数列不等式放缩题型分类（解析版）.pdf

1、1数列不等式放缩题型分类考点分析由函数不等式化为数列不等式的方法x 1 lnx ln(1+x)x,(x 1)取：x=1n 则：1n ln(n+1)n取：x=1n+1 则：1n+1 ln(n+1)n题型一：指对数不等式化为数列不等式【精选例题】1 建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由 y=lnx 在点(0,1)处的切线 y=x-1 写出不等式 lnx x-1，进而用 n+1n替换 x 得到一系列不等式，叠加后有 ln(n+1)1+12+13+1n 这些

2、不等式同样体现数学之美运用类似方法推导，下面的不等式正确的有()A.n!en n-12B.12+13+1n lnnC.1+1n21+2n2 1+nn2 e34D.122+233+nn+1n+1 1 时，f x 0，当 0 x 1 时，f x 0，故 f x=x-1-lnx 在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增，故 f x=x-1-lnx 在 x=1 处取得极小值，也是最小值，f(x)min=0，故 lnx x-1，当且仅当 x=1 时等号成立，A 选项：n=1 时不等式左右两端相等，故 A 错误；B 选项：将 lnx x-1 中的 x 替换为 1-x，可得 ln 1-x 1-x-1=-x

3、,x 1，当且仅当 x=0 时等号成立，令 x=1n 0，可得 ln 1-1n 1n，故 ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1 12+13+1n，其中 ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1=lnn-ln1=lnn，所以 lnn 12+13+1n，B 正确；C 选项：将 lnx x-1 中的 x 替换为 1+in2，显然 1+in2 1，2则 ln 1+in2 in2，故 ln 1+1n2+ln 1+2n2+ln 1+nn2 n n+12n2，当 n 2 时，n n+12n2=12+12n 34，故 1+1n21+2n2 1+nn2 e34 成立；当 n=1 时，

4、2=1614 e314=e34 显然成立，故1+1n21+2n2 1+nn2 e34,C 正确；D 选项：将 lnx x-1 中的 x 替换为 n-1n，其中，n N*且 n 2，则 ln n-1n-1n，则 nln n-1n-1，故n-1nn 1e，则122+233+nn+1n+1 12 1e，D 错误.故选：BC2 已知函数 f x=lnx-ax+1，其中 a R(1)若函数 f x的图象恒不在 x 轴上方，求实数 a 的取值范围；(2)证明：1+12+13+1n ln n+1，其中 n N*【答案】(1)1,+；(2)证明见解析【详解】(1)解：由函数 f x的图象恒不在 x 轴上方，且

5、 f x=lnx-ax+1，即 f x=lnx-ax+1 0 恒成立，即 a lnx+1x在 0,+上恒成立，令 g x=lnx+1x,(x 0)，可得 g x=-lnxx2，当 x 0,1时，g x 0；当 x 1,+时，g x ln n+1n，所以 1+12+13+1n ln 21+ln 32+ln 43+ln n+1n=ln(21 32 43 n+1n=ln n+1，即当 n N 时，1+12+13+1n ln n+13 已知函数 f(x)=ex-12 ax2-x.(1)若 f(x)在 x R 上单调递增，求 a 的值；(2)证明：(1+1)1+14 1+1n2 e2(n N*且 n 2

6、).【答案】(1)1；(2)证明见解析.【详解】(1)函数 f(x)=ex-12 ax2-x，求导得 f(x)=ex-ax-1，由于函数 f x在 R 上单调递增，则 fx=ex-ax-1 0 恒成立，令 h x=ex-ax-1，则 h x=ex-a，当 a=0 时，f x=ex-1，当 x 0 时，f x 0，不满足条件；当 a 0，h x在 R 上单调递增，又 h 1a=e1a-a 1a-13=e1a-2 0，即 f1a 0 时，令 h x=0，得 x=lna，则当 x lna 时，h x lna 时，h x 0，h x单调递增，于是当 x=lna 时，h x取得最小值h lna=elna

