[32452878]11、微专题：半角公式及其应用-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册.docx

1、【学生版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式正弦余弦正切；【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系.（3）半角公式根号前符号的确定当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限当给出角的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各函数值的符号；若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号；【典例】题型1、利用半角公式求值例1、已知cos ，为第四象限的角

2、，求：tan的值；【提示】；【答案】；【解析】解法1、解法2、解法3、【说明】题型2：利用半角公式化简例2、设(，2)，化简：.【提示】；【答案】【解析】 【说明】 题型3、利用半角公式证明例3、求证：sin 2；题型4、利用半角求值，注意角的范围例4、已知角为钝角,为锐角,且,求与的值【归纳】1、半角公式：；2、半角公式的推导3、对半角公式的理解；【即时练习】1、设(，2)，则 等于()Asin Bcos Csin Dcos 2、化简4cos2(tan )的结果为()Acos sin Bsin 2 Csin 2 D2sin 23、已知sin 2，(0，)，则tan 等于 4、已知tan 3，

3、则cos 为 5、化简：(1tan xtan )= 6、在ABC中，sin，则tan 7、在ABC中，若cos A，则sin2cos 2A的值为_8、已知sin cos ，若450540，则tan _9、已知sin ，180270，求sin，cos，tan的值10、求证：sin21.【教师版】微专题：半角公式及其应用半角公式半角公式正弦余弦正切；【注意】（1）重视得到结果的过程，从思考与之间的关系入手，理解角的倍、半的相对性，思考与之间的关系；（2）使用公式时要深刻体会与的含义，如与，与等都可看成倍半关系.（3）半角公式根号前符号的确定当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符

4、号第一象限第一、三象限第二象限第一、三象限第三象限第二、四象限第四象限第二、四象限当给出角的范围(即某一区间)时，可先求的范围，再根据的范围来确定各函数值的符号；若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号；【典例】题型1、利用半角公式求值例1、已知cos ，为第四象限的角，求：tan的值；【提示】注意：角“”、“”呈二倍关系；注意：二倍角、半角公式的特征；【答案】 ；【解析】解法1、(用tan 来处理)因为，为第四象限的角，所以，是第二或第四象限的角，所以，tan0.则，根据公式tan .解法2、(用tan来处理)因为，为第四象限的角，所以，sin 0，所以，sin ；则，tan.

5、解法3、(用tan来处理)因为，为第四象限的角，所以，sin 0，cos0.故原式 |cos |cos；【说明】利用半角公式进行化简时，应正确选用升、降幂公式：当待化简式中含有根式时，应选用升幂公式(cos 212sin22cos21)去根号；当待化简式中含有高次式时，应选用降幂公式(sin2，cos2)降低次数以减少运算量，注意隐含条件中角的范围；题型3、利用半角公式证明例3、求证：sin 2；【提示】注意：二倍角公式、半角公式在“升幂、降幂”中的作用；【证明】左边sin cos sin 2 右边；所以，等式成立；【说明】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或

6、变更论证；常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法；证明条件三角恒等式，首先应观察条件与结论之间的差异(三角函数名及结构)，从解决某一差异入手，采用条件转化法或条件代入法；题型4、利用半角求值，注意角的范围例4、已知角为钝角,为锐角,且,求与的值【提示】注意：已知角与所求角之间的关系；【解析】因为角为钝角,为锐角,且,所以,. 所以.又因为,且,所以,即.所以；方法1、由,得，所以；方法2、由，得.所以【说明】对于含有半角的求值问题，一定要判断角的取值范围，以免产生增根；【归纳】1、半角公式：；2、半角公式的推导（1）；

7、（2）；（3）.3、对半角公式的理解半角公式中的正弦、余弦公式实际上是由二倍角的余弦公式变形得到的；半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos 的值及相应的的条件，sin，cos，tan便可求出；对“半角”的理解应是广义的，不能仅限于是的一半，其他如是2的一半，是的一半，是3的一半等，这里面蕴含着换元思想，半角是相对而言的，描述的是两个角之间的数量关系；由tan的推导过程可知，tan的符号与sin 的符号相同，且由于该式中不含被开方数，故不涉及符号问题，所以求解题目时，使用相对方便，但要注意该公式成立的条件，由1cos 0(2k1)，kZ，由sin 0k，kZ.解答涉及函

8、数的升降幂及角的二倍关系的题目时，常用sin2，cos2；【即时练习】1、设(，2)，则 等于()Asin Bcos Csin Dcos 【答案】D；【解析】因为，(，2)，所以，所以，cos 0，所以，原式 |cos |cos .2、化简4cos2(tan )的结果为()Acos sin Bsin 2 Csin 2 D2sin 2【答案】B；【解析】原式4cos22cos2tan 2cos22sin cos sin 2.3、已知sin 2，(0，)，则tan 等于 【答案】；【解析】因为，0，02，所以，cos 2 .则tan .4、已知tan 3，则cos 为 【答案】；【解析】方法1、c

9、os cos2sin2.方法2、因为，tan 3，所以，9，即1cos 99cos ，解得cos .5、化简：(1tan xtan )= 【答案】tan x；【解析】原式(1)sin x(1)sin xtan x；6、在ABC中，sin，则tan 【答案】2；【解析】因为在ABC中，sin，所以cos A，且A为锐角，所以tan2；7、在ABC中，若cos A，则sin2cos 2A的值为_【答案】【解析】因为，cos A，所以，原式cos2cos2A2cos2A12()21.8、已知sin cos ，若450540，则tan _【答案】2；【解析】由条件知12sin cos ，所以，2sin cos ，即sin 又450540，cos 0，所以，cos ；则tan 2.9、已知sin ，180270，求sin，cos，tan的值【解析】因为，180270，所以，90135；又因为，sin ，所以，cos ；所以，sin .cos .tan2；10、求证：sin21.【证明】由sin ，知sin ，所以，sin2，则sin211，原等式得证；