100 =12101100=101200.【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法和乘方运算法则及数字的

37、变化规律5（2023春河南郑州七年级郑州外国语中学校考期中）阅读探究：12=1236；12+22=2356；12+22+32=3476；12+22+32+42=4596；(1)根据上述规律，求12+22+32+42+52的值；(2)你能用一个含有n（n为正整数）的算式表示这个规律吗？请直接写出这个算式（不计算）；(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：112+122+132+142+152【答案】(1)55(2)12+22+n2=nn+12n+16(3)780【分析】（1）仿照阅读材料中的方法计算即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式利用得出的规律计算即可求出值【详解】（1

38、）12+22+32+42+52 =56116 =55；（2）12+22+n2=nn+12n+16；（3）112+122+132+142+152 =12+22+152-12+102 =1240-460 =780【点睛】此题考查了有理数的混合运算及算式规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键6（2023春北京七年级北京四中校考期中）阅读材料我们知道，1+2+3+n=nn+12，那么12+22+32+n2结果等于多少呢？在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2+2，即22，；第n行n个圆圈中数的和为n+n+n+n，即n2这样，该三角形数阵中共有nn+12个圆圈，所

39、有圆圈中数的和为12+22+32+n2【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n1行的第一个圆圈中的数分别为n1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 ，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+n2）= ，因此，12+22+32+n2= 【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+1021+2+3+10的结果为 【答案】2n+1，nn+12n+12，nn+12n+16；7.【分析】根据图1和图2，归纳总结得到一般性规律，利用此规律确定出所求即可【详解】解：【规律探究】将三角形数阵经两

40、次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第n1行的第一个圆圈中的数分别为n1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均2n+1；由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3（12+22+32+n2）=nn+12n+12；因此，12+22+32+n2=nn+12n+16；【解决问题】根据以上发现，计算：12+22+32+1021+2+3+10的结果为7故答案为2n+1；nn+12n+12；nn+12n+16.【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键【题型5 定义两个数的运算】1（2023春天津七年级

41、校考期末）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b2a-b,aba-2b,abb,ba(2)16.33；-10【分析】（1）根据定义ab=12(|a-b|+a+b),ab即可求解；举例3-2,-2-3，通过与以上几个比较，可以发现该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值；（2）直接利用规律进行求解；不妨设ab，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，由此即可解决问题【详解】（1）解：ab=12(|a-b|+a+b),ab，32=123-2+3+2=3，23=122-3+2+3=3，-32=12-3-2-3+2=2，-3-2=12-3+2-3-2=-2，故答案为：3，3，2，-2

42、；例如：3-2=123+2+3-2=3，-2-3=12-2+3-2-3=-2，通过以上例子发现，该运算是用来求大小不同的两个有理数的最大值，用a，b的式子表示出一般规律为ab=a,abb,ba；（2）解：【-92.516.33】【-33.8-4】=16.33-4=16.33；不妨设ab，则代数式中绝对值符号可直接去掉，代数式等于a，a为偶数，b=a-1最小值=-10+-8+-6+-4+-2+0+2+4+6+8=-10，故答案为：-10【点睛】本题考查了绝对值、有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握新定义，把所给代数式化简，找到新定义的运算规律，利用规律进行求解4（2023春江西景德镇七年级统考

43、期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，ab=a+b-20232，如：12=1+2-20232，123=1+2-20232+3-20232=-2017材料二：规定a表示不超过a的最大整数，如3.1=3，-2=-2，-1.3=-2(1)26 =_，-=_；(2)求123420222023的值：(3)若有理数m，n满足m=2n=3n+1，请直接写出mm+n的结果【答案】(1)-20072，-64(2)2023(3)-20532【分析】（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出26的值，根据材料2中的定义即可求出-的值；（2）根据新定义函数把123420222023变形为加减运算，再根据运

44、算顺序即可求出123420222023的值；（3）根据m=2n=3n+1求出m的值和n的范围，再求出m+n的值，即可得出mm+n的值【详解】（1）解：ab=a+b-20232，26=2+6-20232=-20072，-=-4，=3，- =-43=-64，故答案为：-20072，-64；（2）依题意，123420222023=1+2+3+2023+2022-20232=1+202322023-202220232=2023；（3）n+1=n+1，2n=3n+1，2n=3n+3，n=-3，m=2-3 =-6，m+n =-6+n=-9，mm+n =-9-6=-9-6-20232=-20532【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键5（2023春江苏淮安七年级洪泽外国语中学校考期中）定义新运算“”：对于有理数a，b，都有ab=ab+b例如：12=12+2=4(1)计算(-5)(-1)的结果是_(2)有理数m，n满足(m+2)2+n-3=0，求(mn)(-1)的值【答案】(1)4(2)2【分析】（1）直接利用新定义进而计算得出答案；（2）直接利用非负数的性质结合新定义计算得出答案.【详解】（1）解：原式=(-5)(-1)