7、-alna-1=a-alna-1，于是 h lna 0，即 a-1-alna 0，令 u a=a-1-alna，则 u a=-lna，当 0 a 0，u a单调递增；a 1 时，u a 0 时，ln x+1 x，因此当 n N*且 n 2 时，ln1+11+14 1+1n2=ln 1+1+ln 1+14+ln 1+1n2 1+14+1n2，而当 n 2 时，1n2 1n n-1=1n-1-1n，所以 1+14+1n2 1+1-12+12-13+1n-1-1n=1+1-1n 2，则 ln1+11+14 1+1n2 2，所以，1+11+14 1+1n2 e2.4 已知函数 f x=12 x2-xl

8、nx+t t R.(1)g x是 f x的导函数，求 g x的最小值；(2)证明：对任意正整数 n n 2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n2 0，g x=1-1x=x-1x，令 g x=0，解得 x=1，又 x 0,1时，g x 0，所以 g x在0,1上单调递减，在 1,+单调递增，g x g 1=0，即 g x的最小值为 0.(2)证明：由(1)得，g x=x-1-lnx 0，可知 x-1 lnx，当且仅当 x=1 时等号成立，令 x=1+1k2 1，则 ln 1+1k2 1k2 1k k-1=1k-1-1k,k=2,3,4,n.ln 1+122+ln 1+132+ln

9、 1+142+ln 1+1n2 1-12+12-13+13-14+1n-1-1n=1-1n 1，即 ln 1+122+ln 1+132+4ln 1+142+ln 1+1n2 1，也即 ln1+1221+1321+142 1+1n2 lne，所以 1+1221+1321+1421+1n2 e，故对任意正整数 n n 2，都有 1+122 1+132 1+142 1+1n2 e(e=2718；n N*)【答案】(1)单调递减区间 0,1，单调递增区间 1,+；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【详解】(1)当 a=-1 时，f x=1x+lnx 定义域为 0,+，求导得 f x=-1x2+1x=

10、x-1x2，当 x 0,1时，f x 0，即 f x在 0,1上递减，在 1,+递增，所以函数 f x的单调递减区间为 0,1，单调递增区间为 1,+(2)x 0,e，f x=1x-alnx，求导得 f(x)=-1x2-ax=-ax+1x2，当 a 0 时，f x 0 恒成立，即函数 f x在 0,e上单调递减，因此 f xmin=f e=1e-a；当 a 0 时，由 f x=0，得 x=-1a，当-1a e，即-1e a 0 时，f x 0，函数 f x在 0,e上单调递减，因此 f xmin=f e=1e-a；当 0-1a e，即 a-1e 时，由 f x 0，得 x -1a,e，即函数f

11、 x在 0,-1a上单调递减，在-1a,e上单调递增，因此 f xmin=f-1a=-a-aln-1a，所以当 a -1e,+时，f xmin=1e-a，当 a-,-1e时，f xmin=-a-aln-1a.(3)由(1)知，当 a=-1 时，f x=1x+lnx 在 x=1 处取得最小值 f 1=1，即 1x+lnx 1，于是 lnx 1-1x x 0，n N，令 x=1+1n，则有 ln 1+1n 1-11+1n=1n+1，因此(n+1)ln 1+1n 1，即ln 1+1nn+1 1，所以 1+1nn+1 e6 已知函数 f x=ln x+1-xx+1.5(1)求 f x的极值；(2)对任

12、意的 n N*，求证：1n+1+1n+2+12n ln2.【答案】(1)极小值 0，无极大值；(2)证明见解析【详解】(1)因为 f(x)=ln(x+1)-xx+1=ln(x+1)+1x+1-1，则 f(x)=1x+1-1(x+1)2=x(x+1)2，当 x (-1，0)时，f(x)0，故 f(x)在(-1，0)上单调递减，在(0，+)上单调递增，故 f(x)在 x=0 处取得极小值 f(0)=0，无极大值.(2)由(1)知 f(x)在(0，+)上单调递增，故 x (0，+)时，f(x)f(0)=0，即：ln(x+1)xx+1，令 x=1n 得，ln 1+1n1n1+1n，化简得：ln n+1

