2021高考数学理科（全国版）一轮复习教师用书：第六章第四讲　数列求和及数列的综合应用 WORD版含解析.docx

1、第四讲数列求和及数列的综合应用考法1 数列求和命题角度1用公式法和分组转化法求和1 2019山东五地联考已知等差数列an的前n项和为Sn,且关于x的不等式a1x2 - S2x+20的解集为(1,2).(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=a2n+2an - 1,求数列bn的前n项和Tn.(1)先设等差数列an的公差为d,再根据题意求出a1与d,进而可求出数列an的通项公式;(2)先由(1)的结论及bn=a2n+2an - 1求出bn,再利用等差数列与等比数列的求和公式,以及分组转化法,即可求出结果.(1)设等差数列an的公差为d,因为关于x的不等式a1x2 - S2x+20).

2、因为b2+b3=12,所以b1(q+q2)=12.又b1=2,所以q+q2 - 6=0,解得q=2(q= - 3舍去),所以bn=2n.由b3=a4 - 2a1,S11=11b4,可得8=3d-a1,11a1+11102d=1124,(构造方程组)解得a1=1,d=3,所以an=3n - 2.所以数列an的通项公式为an=3n - 2,数列bn的通项公式为bn=2n.()由()知,a2n=6n - 2,b2n - 1=24n - 1.设数列a2nb2n - 1的前n项和为Tn,a2nb2n - 1=(3n - 1)4n,故Tn=24+542+843+(3n - 1)4n,4Tn=242+543

3、+(3n - 4)4n+(3n - 1)4n+1, - 得, - 3Tn=24+342+343+34n - (3n - 1)4n+1(错位相减时,注意最后一项的符号)=12(1-4n)1-4 - 4 - (3n - 1)4n+1(用公式法求和时,注意项数)= - (3n - 2)4n+1 - 8,所以Tn=3n-234n+1+83.故数列a2nb2n - 1的前n项和为3n-234n+1+83.2.2020四川五校联考设数列an是等差数列,数列bn的前n项和Sn满足2Sn=3(bn - 1)且a1=b1,a4=b2.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)求anbn的前n项和Tn.命题角度3用

4、裂项相消法求和3 2019广东惠州第三次调研已知数列an的前n项和Sn满足2Sn=n2+3n,nN*.(1)求an的通项公式;(2)求数列1a2n-1a2n+1的前n项和Tn.(1)利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2可求出an的通项公式;(2)利用(1)的结论,求出数列1a2n-1a2n+1的通项,再利用裂项相消法求出其前n项和Tn.(1)当n2时,2Sn - 1=(n - 1)2+3(n - 1),又2Sn=n2+3n,两式相减得2an=2n+2,所以an=n+1.当n=1时,2S1=2a1=4,解得a1=2.因为a1=2满足式子an=n+1,(验证首项不能漏)故an的通项公式为a

5、n=n+1(nN*).(2)由(1)知1a2n-1a2n+1=12n(2n+2)=141n(n+1)=14(1n-1n+1),(裂项,注意系数14不要漏)所以Tn=14(11-12)+(12-13)+(1n-1n+1)=14(1 - 1n+1)=n4n+4.3.2017全国卷,15,5分理等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则=.命题角度4用倒序相加法求和4已知函数f (x)=4x4x+2,数列an的通项公式为an=f (n2020),则数列an的前2 019项和为.由题意可得f (x)+f (1 - x)=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+11+24x-1=4

6、x4x+2+22+4x=1.因为数列an的前2019项和S2019=f (12020)+f (22020)+f (20182020)+f (20192020),(这个等式的右边是2019项的和)所以S2019=f (20192020)+f (20182020)+f (22020)+f (12020),(倒过来写)+得,2S2019=f (12020)+f (20192020)+f (22020)+f (20182020)+f (20192020)+f (12020)=20191=2019,所以S2019=20192,所以数列an的前2019项和为20192.解后反思本题的易错点有两处:一是倒序

