2022-2023学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷.pdf

1、第 1页（共 28页）2022-2023 学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题 4 分，本题共 10 小题，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分）（2023 春江油市期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是()A2B0.2C 8D122（4 分）（2023 春晋安区期中）下列运算正确的是()A2(3)3 B933 3C933D2333（4 分）（2023 春晋安区期中）在 ABC中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列条件不能判断 ABC是直角三角形的是()A:3:4:5ABCBABC C:3:4:5a b c D222a

2、bc4（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，5ACcm，10BDcm，则菱形的面积为()A25cmB210cmC225cmD250cm5（4 分）（2022陕西）在下列条件中，能够判定ABCD 为矩形的是()A ABACB ACBDC ABADD ACBD6（4 分）（2023 春晋安区期中）下列逆命题成立的是()A两条直线平行，内错角相等B全等三角形的对应角相等C如果 ab，那么22abD如果 ab，那么|ab7（4 分）（2023霞山区一模）如图，在ABC中，点 E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF，如果6ACcm，那么 EF 的长是

3、()第 2页（共 28页）A3cmB 4cmC5cmD 6cm8（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，菱形 ABCD 的顶点 C 在直线 MN 上，若45BCM，25DCN，则BDC的度数为()A 20B30C35D 409（4 分）（2023南宁一模）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(1,1)，(1,2)，(3,1)，则第四个顶点的坐标为()A(2,2)B(3,2)C(3,3)D(2,3)10（4 分）（2023 春沧州期末）在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 的中点，点 E，M 为平行四边形 ABCD 同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO 的延长线

4、分别与平行四边形 ABCD 的另一边交于点 F，N 下面四个判断：四边形 ABFM 是平行四边形；四边形 ENFM 是平行四边形；若平行四边形 ABCD 是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形 ENFM 是正方形；对于任意的平行四边形 ABCD，存在无数个四边形 ENFM 是矩形其中，正确的个数有()A4 个B3 个C2 个D1 个二、填空题：（每题 4 分，本题共 6 小题，共 24 分）11（4 分）（2012盐城）若二次根式1x 有意义，则 x 的取值范围是12（4 分）（2021郯城县模拟）在ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，D 为AB 的中点，则CD 第 3页（共 28页

5、）13（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边 ADE，则DEB 14（4 分）（2017辽阳）如图，在矩形 ABCD 中，ABC的平分线交 AD 于点 E，连接CE 若7BC ，4AE，则 CE 15（4 分）（2023 春龙沙区期末）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，60ABC，E 为 AB 的中点，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EPAP的最小值为16（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，在四边形 ABCD 中，/ADBC，90ABCDCB，且2BCAD，以 AB，BC，DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S，2S，3S，若13S ，

6、39S ，则2S 的值为三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023 春晋安区期中）计算：第 4页（共 28页）（1）1(2 238)22；（2）2(23)(23)(13)18（2022乐山）先化简，再求值：21(1)121xxxx，其中2x 19（2021 春衡阳期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，AECF求证：四边形 BEDF 是平行四边形20（2023 春晋安区期中）如图，在 ABC中，5AB ，12AC，13BC，AM为 ABC的高，求 AM 的长21（2020柳州模拟）证明四个角相等的四边形是矩

7、形22（2023 春晋安区期中）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形（1）尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）连接 BD；作 BD 的垂直平分线 EF 交 AB，CD 于 E，F；连接 DE，BF；（2）判断四边形 DEBF 的形状，并说明理由23（2023 春晋安区期中）在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作 60，30，15的角，可以采用如下的方法：第 5页（共 28页）【操作感知】：第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开第二步；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 B

8、M，同时得到线段 BN（如图1)【猜想论证】：（1）写出图 1 中一个30 的角：（2）若延长 MN 交 BC 于点 P，如图 2 所示，试判断 BMP的形状，并证明【迁移探究】：（3）小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片 ABCD 按照“操作感知”的方式操作，并延长 MN 交CD 于点 Q，连接 BQ 当点 N 在 EF 上时，2DM，求正方形的边长24（2023 春晋安区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知123a，求2281aa 的值，他是这样解答的：1232323(23)(23)a，23a ，2(2)3a，2443aa，241aa 2228