13、n1n+1，于是有：ln n+1n1n+1，ln n+2n+11n+2，ln2n2n-1 12n，累加得：ln n+1n+ln n+2n+1+ln2n2n-11n+1+1n+2+12n，ln 2nn=ln n+1nn+2n+12n2n-11n+1+1n+2+12n，即1n+1+1n+2+12n 1-1n+1，n N+【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】(1)证明：f x=1x-1x2=x-1x2x 0，令 f x=0 恒成立，解得 x=1，当 f x 0 时，解得 x 1，当 f x 0，解得 0 x 0 在 x 1,+恒成立，即 lnx-x-1x 0，lnx x-1x，当 n

14、N+时，令 x=1+1n2 1,+，则 1x=n2n2+1=1-1n2+1，x-1x=1-1x=1n2+1，所以 ln 1+1n21n2+11n2+n=1n n+1=1n-1n+1，所以 ln 1+112 1-12，ln 1+122 12-13，ln 1+1n2 1n-1n+1，所以 ln 1+112+ln 1+122+ln 1+1n2 1-612+12-13+1n-1n+1=1-1n+1，即 ln1+1121+1221+132 1+1n2 1-1n+1，n N+.得证8 已知函数 f x=alnx+a-1x.(1)若 xf x x-1 恒成立，求 a 的取值范围；(2)当 a=1 时，证明：

15、f 22+f 33+f nn 0，则 h x=1-ax=x-ax.当 a=0 时，h x=x 0，合乎题意；当 a 0 时，由基本不等式可得a+1a=-a+1-a-2-a1-a=-2，当且仅当 a=-1 时，等号成立，a2+a+1=a+122+34 34，当且仅当 a=-12 时，等号成立，所以，h ea+1a=ea+1a-a a+1a-a=ea+1a-a2+a+1 e-2-34=1e2-34 0 时，h x=1-ax=x-ax，当 0 x a 时，h x a 时，h x 0，此时函数 h x单调递增，所以，h(x)min=h a=a-alna-a=-alna 0，可得 lna 0，解得 0

16、a 1.综上所述，实数 a 的取值范围是 0,1；(2)当 a=1 时，f x=lnxx，所以 f nn=lnnn2.由(1)知：xf x x-1，即 lnx x-1，所以 lnxx1-1x.令 x=n2，得 lnn2n2 1-1n2，即 2lnnn2 1-1n2，所以 lnnn2 12 1-1n2.当 n=2 时，f 22=ln24，则 n2+12n+2-1924=38，显然 ln24 14 38，结论成立；当 n 3 时，f 22+f 33+f nn=ln222+ln332+lnnn2 12 1-122+1-132+1-1n2=12n-1-122+132+1n2 12n-1-14+13 4

17、+14 5+1n n+1=12n-1-14+13-14+14-15+1n-1n+1=12n-1-712-1n+1=12 n+1n+1-1912=n2+12n+2-1924，结论成立.因此，当 n 2 时，f 22+f 33+f nn n2+12n+2-1924 成立.7【跟踪训练】1 利用“lnx x-1”可得到许多与 n(n 2 且 n N*)有关的结论 ln n+1 12+13+1n，1+121+122 1+12n e，1nn+2nn+nnn 1 时，f x 0，当 0 x 1 时，f x 0，故 f x=x-1-lnx 在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增，故 f x=x-1-ln

18、x 在 x=1 处取得极小值，也时最小值，f xmin=0，故 lnx x-1，当且仅当 x=1 时，等号成立，对于，令 x=1+1n 1，所以 ln 1+1n 1+1n-1=1n，故 ln 1+11+ln 1+12+ln 1+1n 1+12+1n，其中 ln 1+11+ln 1+12+ln 1+1n=ln2-ln1+ln3-ln2+ln n+1-lnn=ln n+1-ln1=ln n+1，所以 ln n+1 1+12+13+1n，故正确；对于，将 lnx x-1 中的 x 替换为 1-x，可得ln 1-x 1-x-1=-x，x 1，当且仅当 x=0 时等号成立，令 x=1n 0，可得 ln

19、1-1n 1n，故 ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1 12+13+1n，其中 ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1=lnn-ln1=lnn，所以 lnn 12+13+1n，故正确；对于，将 lnx x-1 中的 x 替换为 1+12n，显然 1+12n 1，则 ln 1+12n 1+12n-1=12n，故 ln 1+12+ln 1+122+ln 1+12n 12+122+12n=12 1-12n1-12=1-12n 1，故1+121+122 1+12n e，故错误；对于，将 lnx x-1 中的 x 替换为 in，其中 i N，n N*，则 ln in in

