2021届新高考数学（理）二轮复习专题能力训练12　数列的通项与求和 WORD版含解析.docx

1、专题能力训练 12 数列的通项与求和 专题能力训练第 30 页 一、能力突破训练1.已知数列an是等差数列,满足 a1+2a2=S5,下列结论错误的是()A.S9=0B.S5最小C.S3=S6D.a5=0答案:B解析:由题设可得 3a1+2d=5a1+10d2a1+8d=0,即 a5=0,所以 D 中结论正确.由等差数列的性质可得 a1+a9=2a5=0,则 S9=9a5=0,所以 A 中结论正确.S3-S6=3a1+3d-6a1-15d=-3(a1+4d)=-3a5=0,所以 C 中结论正确.B 中结论是错误的.故选 B.2.已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17

2、=()A.15B.17C.34D.398答案:C解析:Sn=n2-2n-1,a1=S1=12-2-1=-2.当 n2 时,an=Sn-Sn-1=n2-2n-1-(n-1)2-2(n-1)-1=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.an=-a3+a17=(23-3)+(217-3)=3+31=34.3.在数列an中,an+1=2an-1,a3=2,设其前 n 项和为 Sn,则 S6=()A B C.15D.27答案:A解析:由 an+1=2an-1,得 an+1-1=2(an-1),则an-1是等比数列,首项为 ,公比为 2,则 an-1

3、=2n-1=2n-3,即 an=1+2n-3,S6=6+-4.已知数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,a2=2,且对于任意 n1,nN*,满足 Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则 S10的值为()A.90B.91C.96D.100答案:B解析:Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,an+1-an=2.当 n2 时,数列an是等差数列,公差为 2.又 a1=1,a2=2,S10=1+92+2=91.5.已知数列an,构造一个新数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,此数列是首项为 1,公比为 的等比数列,则数列an的通项公式为()A.an=

4、(),nN*B.an=(),nN*C.an=()且 D.an=1,nN*答案:A解析:因为数列 a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an-an-1=()-,n2.所以当 n2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=1+()+()-=-()-()又当 n=1 时,an=()=1,则 an=(),nN*.6.已知数列an满足 a1=1,an-an+1=nanan+1(nN*),则 an=.答案:-解析:因为 an-an+1=nanan+1,所以 -=n,(-)(-)+(-)=(n-1)+(n-2)+3+2+1+=-+1

5、=-(n2).所以 an=-(n2).又 a1=1 也满足上式,所以 an=-7.(2018 全国,理 14)记 Sn为数列an的前 n 项和.若 Sn=2an+1,则 S6=.答案:-63解析:Sn=2an+1,Sn-1=2an-1+1(n2).-,得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1(n2).又 S1=2a1+1,a1=-1.an是以-1 为首项,2 为公比的等比数列,则 S6=-=-63.8.已知 Sn是等差数列an的前 n 项和,若 a1=-2 017,=6,则 S2 017=.答案:-2 017解析:Sn是等差数列an的前 n 项和,是等差数列,设其公差为 d.=6,6

6、d=6,d=1.a1=-2017,=-2017.=-2017+(n-1)1=-2018+n.S2017=(-2018+2017)2017=-2017.9.已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 2Sn=nan+2an-1.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列 的前 n 项和为 Tn,证明:Tn4.答案：(1)解当 n=1 时,2S1=a1+2a1-1,则 a1=1.当 n2 时,2Sn=nan+2an-1,2Sn-1=(n-1)an-1+2an-1-1,-,得 2an=nan-(n-1)an-1+2an-2an-1,即 nan=(n+1)an-1,所以 -,且 ,所以数列 为常数列,即 a

7、n=(nN*).(2)证明由(1)得 an=,所以 =4(-)所以 Tn=+=41-+=4(-)1 时,2Sn-1=3n-1+3,此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23n-1,即 an=3n-1,所以 an=-(2)因为 anbn=log3an,所以 b1=,当 n1 时,bn=31-nlog33n-1=(n-1)31-n.所以 T1=b1=;当 n1 时,Tn=b1+b2+b3+bn=+13-1+23-2+(n-1)31-n,所以 3Tn=1+130+23-1+(n-1)32-n,两式相减,得 2Tn=+(30+3-1+3-2+32-n)-(n-1)31-n=-(n-1)31