9、12(4)12(1)11aaaa 请你根据小明的解题过程，解决如下问题：（1）132；第 6页（共 28页）（2）化简：1111213243169168；（3）若152a，求43443aaa 的值25（2023 春晋安区期中）已知：菱形 ABCD 的边长为 6，60ABC 把一个含 60的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形 60的顶点与点 A 重合，三角尺的两边与菱形的两边 BC，CD 分别相交于点 E，F（点 E，F 不与端点重合）（1）如图 1，求证：BECF；（2）如图 2，连接 EF，求 ECF面积的最大值；（3）如图 3，连接 BD，与 AE，AF 相交于点 M，N 若以线段 BM，

10、MN，ND为边组成的三角形是直角三角形，求 BM 的值第 7页（共 28页）2022-2023 学年福建省福州市晋安区八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题 4 分，本题共 10 小题，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（4 分）（2023 春江油市期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是()A2B0.2C 8D12【考点】74：最简二次根式【分析】根据最简二次根式的定义即可判断【解答】解：（B）原式55，故 B 不是最简二次根式；（C）原式2 2，故 C 不是最简二次根式；（D）原式22，故 D 不是最简二次根式；故选：A 2（4 分）（

11、2023 春晋安区期中）下列运算正确的是()A2(3)3 B933 3C933D233【考点】二次根式的加减法；二次根式的性质与化简【分析】根据二次根式的性质进行化简即可求解【解答】解：A 2(3)3，故该选项不正确，不符合题意；B 9333，故该选项不正确，不符合题意；C 9333，故该选项不正确，不符合题意；D 233，故该选项正确，符合题意；故选：D 3（4 分）（2023 春晋安区期中）在 ABC中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，下列条件不能判断 ABC是直角三角形的是()A:3:4:5ABCBABC C:3:4:5a b c D222abc第 8页（共 28页）【考点】7K：

12、三角形内角和定理；KS：勾股定理的逆定理【分析】根据三角形内角和定理可得 A、B 是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出 C、D 是否是直角三角形【解答】解：A、:3:4:5ABC，518075345C，故 ABC不是直角三角形；B、ABC ，且180ABC ，90C，故 ABC为直角三角形；C、:3:4:5a b c，222abc，故 ABC为直角三角形；D、222abc，故 ABC为直角三角形故选：A 4（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，5ACcm，10BDcm，则菱形的面积为()A25cmB210cmC225cmD250cm【考点】菱形

13、的性质【分析】由菱形面积公式即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，对角线5ACcm，10BDcm，则菱形的面积为215 10252cm，故选：C 5（4 分）（2022陕西）在下列条件中，能够判定ABCD 为矩形的是()A ABACB ACBDC ABADD ACBD【考点】平行四边形的性质；矩形的判定【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可【解答】解：A、ABCD 中，ABAC，不能判定ABCD 是矩形，故选项 A 不符合题意；B、ABCD中，ACBD，ABCD是菱形，故选项 B 不符合题意；第 9页（共 28页）C、ABCD中，ABAD，ABCD是菱形，故选项

14、 C 不符合题意；D、ABCD中，ACBD，ABCD是矩形，故选项 D 符合题意；故选：D 6（4 分）（2023 春晋安区期中）下列逆命题成立的是()A两条直线平行，内错角相等B全等三角形的对应角相等C如果 ab，那么22abD如果 ab，那么|ab【考点】命题与定理；全等三角形的性质【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案【解答】解：A、两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；B、全等三角形的对应角相等的逆命题是：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等，不成立；C

15、、如果 ab，那么22ab逆命题是如果22ab，那么 ab；也可能是 ab ，不成立；D、如果 ab，那么|ab的逆命题是如果|ab，那么 ab 也可能是 ab ，不成立；故选：A 7（4 分）（2023霞山区一模）如图，在ABC中，点 E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，连接 EF，如果6ACcm，那么 EF 的长是()第 10页（共 28页）A3cmB 4cmC5cmD 6cm【考点】三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理即可求解【解答】解：点 E，F 分别是 AB，BC 边上的中点，6ACcm，132EFACcm，故选：A 8（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，菱形 AB