20、-1，则 nln in i-n，故inn ei-n，当且仅当 i=n 时，等号成立，则1nn+2nn+nnn e1-n+e2-n+en-n=e1-n 1-en1-e=e-e1-ne-1 0)(1)若 f(x)0 在 1，+)上恒成立，求实数 a 的取值范围；(2)证明：1+13+15+12n-1 12 ln(2n+1)+n2n+1(n N*)【解 析】解：(1)f(x)的 定 义 域 为(0,+)，f (x)=a-2x-a-2x2=ax2-2x+2-ax2=a(x-1)x-2-aax2当 0 a 1，若 1 x 2-aa，则 f(x)0，f(x)在 1,2-aa上是减函数，所以 x 1,2-a

21、2时，f(x)1 时，f(x)0，f(x)在，1+)上是增函数，又 f(1)=0，所以 f(x)0综上所述，所求 a 的取值范围是 1，+)(2)由(1)知当 a 1 时，f(x)0 在 1，+)上恒成立取 a=1 得 x-2lnx-1x 0，所以 x-1x 2lnx令 x=2n+12n-1，n N*，得 2n+12n-1-2n-12n+1 2 ln 2n+12n-1，即 1+22n-1-1-22n+12ln 2n+12n-1，所以12n-1 12 ln 2n+12n-1+1212n-1-12n+1，上式中 n=1，2，3，n，然后 n 个不等式相加，得到：1+13+15+12n-1 12 l

22、n(2n+1)+n2n+1(n N*)3 已知 f x=ln 1+x-x.(1)证明：f x 0；(2)证明：n 2 时，lnn 0，解得-1 x 0：令 f x 0.所以 f x在-1,0上单调递增，在 0,+上单调递减，所以 f x的最大值为 f 0=0，所以 f x 0.(2)由(1)知 ln 1+x x，当且仅当 x=0 时等号成立，9所以 ln 1+12 12，ln 1+13 13，ln 1+14 14，ln 1+12n-112n-1，所以 ln 1+12+ln 1+13+ln 1+14+ln 1+12n-1=ln 32 43 54 2n2n-1=lnn 12+13+14+12n-1

23、.4 已知函数 f x=x-1-alnx，a R.(1)若 f x存在极值，求 a 的取值范围；(2)若 f x 0，求 a 的值；(3)对于任意正整数 n，是否存在整数 m，使得不等式 1+121+122 1+12n 0 恒成立，此时 f x在(0,+)上单调递增，无极值；当 a 0 时，令 f x=0 得 x=a，x (0,a)时，f x 0，所以 f x在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，此时f x有极小值为 f a，无极大值.综上所述，若 f x存在极值，则 a 的取值范围是(0,+).(2)f 1=0，由(1)可知，当 a 0 时，f x 0 恒成立，此时 f x在(0,

24、+)上单调递增，与 f x 0恒成立矛盾；当 a 0 时，由(1)可知，f x在(0,a)上单调递减，在(a,+)上单调递增，所以 f xmin=f(a)，则需 f(a)0，若 a=1，则 f(a)=f 1=0，符合题意；若 0 a 1，则 f(a)1，则 f(a)f 1=0，不合题意舍去.综上所述，a=1.(3)由(2)可知当 a=1 时 f x=x-1-lnx 0，即 lnx x-1，所以 ln(x+1)x 恒成立，当且仅当x=0 时取等号，所以 ln 1+12k 12k，k N*，一方面，ln 1+12+ln 1+122+ln 1+12n12+122+12n=1-12n 1，即 1+12

25、1+122 1+12n1+121+1221+123=13564 2，从而当 n 3 时，1+121+122 1+12n(2,e)，因为 m 为正整数，且对于任意正整数 n，1+121+122 1+12n m 恒成立，故 m 的最小值为 3.5 已知函数 f x=xlnx-m x-1，且 f x 0.10(1)求实数 m 的取值范围；(2)设 k 为整数，且对任意正整数 n，不等式 1+131+132 1+13n k 恒成立，求 k 的最小值；(3)证明：202320242024 1e 0 恒成立 g x在0,+上单调递增，且 g 1=0 x 0,1时，g x 0 时，令 g x 0，则 x m