7、后,将两式相加得出的式子易出错,如两式相加后易误得S2019=f (12020)+f (20192020)+f (22020)+f (20182020)+f (20192020)+f (12020),等号左边漏乘了2,从而导致结果出错;二是两式相加求和时易出错,相加后的式子中含有4038项,即有2019对,这点需注意.4.已知平面向量a=(lg x,1),b=(1,lg y)满足ab=12,且S=lg xn+lg(xn - 1y)+lg(xn - 2y2)+lg(xyn - 1)+lg yn,则S=.命题角度5用并项求和法求和5 2016天津,18,13分已知an是等比数列,前n项和为Sn(n

8、N*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.(1)求an的通项公式;(2)若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列( - 1)nbn2的前2n项和.(1)根据已知等式及S6=63求得q,进而求得首项,即可得到an的通项公式;(2)先由(1)得bn的通项公式,再用并项求和法求数列( - 1)nbn2的前2n项和.(1)设数列an的公比为q.由已知,有1a1-1a1q=2a1q2,解得q=2或q= - 1.又由S6=a11-q61-q=63,知q - 1,所以a11-261-2=63,解得a1=1.所以an=2n - 1.(2)由题意,得bn=12(log2an+

9、log2an+1)=12(log22n - 1+log22n)=n - 12,即bn是首项为12,公差为1的等差数列.设数列( - 1)nbn2的前n项和为Tn,则T2n=( - b12+b22)+( - b32+b42)+( - b2n-12+b2n2)=b1+b2+b3+b4+b2n - 1+b2n=2n(b1+b2n)2=2n2.5.2020合肥市调研检测设an=( - 1)n - 1n2,则a1+a2+a3+a51=.考法2等差、等比数列的综合问题6数列an的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1)求an的通项公式;(2)等差数列bn的各项为正,其前n项和为T

10、n,且T3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn.(1)根据已知的递推关系求an的通项公式;(2)根据等比关系列方程求公差,则前n项和Tn易求.(1)由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn - 1+1(n2),两式相减得an+1 - an=2an,则an+1=3an(n2).因为a1=S1=1,a2=2S1+1=3,所以a2=3a1.故an是首项为1,公比为3的等比数列,所以an=3n - 1.(2)设等差数列bn的公差为d.由T3=15,即b1+b2+b3=15,可得b2=5,故b1=5 - d,b3=5+d.又a1=1,a2=3,a3=9,且由a1+b1,a2+b

11、2,a3+b3成等比数列可得(1+5 - d)(9+5+d)=(3+5)2,解得d=2或d= - 10.因为等差数列bn的各项为正,所以d0.所以d=2,b1=3,所以Tn=3n+n(n-1)22=n2+2n.考法3数列与其他知识的综合命题角度1数列与函数的交汇7 2019吉林长春联考已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,a6和a8是函数f (x)=154ln x+12x2 - 8x的极值点,则S8=A. - 38B.38C. - 17D.17因为f (x)=154lnx+12x2 - 8x,所以f (x)=154x+x - 8=x2-8x+154x=(x-12)(x-152)x.令f

12、(x)=0,解得x=12或x=152.因为数列an的公差d0,所以数列an是单调递增数列,又a6和a8是函数f (x)的极值点,所以a6=12,a8=152,所以a1+5d=12,a1+7d=152,解得a1=-17,d=72.所以S8=8( - 17)+8(8-1)272= - 38.A命题角度2数列与不等式的交汇8 2019福建厦门联考已知等差数列an的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.(1)求数列an的通项公式及前n项和Sn.(2)求证:1S1+1S2+1Sn2.(1)设等差数列an的公差为d,由已知得a5+a13=34,3a2=9,即a1+8d=17,a1+d=3,解得a

13、1=1,d=2,故an=2n - 1,Sn=n2.(2)1S1+1S2+1Sn=1+122+132+1n21+112+123+1n(n-1)(注意放大技巧:把1n2放大为1n(n-1)=1+(1 - 12)+(12-13)+(1n-1-1n)(裂项)=2 - 1n(消项)0,|2),f (x)的部分图象如图6 - 4 - 1所示,Sn为数列an的前n项和,则S2 019的值为()A. - 1B.0C.12D.1考法4数列的实际应用9 2019重庆八中模拟实施“二孩”政策后,专家估计某地区人口总数将发生如下变化:从2019年开始到2028年,每年人口总数比上一年增加0.5万人,从2029年开始到