16、CD 的顶点 C 在直线 MN 上，若45BCM，25DCN，则BDC的度数为()A 20B30C35D 40【考点】菱形的性质【分析】先求出BCD，根据菱形性质得出 BCCD，即得到CBDCDB，可得BDC的度数【解答】解：45BCM，25DCN，1801802545110BCDBCMDCN ，四边形 ABCD 为菱形，BCBD，1(180)352BDCBCD ，故选：C 9（4 分）（2023南宁一模）一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为(1,1)，(1,2)，(3,1)，则第四个顶点的坐标为()A(2,2)B(3,2)C(3,3)D(2,3)第 11页（共 28页）【考点】5D：

17、坐标与图形性质；LB：矩形的性质【分析】本题可在画出图后，根据矩形的性质，得知第四个顶点的横坐标应为 3，纵坐标应为 2【解答】解：如图可知第四个顶点为：即：(3,2)故选：B 10（4 分）（2023 春沧州期末）在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 的中点，点 E，M 为平行四边形 ABCD 同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），EO，MO 的延长线分别与平行四边形 ABCD 的另一边交于点 F，N 下面四个判断：四边形 ABFM 是平行四边形；四边形 ENFM 是平行四边形；若平行四边形 ABCD 是矩形（正方形除外），则至少存在一个四边形 ENFM 是正方形；对于任意的平行

18、四边形 ABCD，存在无数个四边形 ENFM 是矩形其中，正确的个数有()A4 个B3 个C2 个D1 个【考点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；正方形的判定与性质【分析】由 ASA可证 EAOFCO，可得 EOFO，可证四边形 EMFN 是平行四边形，可得 AM 与 BF 不一定相等，故错误，正确，由正方形的判定和性质和矩形的判定可判断正确，正确，即可求解【解答】解：设点 E，M 为 AD 边上任意两个不重合的动点，如图，连接 BD，第 12页（共 28页）四边形 ABCD 是平行四边形，O 为 AC 的中点，BD也经过点 O，/ADBC，EACFCA，在 EAO和 FCO中，EACFC

19、AAOCOAOECOF ，()EAOFCO ASA，EOFO，同理可得OMON，四边形 EMFN 是平行四边形，AM与 BF 不一定相等，故错误，正确；若四边形 ABCD 是矩形，当 EOOM、EOOM时，则 EFMN、EFMN，又四边形 ENFM 是平行四边形，四边形 ENFM 是正方形，故正确，过 O 作 AD 的垂线，垂足为 P，若点 A，点 D 均在 P 的右侧，则不存在任何一个矩形，故对于任意平行四边形的说法是错误的，当平行四边形特别扁的时候就是不对的故错误，第 13页（共 28页）正确的为：故选：C 二、填空题：（每题 4 分，本题共 6 小题，共 24 分）11（4 分）（201

20、2盐城）若二次根式1x 有意义，则 x 的取值范围是1x【考点】二次根式有意义的条件【分析】根据二次根式有意义的条件可得1 0 x，再解不等式即可【解答】解：由题意得：1 0 x，解得：1x，故答案为：1x 12（4 分）（2021郯城县模拟）在ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，D 为AB 的中点，则CD 5【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】先运用勾股定理求出斜边 AB 的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD 的长【解答】解：如图，在 ABC中，90ACB，6AC ，8BC ，2210ABACBC，又D为 AB 的中点，152CDAB 故答案为：5

21、13（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边 ADE，则DEB45 第 14页（共 28页）【考点】正方形的性质；等边三角形的性质【分析】由四边形 ABCD 为正方形，三角形 ADE 为等边三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到 ABAE，且得到BAD为直角，DAE为 60，由BADDAE 求出AEB的度数，进而利用等腰三角形的性质可求出DEB的度数【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，ADE为等边三角形，ABBCCDADAEDE，90BAD，60AEDDAE ，150BAEBADDAE ，又ABAE，1(180150)152AEB

22、，45DEBAEDAEB ，故答案为：4514（4 分）（2017辽阳）如图，在矩形 ABCD 中，ABC的平分线交 AD 于点 E，连接CE 若7BC ，4AE，则 CE 5【考点】勾股定理；矩形的性质【分析】首先证明4ABAECD，在 Rt CED中，根据22CEDECD计算即可【解答】解：四边形 ABCD 是矩形，/ADBC，ABCD，7BCAD，90D，AEBEBC，ABEEBC，第 15页（共 28页）4ABAECD，在 Rt EDC中，2222345CECDDE 故答案为 515（4 分）（2023 春龙沙区期末）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，60ABC，E 为 AB 的

