小学数学讲义秋季五年级A版第11讲数字谜中的最值优秀A版.pdf

1、1第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲四年级春季破译横式五年级暑假数阵图综合五年级秋季数字谜中的最值六年级暑假逻辑推理综合六年级暑假数字谜中的计数极端思想；数字谜中的最值问题.漫画释义知识站牌第十一讲 数字谜中的最值2第 9 级下优秀 A 版 教师版有的题目故意被出题人拿掉一个或几个条件，使题目变得残缺不全，成为一道错题，可是在问题中加上“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字样，又“起死回生”成为一道最值问题.数字谜中的最值问题和其它最值问题一样，采用论证与构造相结合的方法进行解决.1.掌握最值问题的基本思想：极端分析2.灵活运用极端分析解决数字谜中的最值.1.

2、数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；2.竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、位数的差别等3.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位借位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等4.数字谜中的最值问题除了数字谜问题常用的分析方法外，还会利用到最值问题的方法，最常用的是枚举比较法与极端分析法1.请在下面的方框中填出能确定的数字.【分析】可确定出 1，0，9 这三个数字.此题为数字谜中的“黄金三角”2.由数字 1，2，3，4 各一次构成两个两位数，则这两个数的和最小为_，最大为_

3、.【分析】最小为 13+24=37；最大为 41+32=73知识点回顾经典精讲课堂引入教学目标3第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲3.由数字 1，2，3，4 各一次构成两个两位数，则这两个数的积最小为_，最大为_.【分析】最小为 1324=312；最大为 4132=1312模块 1：例 1-3：加减法数字谜中的最值模块 2：例 4-5：乘除法数字谜中的最值将数字 15 不重复的填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？若填入的数字是 04 呢？+（学案对应：学案 1）【分析】极端分析.求最大值时，让大数放高位；求最小值时，让小数放高位.1-5 的最大值为541+32

4、=573，最小值为 124+35=159（其中十位数字可互换，个位数字可互换，以下只写一种情况）0-4 的最大值 为 430+21=451，最小值为 103+24=127想想练练：用数字 09 各一次构成 2 个五位数，则这 2 个五位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分析：最大值为 97531+86420=183951.最小值为：10468+23579=34047【拓展】将数字 09 不重复的填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？+【分析】极端分析，最小值为 1036+247+58+9=1350.最大值时要注意，结果为 4 位数，因此理论最大值为 9999.经

5、实验可知：9701+236+54+8=9999.【拓展】一个电子表用 5 个两位数(包括首位为 0 的两位数)表示时间，如 15:23:45/06/18 表示 6月 18 日 15 点 23 分 45 秒有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5 个两位数之和最大是【分析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为 x，那么个位数上的数字之和为 45x，则五个两位数上的数字之和为1045459xxx，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大显然，五个两位数的十位数字都不超过 5，只能是 0 1 2 3 4 5，这五个数字例题思路例 14第 9 级下优秀 A 版 教师版中

6、的五个如果五个数字是 5 4 3 2 1，那么 5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2 只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况如果五个数字是5 4 3 2 0，那么 5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2 只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况如果五个数字是5 4 3 1 0，那么 5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况如果五个数字是 5 4

7、2 1 0，那么 5 4，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，2 1 0，依次在“日期”的十位上、“时”的十位上、“月份”的十位上容易满足条件所以最大值为45954210153 右式中不同的汉字代表 19 中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少?国京运8中北奥0新新02（学案对应：学案 2）【分析】“新”必为 9，千位才能得 2，所以“中”应为 8.“国”、“京”、“运”之和应为 8 或 18，但当和为18 时，（“国”、“京”、“运”分别为 7，6，5），“中”、“北”、“奥”之和最大为 15（“中”、“北”、“奥”分别为 8，4，3），不能进位 2，所以“

8、国”、“京”、“运”之和只能是 8，此时，“北”、“奥”只能分别为 7 和 5，则“国”、“京”、“运”分别为 4、3、1，为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是 84.【铺垫】右式中的 a，b，c，d 分别代表 09 中的一个数码，并且满足2a bc d，被加数最大是多少？5abcd【分析】若5b，则由竖式知 a=c，bd，不满足2a bc d；若5b，则由竖式知1ac ，5bd，代入2a bc d，得4cd由此推知 cd 最大为 40，ab 最大为40 535【拓展】从 19 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字填入右面的方格中，使得竖式成立

9、其中的四位数最大可能是【分析】法 1：由题目可知，四位数的千位数字肯定是 1，此时还剩下 29 这 8 个数字，再看三个例 25第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲数的个位数字之和的尾数为 0，可找出三个数的个位数字有以下几种情况，（2，3，5）、（3，8，9）、（4，7，9）、（5，6，9）、（5，7，8）.经试验，只有两种情况下竖式成立.而题目要求四位数最大，所以答案为 1759.法 2：设 1-9 中未选的数字为 a，则加数的数字之和为 45-a，和的数字之和为 3，则 45-a-3为 9 的倍数，可知，只有 a=6 时成立，且共进位四位.之后考虑进位，可知最大时，可让百位进 1