14、2038年,每年人口总数为上一年的99%.已知该地区2018年人口总数为45万.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式(注:2019年为第一年);(2)若“二孩”政策实施后,2019年到2038年人口平均值超过49万,则需调整政策,否则继续实施,问到2038年结束后是否需要调整政策?(参考数据:0.99100.9)(1)根据题意可知an是分段数列,其中第一段是等差数列,第二段是等比数列,根据等差、等比数列的通项公式即可得到an的表达式;(2)设数列an的前n项和为Sn,根据等差、等比数列的前n项和公式求出S20,并比较S2020与49的大小,即可得出结论.(1)由

15、题意知,当1n10时,数列an是首项为45.5,公差为0.5的等差数列,可得an=45.5+0.5(n - 1)=0.5n+45,则a10=50;当11n20时,数列an是公比为0.99的等比数列,则an=500.99n - 10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位:万人)的表达式为an=0.5n+45,1n10,500.99n-10,11n20.(2)设Sn为数列an的前n项和.从2019年到2038年共20年,由等差数列及等比数列的求和公式得S20=S10+(a11+a12+a20)=477.5+4950(1 - 0.9910)972.5.所以“二孩”政策实施后的2019年到2

16、038年人口平均值为S202048.63,则S2020100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440B.330C.220D.110数学探究数列的新定义问题102016全国卷,17,12分理Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=lg an,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,lg 99=1.(1)求b1,b11,b101;(2)求数列bn的前1 000项和.关键信息信息转化Sn为等差数列an的前n项和,且a1=1,S7=28可以求得数列an的通项公式bn=lgan,x的定义可以分别求解b1,b2,b3,b1000数列bn的前1000项和

17、分组求和(1)设an的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以an的通项公式为an=n.b1=lg1=0,b11=lg11=1,b101=lg101=2.(2)记bn的前n项和为Tn,则T1000=b1+b2+b1000=lga1+lga2+lga1000,当0lgan1时,n=1,2,9;当1lgan2时,n=10,11,99;当2lgan3时,n=100,101,999;当lgan=3时,n=1000.所以bn=0,1n10,1,10n100,2,100n1000,3,n=1000,所以数列bn的前1000项和为09+190+2900+31=1893.取整函数具有天生的“离散性

18、”,与数列的“离散性”相似,常常作为数列的新定义问题的载体.本题以取整函数为载体,考查了取整函数的性质,同时考查了逻辑推理素养与运算求解能力.素养探源核心素养考查途径素养水平逻辑推理bn的通项公式的规律的发现.二数学运算an的通项公式的求解,bn的前1000项和的求解.一8.2019广东梅州二模给出定义:x=x+,xZ,01,其中x表示x的整数部分,表示x的小数部分.已知数列an满足a1=5,an+1=an+2,则a2 019 - a2 018等于()A.2 019 - 5B.2 018+5C.6+5 D.6 - 5数学文化数列与数学文化11 2018北京,4,5分理“十二平均律”是通用的音律

19、体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为A.32f B.322f C.1225f D.1227f 因为从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122,第一个单音的频率为f ,所以这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为122的等比数列,记为an,则第八个单音的频率为a8=f (122)8 - 1=1227f ,故选D.D “十二平均律”是由中国明代律学家朱

20、载堉发明的,本题以此为背景,不仅弘扬了中国传统文化,还考查了等比数列的通项公式及定义,考查了逻辑推理素养与运算求解能力,体现了等比数列在实际生活中的应用.素养探源核心素养考查途径素养水平数学建模从情境中抽象出等比数列模型.二9.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产,与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕共7层,每上层的数量是下层的2倍,总共有1 016个浮雕,这些浮雕构成一幅优美的图案.若从最下层往上,浮雕的数量构成一个数列an,则log2(a3a5)的值为()A.8B.10C.12D.161.255由于an+2 - an=1+( - 1)n

21、(nN*),所以当n为奇数时,an+2=an,当n为偶数时,an+2 - an=2,所以a1=a3=a29,a2,a4,a30构成首项为2,公差为2的等差数列.又a1=1,所以a1+a2+a3+a29+a30=15+152+151422=255.所以该医院近30天入院治疗流感的总人数为255.2.(1)由2Sn=3(bn - 1)知,当n=1时,b1=3,当n2时,2Sn - 1=3(bn - 1 - 1),2bn=2Sn - 2Sn - 1=3(bn - 1) - 3(bn - 1 - 1),即bn=3bn - 1,所以bn是首项为3,公比为3的等比数列,所以数列bn的通项公式为bn=3n.