23、中点，若 P 为对角线 BD 上一动点，则 EPAP的最小值为2 3【考点】轴对称 最短路线问题；等边三角形的判定与性质；菱形的性质【分析】连接 CP，AC，CE，交 BD 于 P，依据ADPCDP，可得 APCP，依据 ABC是等边三角形，即可得到2 3CE，当点 E，P，C 在同一直线上时，即点 P 在点 P处时，EPAP的最小值为CE 的长，EPAP的最小值为 2 3【解答】解：如图，连接CP，AC，CE，交 BD 于 P，四边形 ABCD 是菱形，ADCD，ADPCDP，PDPD，()ADPCDP SAS，APCP，APEPCPEP，60ABC，ABAC，第 16页（共 28页）ABC

24、是等边三角形，又E是 AB 的中点，菱形 ABCD 的边长为 4，CEAB，2BE ，4BC，Rt BCE中，222 3CEBCBE，当点 E，P，C 在同一直线上时，即点 P 在点 P处时，EPAP的最小值为CE 的长，EPAP的最小值为 2 3，故答案为：2 3 16（4 分）（2023 春晋安区期中）如图，在四边形 ABCD 中，/ADBC，90ABCDCB，且2BCAD，以 AB，BC，DC 为边向外作正方形，其面积分别为1S，2S，3S，若13S ，39S ，则2S 的值为48【考点】勾股定理【分析】根据已知条件得到3AB，3CD，过 A 作/AECD 交 BC 于 E，则AEBDC

25、B，根据平行四边形的性质得到 CEAD，3AECD，由已知条件得到90BAE，根据勾股定理得到22BEABAE，于是得到结论【解答】解：13S，39S ，3AB，3CD ，过 A 作/AECD 交 BC 于 E，第 17页（共 28页）则AEBDCB，/ADBC，四边形 AECD 是平行四边形，CEAD，3AECD，90ABCDCB，90AEBABC ，90BAE，222 3BEABAE，2BCAD，ADEC，24 3BCBE，22(4 3)48S，故答案为：48三、解答题（本题共 9 小题，共 86 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（2023 春晋安区期中）计算：（1）1(2

26、238)22；（2）2(23)(23)(13)【考点】二次根式的混合运算【分析】（1）二次根式化简、合并，然后由二次根式的除法运算即可完成计算；（2）利用平方差公式和完全平方差公式，进行二次根式的加减法运算即可【解答】解：（1）1(2 238)22第 18页（共 28页）3 2(2 22 2)22522252；（2）2(23)(23)(13)43(12 33)142 3 32 3 18（2022乐山）先化简，再求值：21(1)121xxxx，其中2x【考点】分式的化简求值【分析】先算括号内的减法，再算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子计算即可【解答】解：21(1)

27、121xxxx21 1(1)1xxxx 2(1)1xxxx1x，当2x 时，原式21 19（2021 春衡阳期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 是对角线 AC 上的两点，AECF求证：四边形 BEDF 是平行四边形【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【分析】连接 BD，交 AC 于点 O，根据四边形 ABCD 是平行四边形可得 AOCO，BODO，再由 AECF，可得 EOFO，即可得出结论第 19页（共 28页）【解答】证明：连接 BD，交 AC 于点 O，如图所示：四边形 ABCD 是平行四边形，AOCO，BODO，又AECF，AOAECOCF，即 EOFO，

28、四边形 BEDF 是平行四边形20（2023 春晋安区期中）如图，在 ABC中，5AB ，12AC，13BC，AM为 ABC的高，求 AM 的长【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理【分析】根据勾股定理的逆定理证明 ABC是直角三角形，然后根据等面积法即可求解【解答】解：在 ABC中，5AB，12AC，13BC，2225144169ABAC，2213169BC，222ABACBC，ABC是直角三角形，且90BAC，AM为 ABC的高，1122ABCSABACBCAM，5 12601313ABACAMBC21（2020柳州模拟）证明四个角相等的四边形是矩形第 20页（共 28页）【考点】LC：矩形的

