8.6.3平面与平面垂直（教学设计）-2021-2022学年高一数学同步备课 (人教A版2019 必修第二册).docx

1、8.6.3 平面与平面垂直 教学设计本小节内容选自普通高中数学必修第二册人教A版（2019）第八章立体几何初步的第六节空间直线、平面的垂直。以下是本节的课时安排：8.6空间直线、平面的垂直课时内容8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直8.6.3平面与平面垂直所在位置教材第146页教材第149页教材第155页新教材内容分析本节内容是利用空间直线平行的传递性和等角定理，探究异面直线所成的角，渗透把立体图形的问题转化为平面图形问题来解决的转化思想.直线与平面垂直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的主线是类似的，都是以定义判定性质为主线，通过定

2、理的探索过程，培养了学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。本节内容是空间平面与平面垂直，与研究直线与平面垂直一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。核心素养培养通过实物观察、抽象出异面直线夹角的定义，培养直观想象的核心素养；借助异面直线所成角及垂直关系的证明，培养数学运算与逻辑推理的核心素养.通过学习直线与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习直线与平面所成的角，提升直观想象、数学运算的数学素养。通过学习平面与平面垂直的判定定理和性质定理，提升直观想象、逻辑推理的数学素养；通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数

3、学运算的数学素养.教学主线垂直关系的相互转化利用已经学习过的直线与平面垂直、直线与直线垂直的相关知识与研究思路，类比地研究平面与平面的垂直.1理解二面角的概念，并会求简单的二面角，培养数学运算和直观想象的核心素养；2理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题，培养逻辑推理的核心素养；3.理解平面和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理，培养数学抽象的核心素养；4.能应用面面垂直的性质定理解决有关的垂直问题，提升逻辑推理的核心素养。1.重点：掌握面面垂直的判定定理和性质定理2.难点：会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系平面和平面

4、垂直的性质定理的应用（一）新知导入建筑工人砌墙时为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直.【问题】(1)由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么这些平面与已知平面有何关系？(2)若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？【提示】(1)垂直关系.(2)可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可.（二）平面与平面垂直知识点一二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ.(5)二面

5、角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.(6)二面角的平面角的取值范围：0180.平面角是直角的叫做直二面角【思考】在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？ 【提示】由等角定理可知AOB的大小与点O在棱上的位置无关。【做一做】 如图，P是二面角l内的一点，PA，PB，垂足分别为A，B.若APB80，则二面角l的大小为.答案：100知识点二平面与平面垂直(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：记作：.(3)判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个

6、平面垂直图形表示：符号表示：l，l.【做一做】已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面（）A.有1个B.有2个 C.有无数个 D.不存在答案：C知识点三平面与平面垂直的性质定理（1） 文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。（2） 符号语言：，l，a，ala（3） 图形语言：【拓展】平面与平面垂直的其他性质(1)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内(2)如果两个平面垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面(3)如果两个平面垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.【

7、辩一辩】判断（正确的打“”，错误的打“”）（1）如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面.（）（2）如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面.（）（3）若平面平面，则平面内所有直线都垂直于平面.( )（4）若平面平面，则平面内一定存在直线平行于平面.( )（5）若平面不垂直于平面，则平面内一定不存在直线垂直于平面.( )【答案】（1）（2）（3）（4） （5）（三）典型例题1.求二面角的大小例1.如图，已知四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD. (1)求二面角BPAD平面角的度数；(2)求二面角BPCD平面角的度数【解】(1)PA平面ABCD，ABPA，

8、ADPA.BAD为二面角BPAD的平面角又由题意BAD90，二面角BPAD平面角的度数为90.(2)作BEPC于E，连接DE，BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知PBCPDC，则BPEDPE，从而PBEPDE.DEPBEP90，且BEDE.BED为二面角BPCD的平面角.PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC.又ABBC，PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB.设ABa，则BEa，BDa.sinBEO.BEO60，BED120.二面角BPCD的平面角的度数为120.【类题通法】确定二面角的平面角的方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个

9、特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，则AOB为二面角l的平面角(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB为二面角l的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的A点向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角如图，AOB为二面角l的平面角【巩固练习1】如图所示，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小.【解】PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，

10、ACBC.又PAACA，PA，AC平面PAC，BC平面PAC.而PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角.由PAAC知，PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.2.平面与平面垂直的判定例2.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点.求证：平面ABM平面A1B1M.【证明】由长方体的性质可知A1B1平面BCC1B1，又BM平面BCC1B1，所以A1B1BM.又CC12，M为CC1的中点，所以C1MCM1.在RtB1C1M中，B1M，同理BM，又B1B2，所以B1M2BM2B1B2，

11、从而BMB1M.又A1B1B1MB1，A1B1，B1M平面A1B1M，所以BM平面A1B1M，因为BM平面ABM，所以平面ABM平面A1B1M.【类题通法】证明平面与平面垂直的方法有两个(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角；(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直这是证明面面垂直的常用方法【巩固练习2】过点S引三条线段SA，SB，SC，其中BSC90，ASCBSA60，且SASBSCa.求证：平面ABC平面BSC.【证明】如图，取BC的中点D，连接SD，AD，由于ASCBSA60，且SASBSCa，所以SAC，SAB为正三角形

12、，即有ABACa，又BCa，所以三角形ABC为等腰直角三角形，所以ADBC，又SDBC，所以ADS恰好为二面角SBCA的平面角.又SDADBCa，而SAa，所以SAD为直角三角形，SDA为直角，所以平面ABC平面BSC.3.平面与平面垂直的性质例3. 如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC，求证：BCAC.【证明】过A作AEPC于E，由平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC，可知AE平面PBC.又BC平面PBC，故AEBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，故PABC.PAAEA，BC平面PAC.又AC平面PAC，故BCAC.【类题通法】在运用面面垂

13、直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而转化为线线垂直问题。【巩固练习3】如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB.【证明】(1)在菱形ABCD中，G为AD的中点，DAB60，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面PAD.(2)连接PG，如图，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGA

14、D，PGBGG，AD平面PGB，PB平面PGB，ADPB.（四）操作演练 素养提升1、自二面角棱l上任选一点O，若AOB是二面角l的平面角，则必须具有条件()AAOBO，AO，BO BAOl，BOlCABl，AO，BO DAOl，BOl，且AO，BO2.m，n表示直线，表示平面，给出下列三个命题：(1)若m，n，nm，则n；(2)若，m，n，则nm；(3)若m，n，mn，则.其中正确的命题为()A.(1)(2) B.(3)C.(2)(3) D.(1)(2)(3)3.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角D1BCD的平面角的大小为_4.如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE

15、折起，使得平面ADE平面BCDE，得到四棱锥ABCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是_【答案】1.D 2.B 3.45 4.垂直【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。（五）课堂小结，反思感悟 1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？ （2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。完成教材：第158页 练习 第1，2,3,4题第161页 练习 第1，2,3,4题 第162页 习题8.6 第6,7,8,9题