26、；令 g x 0，则 0 x 0，则 0 x 1；令 h x 1.h x在 0,1上单调递增，在 1,+上单调递减 h(x)max=h 1=0，即当 h m 0 时，m=1 m 的取值范围是：m=1.法二：f 1=0,f x 0 在 0,+上恒成立，f 1是 f x上最小值，也是极小值 f x=lnx+1-m f 1=1-m=0，即 m=1，当 m=1 时，f x=xlnx-x+1,f x=lnx令 f x 0，则 x 1；令 f x 0，则 0 x 1，f x在 0,1上单调递减，在 1,+上单调递增即 f(x)min=f 1=0，满足：f x 0 在 0,+上恒成立，m=1(2)由(1)知

27、，h x 0，即 lnx x-1 在 0,+上恒成立(当且仅当 x=1 时取等)令 x=1+13n，则ln 1+13n 13n.ln 1+131+ln 1+132+ln 1+13n 131+132+13n=13 1-13n1-13=12 1-13n 12 即1+1311+132 1+13n 1 且 k Z,k 的最小值为 2.(3)不等式 lnx x-1 在 0,+上恒成立(当且仅当 x=1 时取等)令 x=1+12023，则ln 1+12023 1e.令 x=1-12024，则 ln 1-12024-12024，即202320242024 1e 故202320242024 1e 18+227

28、+n-1n3【答案】(1)y=x；(2)证明见解析；(3)证明见解析【详解】(1)因为 f x=x3+ln x+1定义域为-1,+，又 f x=3x2+1x+1，故 f 0=1，故切线方程为 y-0=f 0 x-0，即 y=x.(2)令 g x=x3+ln x+1-x2，x 0,+，则 g x=3x2-2x+1x+1=3x3+x2-2x+1x+1=3x3+x-12x+1当 x 0 时，g x 0，g x单调递增，故 g x g 0=0，即当 x 0 时，ln x+1+x3-x2 0，即当x 0 时，x3+ln x+1 x2恒成立；(3)由(2)可知当 x 0 时，ln x+1+x3-x2 0

29、恒成立，且当且仅当 x=0 时 ln x+1+x3-x2=0，所以当 x 0 时，ln x+1+x3-x2 0 恒成立，令 x=1n，n N*且 n 2，得 ln 1+1n+1n3-1n2 0，即 ln n+1-lnn 1n2-1n3=n-1n3，由此可得，ln2-ln1 112-113=0，ln3-ln2 122-123=18，ln n+1-lnn 1n2-1n3=n-1n3，将以上 n 个式子相加得 ln n+1 18+227+n-1n3，n N*且 n 2.7 已知函数 f x=ln x+1-axex,0 a 1(1)判断函数 f x的零点个数；(2)证明：当 n N,n 1 时，证明：

30、ln1+ln2+ln3+lnn-1，则 h x=-1(x+1)2-a x+2ex f 0=1-a 0，此时 f x单调递增，f x f 0=0，故函数无零点.下证：当 x -1,+时，ln x+1 x，令 g x=ln x+1-x，则 g x=1x+1-1=-xx+1，当-1 x 0；当 x 0 时，g x 0，12f1a=11a+1-a 1a+1e1a11a+1-a 1a+11a+1=-a3-2a2-3a-1a a+1 f 0=0，f1a=ln 1a+1-a 1a e1a=ln 1a+1-e1a 1a-1a+1=-1 0,所以在 0,+上存在一个零点.综上：函数 f x恰有两个零点.(2)由

31、(1)可知，ln x+1 x ex在 1,+上恒成立，于是可得 ln2 e,ln3 e2,ln4 e3,lnn en-1，其中 n N,n 2，以上各式左右相加得，ln2+ln3+ln4+lnn e+e2+e3+en-1，所以ln1+ln2+ln3+.+lnn 0 时，f(x)0 恒成立，求正整数 k 的最大值；()证明：(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)en 2-3n+1【解析】解：(1)f(x)=x+1-k(x+1)2，x-1，当 k 0 时，f(x)0，函数在(-1,+)上单调递增，没有极值；当 k 0 时，由 f(x)0 得 x k-1，由 f(x)0 得-1 x 0 时，f