29、判定【分析】先画出图形，写出已知、求证，先求出四边形是平行四边形，再求出90A，根据矩形的判定推出即可【解答】已知：四边形 ABCD，ABCD ，求证：四边形 ABCD 是矩形证明：ABCD ，AC，BD，四边形 ABCD 是平行四边形，ABCD ，360ABCD ，90A，四边形 ABCD 是矩形22（2023 春晋安区期中）如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形（1）尺规作图：按下列要求完成作图；（保留作图痕迹，请标注字母）连接 BD；作 BD 的垂直平分线 EF 交 AB，CD 于 E，F；连接 DE，BF；（2）判断四边形 DEBF 的形状，并说明理由【考点】平行四边形的性质；作图复

30、杂作图；线段垂直平分线的性质【分析】（1）根据题意连接 BD，作 BD 的垂直平分线 EF，连接 DE，BF；（2）先根据线段垂直平分线的性质得到 EBED，FBFD，OBOD，再证明第 21页（共 28页）ODFOBE 得到 DFBE，所以 DEEBBFDF，于是可判断四边形 DEBF 为菱形【解答】解：（1）如图，EF、DE、BF 为所作；（2）四边形 DEBF 为菱形理由如下：如图，EF垂直平分 BD，EBED，FBFD，OBOD，四边形 ABCD 为平行四边形，/CDAB，FDBEBD，在 ODF和 OBE中，FDOEBOODOBDOFBOE ，()ODFOBE ASA，DFBE，DE

31、EBBFDF，四边形 DEBF 为菱形23（2023 春晋安区期中）在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作 60，30，15的角，可以采用如下的方法：【操作感知】：第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展开第二步；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN（如图1)第 22页（共 28页）【猜想论证】：（1）写出图 1 中一个30 的角：ABM（2）若延长 MN 交 BC 于点 P，如图 2 所示，试判断 BMP的形状，并证明【迁移探究】：（3）小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，

32、过程如下：将正方形纸片 ABCD 按照“操作感知”的方式操作，并延长 MN 交CD 于点 Q，连接 BQ 当点 N 在 EF 上时，2DM，求正方形的边长【考点】四边形综合题【分析】（1）设 BM 交 EF 与点 H，连接 AH，由折叠可知 AEBE，32 ，AHBH，AHHN，90MNBBAM ，证明234 ，得出260，则30ABMMBN ；（2）由（1）可知160BMP ，根据平行线的性质得出/ADBC，则1260 ，即可证明 BMP是等边三角形；（3）由（2）可得60DMN，则在 Rt DMQ中，2DM，30MQD，根据含30 度 角 的 直 角 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理

33、 求 得4MQ，2 3DQ，证 明Rt BNQRt BCQ(HL)，得出 NQCQ，进而根据 MQMNNQMACQ，可得62 3ADDC，即可求解【解答】解：（1）设 BM 交 EF 与点 H，连接 AH，由折叠可知 AEBE，32 ，AHBH，AHHN，90MNBBAM ，HBHN，第 23页（共 28页）56 ，1590 ，2690 ，12 ，又/ADEF，14 ，234 ，234180 ，260 ，30ABMMBNCBN ，故答案为：ABM（2）BMP是等边三角形，证明：如图所示，由（1）可知160BMP ，/ADBC，1260 ，BMP是等边三角形，（3）解：由（2）可得60DMN，在

34、 Rt DMQ中，2DM，30MQD，4MQ，2 3DQ，BQN是由 BQC翻折得到，ABBN，BNBC，在 Rt BNQ和 Rt BCQ中，BNBCBQBQ，第 24页（共 28页）Rt BNQRt BCQ(HL)，NQCQ，MQMNNQMACQ，422 362 3ADDCAMMDDQCQMQMDDQ，33AD 24（2023 春晋安区期中）在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知123a，求2281aa 的值，他是这样解答的：1232323(23)(23)a，23a ，2(2)3a，2443aa，241aa 222812(4)12(1)11aaaa 请你根据小明的解题过程，解决

35、如下问题：（1）13232；（2）化简：1111213243169168；（3）若152a，求43443aaa 的值【考点】分母有理化；二次根式的化简求值【分析】（1）根据所给的解答方式进行求解即可；（2）把各式的分母进行有理化，即可求解；（3）先进行分母有理化的运算，再代入相应的式子运算即可【解答】解：（1）1323232(32)(32)；故答案为：32；第 25页（共 28页）（2）原式213243169168 169113 112；（3）15252a，25a，2(2)5a，即2445aa 241aa 43443aaa22(4)43a aaa2143aa 243aa13 425（2023