8、-n=,所以 Tn=经检验,当 n=1 时也适合.综上可得 Tn=二、思维提升训练12.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创,南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法,有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等.如图,某仓库中部分货物堆放成“菱草垛”:自上而下,第一层 1 件,以后每一层比上一层多 1 件,最后一层是 n 件.已知第一层货物的单价是 1万元,从第二层起,货物的单价是上一层单价的 若这堆货物的总价是 100-200()万元,则 n 的值为()A.7B.8C.9D.10答案:D解析:由题意,得第 n 层货物的总价为 n()-万元.这堆货物的总价 W=1+

9、2 +3()+n()-,W=1 +2()+3()+n(),两式相减,得 W=-n()+1+()()+()-=-n()-()-=-n()+10-10(),则 W=-10n()+100-100()=100-200(),解得 n=10.13.设 Sn是数列an的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn=.答案:-解析:由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得 =1,即 =-1,则 为等差数列,首项为 =-1,公差为 d=-1,=-n,Sn=-14.已知等差数列an的公差为 2,其前 n 项和 Sn=pn2+2n(nN*).(1)求 p 的值及 an;(2)若 bn=-,记

10、数列bn的前 n 项和为 Tn,求使 Tn 成立的最小正整数 n 的值.解：(1)(方法一)an是等差数列,Sn=na1+-d=na1+-2=n2+(a1-1)n.又由已知 Sn=pn2+2n,p=1,a1-1=2,a1=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(方法二)由已知 a1=S1=p+2,S2=4p+4,即 a1+a2=4p+4,a2=3p+2.又等差数列的公差为 2,a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(方法三)当 n2 时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-p(n-1)2+2(n

11、-1)=2pn-p+2,a2=3p+2,由已知 a2-a1=2,2p=2,p=1,a1=p+2=3,an=a1+(n-1)d=2n+1,p=1,an=2n+1.(2)由(1)知 bn=-,Tn=b1+b2+b3+bn=(-)(-)(-)+-=1-Tn ,20n18n+9,即 n nN*,使 Tn 成立的最小正整数 n 的值为 5.15.已知数列an满足 an+2=qan(q 为实数,且 q1),nN*,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求 q 的值和an的通项公式;(2)设 bn=-,nN*,求数列bn的前 n 项和.解：(1)由已知,有(a3+a4)

12、-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3,所以 a2(q-1)=a3(q-1).又因为 q1,故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2.当 n=2k-1(kN*)时,an=a2k-1=2k-1=-;当 n=2k(kN*)时,an=a2k=2k=所以,an的通项公式为 an=-为奇数 为偶数(2)由(1)得 bn=-设bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn=1 +2 +3 +(n-1)-+n -,Sn=1 +2 +3 +(n-1)-+n ,上述两式相减,得 Sn=1+-=2-,整理得,Sn=4-所以,数列bn的前 n 项和为 4-,nN*.16.已知数列

13、an,bn,Sn为数列an的前 n 项和,a1=2b1,Sn=2an-2,nbn+1-(n+1)bn=n2+n.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列 为等差数列;(3)若 cn=-为奇数 为偶数 求数列cn的前 2n 项和.答案：(1)解Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2(n2),an=2an-2an-1(n2),an=2an-1(n2),数列an是以 2 为公比的等比数列.又 a1=S1=2a1-2,a1=2,an=22n-1=2n.(2)证明nbn+1-(n+1)bn=n2+n=n(n+1),=1,数列 是以 1 为公差的等差数列.(3)解b1=1,由(2)知 =b1+(n-1)1=n,bn=n2,cn=-为奇数 -为偶数 c2n-1+c2n=-(2n-1)222n-2+(2n)222n-2=(4n-1)4n-1,T2n=340+741+(4n-1)4n-1,4T2n=341+742+(4n-5)4n-1+(4n-1)4n,-3T2n=3+4(-)-(4n-1)4n=3+-(4n-1)4n=-(4n-1)4n=-,T2n=-