22、又数列an是等差数列,且a1=b1=3,a4=b2=9,所以公差d=a4 - a13=2,可得数列an的通项公式为an=2n+1.(2)Tn=331+532+733+934+(2n+1)3n,3Tn=332+533+734+(2n - 1)3n+(2n+1)3n+1, - 得, - 2Tn=331+2(32+33+34+3n) - (2n+1)3n+1, - 2Tn=331+29(3n - 1 - 1)3 - 1 - (2n+1)3n+1,整理得Tn=n3n+1.3.2nn+1设等差数列an的首项为a1,公差为d,依题意,知a1+2d=3,4a1+6d=10,即a1+2d=3,2a1+3d=5

23、,解得a1=1,d=1,所以Sn=n(n+1)2,因此k=1n1Sk=2(1 - 12+12 - 13+1n - 1n+1)=2nn+1.4.6n(n+1)因为平面向量a=(lg x,1),b=(1,lg y)满足ab=12,所以lg x+lg y=12,所以lg(xy)=12.因为S=lg xn+lg(xn - 1y)+lg(xn - 2y2)+lg(xyn - 1)+lg yn,所以S=lg yn+lg(xyn - 1)+lg(xn - 2y2)+lg(xn - 1y)+lg xn,以上两式相加得,2S=(lg xn+lg yn)+lg(xn - 1y)+lg(xyn - 1)+(lg y

24、n+lg xn)=lg(xnyn)+lg(xn - 1yxyn - 1)+lg(ynxn)=nlg(xy)+lg(xy)+lg(xy)=n(n+1)lg(xy)=12n(n+1),所以S=6n(n+1).5.1 326a1+a2+a3+a51=12 - 22+32 - 42+492 - 502+512=1+(3 - 2)(3+2)+(5 - 4)(5+4)+(51 - 50)(51+50)=1+2+3+4+5+50+51=51(1+51)2=1 326.6.B由题图可得T4=712 - 3=4(T为f (x)的最小正周期),则T=,=2T=2.将(712, - 1)代入f (x)=sin(2x

25、+)中,可得76+=2k+32,kZ,则有=2k+3,kZ.又|100,即k(k+1)2100,结合kN*,解得k14,即N出现在第13组之后.又第k组所有项的和为1 - 2k1 - 2=2k - 1,所以前k组所有项的和为1+(1+2)+(1+2+2k - 1)=(21 - 1)+(22 - 1)+(2k - 1)=(21+22+2k) - k=2k+1 - k - 2.设满足条件的N在第(t+1)(tN*,t13)组,且第N项为第(t+1)组的第m(mN*)个数,第(t+1)组的前m项和为1+2+22+2m - 1=2m - 1.要使该数列的前N项和为2的整数幂,需使2m - 1与 - t

26、 - 2互为相反数,即2m - 1=2+t,所以2m=t+3,所以m=log2(t+3),所以m=4,t=13时,N=13(13+1)2+4=955时,N440,故选A.8.D因为a1=5,an+1=an+2,所以a2=2+25 - 2=6+25,a3=10+225 - 4=12+5,a4=14+25 - 2=18+25,a5=22+225 - 4=24+5,所以a2 018=62 017+25,a2 019=62 018+5.则a2 019 - a2 018=6 - 5.故选D.9.C依题意得,数列an是以2为公比的等比数列,因为最下层的浮雕的数量为a1,所以S7=a1(1 - 27)1 - 2=1 016,解得a1=8,所以an=82n - 1=2n+2(1n7,nN*),所以a3=25,a5=27,从而a3a5=2527=212,所以log2(a3a5)=log2212=12.