36、春晋安区期中）已知：菱形 ABCD 的边长为 6，60ABC 把一个含 60的三角尺与这个菱形叠合，如果使三角形 60的顶点与点 A 重合，三角尺的两边与菱形的两边 BC，CD 分别相交于点 E，F（点 E，F 不与端点重合）（1）如图 1，求证：BECF；（2）如图 2，连接 EF，求 ECF面积的最大值；（3）如图 3，连接 BD，与 AE，AF 相交于点 M，N 若以线段 BM，MN，ND为边组成的三角形是直角三角形，求 BM 的值【考点】四边形综合题第 26页（共 28页）【分析】（1）BECF，利用 ASA证明ABEACF，利用全等三角形的对应边相等即可得证；（2）由三角形 ABE

37、与三角形 ACF 全等，得到两三角形面积相等，AEAF，根据等边三角形 ABC 的边长为 6，求出四边形 AECF 的面积，即为三角形 ABC 的面积，表示出三角形 ECF 的面积，当 AE 垂直于 BC 时，三角形 AEF 面积最小时，三角形 ECF 面积最大，求出此时 AE 的长，确定此三角形 AEF 的面积，即可求出三角形 ECF 面积的最大值；（3）将ABM绕点 A 逆时针旋转120 得到ADP，其中 AMAP，ABAD，BMPD，由三角形 ADP 全等于三角形 ABM，得到对应角PADBAM，再由60EAF，60CAD，利用等式的性质得到一对角相等，利用 SAS 得到三角形 ADP

38、与三角形 ABM 全等，利用全等三角形的对应边相等得到 MNPN，又在PND中，MNPN，BMPD，故 PND即为以 MN，BM，ND 为边的三角形，则60PDN，所以 PND为直角三角形的情况分为两种：90PND，如图 4所示，求出此时 BM 的长；90NPD，如图 5 所示，求出此时 BM 的长即可【解答】（1）证明：菱形 ABCD 的边长为 6，60ABC，60ADC，ABBCCDDA，ABC和 ACD为等边三角形，60BACD ，60BAC，ABAC，又60EAF，且60BAEBACAECAEC ，60CAFEAFAECAEC ，BAECAF，在 ABE和 ACF中，BAECAFABA

39、CBACF ，()ABEACF ASA，BECF；（2）ABEACF，ACFABESS，AEAF，第 27页（共 28页）又等边 ABC的边长为 6，且AECACFAECFSSS四边形，ABCAECABESSS，6 3169 322ABCAECFSS 四边形，9 3ECFAEFABCAEFAEFAECFSSSSSS四边形又60EAF，AEAF，AEF为等边三角形，三角尺运动过程中，当 AEBC时，AEFS最小，ECFS最大，当 AEBC时，2327 33 3,(3 3)44AEFAES，此时27 39 39 39 344ECFAEFSS；（3）将ABM绕点 A 逆时针旋转120 得到ADP，其

40、中 AMAP，ABAD，BMPD，ADPABM，PADBAM，ADPABM，又60EAF，60CAD，60EACEAFFACFAC ，60DAFCADFACFAC ，EACDAF，60PANPADDAFBAMEACBAC ，AMAP，MANPAN，ANAN，()AMNAPN SAS，MNPN，在 PND中，MNPN，BMPD，PND即为以 MN，BM，ND 为边的三角形，60PDN，所以 PND为直角三角形的情况分为两种：90PND，如图 4 所示，在 Rt PND中，60PDN，6 3BD，第 28页（共 28页）13,22NDPD PNPD，BDBMMNNDPDPNND，即136 322PDPDPD，6 36BMPD，90NPD，如图 5 所示，在 Rt PND中，60PDN，6 3BD，2NDPD，3PNPD，BDBMMNNDPDPNND，即 6 323PDPDPD，3 33BMPD，综上所述，3 33BM 或 6 36声明：试 题解析著作权 属菁优网所有，未经书面同 意，不得复制 发布日期：2024/3/20 12:08:03；用户：彼粒星；邮箱：orFmNt 3ioZ7m 9pIbCI01vF5XpRE；学号：40668998