32、(x)0 恒成立，即只要 f(x)min 0 即可，由(1)k 0 时，f(x)在(-1,k-1)上单调递减，在(k-1,+)上单调递增，(a)若 k-1 0 即 k 1 时，f(x)在(0,+)上单调递增，f(x)minf(0)=1 满足题意；(b)当 k-1 0 即 k 1 时，f(x)在(0,k-1)上单调递减，在(k-1,+)上单调递增，f(x)min=f(k-1)=lnk-k+2 0，令 g(x)=lnx-x+2，则 g(x)=1-xx 0，g(3)=ln3-1 0，g(4)=ln4-2 0 的解集为(1,x0)，综上 k 的取值范围(-,x0)，其中 x0(3,4)，所以正整数 k

33、 的最大值3；(ii)证明：两边取对数得 ln(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)2n-3nn+1，即只要证 ln(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)2n-3nn+1，由(i)知 ln(x+1)3xx+1-1=2-3x+1，令 x=n(n+1)，则 lnn(n+1)+1 2-3n(n+1)+1 2-3n(n+1)=2-3n-3n+1，13ln(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)2n-3 1-12+12-13+1n-1n+1=2n-3nn+1，所以(1+1 2)(1+2 3)1+n(n+1)en 2-3n+1题型二：三角函数不等式化为数列不等式【精选例题】1 已知函数 f

34、 x=sinx-axx+2 0 x 0，求 a 的取值范围；(3)证明：23-22n+3 nk=1sin1k k+1 1.【答案】(1)证明见解析；(2)a 2；(3)证明见解析【详解】(1)g x=-sinx+x，记 h x=-sinx+x，h x=1-cosx 0，故 g x单调递增，又 gx g 0=0，g x单调递增，所以 g x g 0=0，即 cosx 1-x22.(2)f x=cosx-2ax+22，f 0=0，若 0 x 0，则存在区间 0,x0，使得 f x单调递增，故必有 f 0=1-a2 0，即 a 2，验证：当 a 2 时，f x cosx-4x+22.由(1)可知 c

35、osx 1-x22，f x 1-x22-4x+22=8x-2x2-4x3-x42 x+22=x 8-2x-4x2-x32 x+22 x 8-2-4-12 x+22=x2 x+22 0，即 f x在 0,1上单调递增，f x f 0=0 满足题意，综上，a 2.(3)由(2)可知，当 a=2，0 x 1 时，2xx+2 sinx x，取 x=1k k+1，则 sin1k k+11k k+1=1k-1k+1，nk=1sin1k k+1 1-12+12-13+1k-1k+1=1-1n+1 1k2+k+121k+12-1k+32，nk=1sin1k k+111+12-11+32+12+12-12+32

36、+1n+12-1n+32=23-22n+3，综上 23-22n+3 nk=1sin1k k+1 1.142 已知函数 f x=xlnx-a x-1.(1)若 f x 0，求实数 a 的值；(2)已知 n N*且 n 2，求证：sin 12+sin 13+sin 1n 0)，则 g x=1-cosx 0，且 g x不恒为零，所以函数 g x在 0,+上单调递增，故 g x g 0=0，则 sinx 0)，所以 sin 1k 1k lnk-ln k-1,k 2,3,n，令 k 分别取 2,3,n，累加得：sin 12+sin 13+sin 1n ln2-ln1+ln3-ln2+lnn-ln n-1

37、=lnn.即证.3 已知函数 f x=tanx+ln 1-x,x -2,1.(1)求 f x的极值；(2)求证：ln n+12 tan 12+tan 13+tan 1n lnn n 2,n N*.【答案】(1)f x的极大值为 0，没有极小值；(2)证明见解析【详解】(1)因为函数 f x=tanx+ln 1-x,x -2,1，所以 f x=1cos2x+-11-x=1cos2x+1x-1=x-1+cos2xx-1cos2x，设 h x=x-1+cos2x，h x=1-2cosxsinx=1-sin2x 0，所以 h x在-2,1上单调递增.又 h 0=0，所以当 x -2,0时，h x 0.

38、又因为 x-1cos2x 0；当 x 0,1时，f x 0.即 f x在区间15-2,0上单调递增，在区间 0,1上单调递减，故 f x极大值=f 0=0，f x没有极小值.(2)由(1)可知 f x=tanx+ln 1-x 0，所以 tanx-ln 1-x,ln 1-x-tanx=tan-x，当且仅当 x=0，取“=”.由(1)得 tan 12-ln 12,tan 13-ln 23,tan 1n-ln n-1n，累加得 tan 12+tan 13+tan 1n-ln 12 23 n-1n=-ln 1n=lnn；由得 ln 32 tan 12,ln 43 tan 13,ln n+1n ln 3

39、2 43 n+1n=ln n+12.综上所述，ln n+12tan 12+tan 13+tan 1n-1 时，f x g x，求实数 a 的取值范围；(2)已知 n N*，证明：sin1n+1+sin1n+2+sin 12n-1，则 h x=1x+1-1=-xx+1，当-1 x 0，则函数 h x在-1,0上单调递增，当 x 0 时，h x 0，则函数 h x在 0,+上单调递减，所以，h xmax=h 0=0，即 ln x+1 x，所以，当 a 0 时，ln x+1 x ax2+x，即 f xg x，当 a 0，由于 ln 1+x0 ln1=0，而 ax20+x0=a -1a2-1a=0，得

40、 ln x0+1 ax20+x0，故 f x0 g x0，不合乎题意.综上所述，a 0.(2)证明：当 a=0 时，由(1)可得 ln x+1 x，则 lnx x-1，可得 ln 1x 1x-1，即-lnx 1x-1，即 lnx 1-1x x 1，令 1t=1-1x，所以，x=tt-1，所以，lntt-1 1t，即 lnt-ln t-1 1t t 1，所以，1n+k ln n+k-ln n+k-1，k 0,1,2,n，令 g x=x-sinx x 0，则 g x=1-cosx 0，且 gx不恒为零，所以，函数 g x在 0,+上单调递增，故 g x g 0=0，则 sinx 0，所以，sin1

41、n+k 1n+k ln n+k-ln n+k-1，k 0,1,2,n，所以，sin1n+1+sin1n+2+sin 12n16 ln n+1-lnn+ln n+2-ln n+1+ln 2n-ln 2n-1=ln 2n-lnn=ln 2nn=ln2.2 已知函数 f(x)=sinx-x+16 x3(1)证明：对 x 0,+),f(x)0 恒成立；(2)是否存在 n N，使得 ln2 sin11 3+sin12 4+sin1n(n+2)0 时，h(x)=-sinx+x 0，即 sinx x，故 sin1k(k+2)1k(k+2)，所以 sin11 3+sin12 4+sin1n(n+2)=nk=1

42、sin1k(k+2)nk=11k(k+2)=12nk=11k-1k+2=12 1-13+12-14+13-15+1n-1n+2=12 1+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2 0 时，sinx x-16 x3设 F(x)=x-16 x3-ln(1+x)，x 0,1，则 F(x)=1-12 x2-1x+1=-x(x-1)(x+2)2(x+1)在 0,1上有 F(x)0，所以 F(x)在 x 0,1上单调递增，故当 0 x 0此时 sinx x-16 x3 ln(1+x)，令 x=1n(n+2)n N，可知 sin1n(n+2)ln 1+1n(n+2)=ln(n+1)2n(n+2

43、)=ln n+1n-ln n+2n+1，所以当 n 2,n N时，sin11 3+sin12 4+sin1n(n+2)=sin 13+nk=2sin1k(k+2)sin 13+nk=2 ln k+1k-ln k+2k+1=sin 13+ln 32-ln 1+1n+1，令 sin 13+ln 32-ln 1+1n+1 ln2，注意到 sin 13+ln 32 ln 1+13+ln 32=ln2，所以可得到一个充分条件，即 n 1esin 13+ln 32-ln2-1-1=43esin 13-4-1，所以任17取 n 43esin 13-4+1,n N，则该侧不等式成立，(43esin 13-4表示43esin 13-4整数部分)，因此，对于任意 n 43esin 13-4+1,n N，原不等式都成立即所求的 n 是存在的