10、，十位进 1，个位进 2，尝试可得答案如下，为 1759【拓展】如图所示，三角形纸片盖住的都是质数数字，正方形纸片盖住的都是合数数字.要使得两个加数的差尽可能小，较大的加数是多少？【分析】用大写字母代替三角，小写字母代替方块.那么：,2,3,5,7;,4,6,8,9A B C D Ea b c d e.（1）观察三个数的个位：11898,9dede；（2）观察三个数的十位：12132,3BEBE ；（3）观察三个数的百位：0bD，显然发生了进位，那么102810bD2,8bD；（4）观察千位，考虑到百位进位，有：104610,4,6aca c；（5）观察万位，考虑到千位进位，有：9279,2,

11、7ACA C.那么现在，两个加数都只有万位和千位不固定，为了让两个加数的差最小，那么有:2682174218101039，较大的加数为 74218.111010AabBCcDdEe【拓展】有四个不同的数字，用它们组成最大的四位数和最小的四位数，这两个四位数之和是 11469，那么其中最小的四位数是多少？【分析】设这四个数字是 abcd，如果0d，用它们组成的最大数与最小数的和式是11469abcddcba，由个位知9ad，由于百位最多向千位进 1，所以此时千位的和最6第 9 级下优秀 A 版 教师版多为 10，与题意不符所以0d，最大数与最小数的和式为0011469abccba，由此可得9a，

12、百位没有向千位进位，所以11ac，2c；64bc所以最小的四位数 cdba是 2049【拓展】在下面的算式中，A、B、C、D、E、F、G 分别代表 19 中的数字，不同的字母代表不同的数字，恰使得加法算式成立则三位数 EFG 的最大可能值是2006ABCDEFG【分析】可以看出，1A ，6DG 或 16若6DG，则 D、G 分别为 2 和 4，此时10CF，只能是C、F 分别为 3 或 7，此时9BE，B、E 只能分别取1,8、2,7、3,6、4,5，但此时 1、2、3、4 均已取过，不能再取，所以 DG不能为 6，16DG这时 D、G分别为 9 和 7；且9CF，9BE，所以它们可以取3,6

13、、4,5 两组要使 EFG 最大，百位、十位、个位都要尽可能大，因此 EFG 的最大可能值为 659事实上13476592006，所以 EFG 最大为 659下面竖式中，“学理科到学而思”的每一个汉字表示 0 到 9 这 10 个数字中的一个，相同的汉字表示数学谜语乾隆皇帝的数字谜乾隆曾出过一个以数字为谜底的词谜乾隆皇帝很欣赏纪晓岚的渊博学识，有时候故意出难题考他有一次，乾隆出了这样一个颇为有趣的词谜：下珠帘焚香去卜卦，问苍天，侬的人儿落在谁家？恨王郎全无一点真心话欲罢不能罢，吾把口来压！论文字交情不差，染成皂难讲一句清白话分明一对好鸳鸯却被刀割下，抛得奴力尽手又乏细思量口与心俱是假乾隆得意洋

14、洋地问纪晓岚：“老爱卿，你可知道这个词谜的谜底是什么？”纪晓岚沉思了片刻答道：“圣上才高千古，令人敬佩！这表面上是一首女子绝情词，实际上各句都隐藏着一个数字”原来谜底是“一二三四五六七八九十”解法是：“下”去“卜”是一；“天”不见“人”是二；“王”无“一”是三；古时候“一”(也可竖写成“1”)繁体中“罢”为四字下面加一能字，“吾”去了“口”是五；“交”不要差(叉谐时，意指)是六；“皂”去了“白”是七；“分”去了“刀”是八；“抛”去了“力”和“手”是九；“思”去了“口”和“心”是十例 37第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，三位数“学 而 思”的最小

15、值是_.2011学 理科 到学 而 思（学案对应：学案 3）【分析】学=2，所以理=3，十位要从百位借位，那么科=0 或 1，尝试得最小为 2305-2011=294想想练练：将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数，如果新数比原数大 7902，那么所有符合这样条件的四位数中原数最大的是7902DCBAABCD【分析】用 A、B、C、D 分别表示原数的千位、百位、十位、个位数字，按题意列减法算式如上式从首位来看 A 只能是 1 或 2，D 是 8 或 9；从末位来看，102AD，得8DA，所以只能是1A ，9D 被减数的十位数 B，要被个位借去 1，就有1BC B 最大能取 9，此时

16、C 为 8，因此，符合条件的原数中，最大的是 1989【拓展】下式中的 a，b，c，d 分别代表 09 中的一个数码，并且满足 2 a bc d，被减数最小是多少？3abcd【分析】若3b，则由竖式知 a=c，bd，不满足 2 a bc d；若2b，则由竖式知1ac ，10 3bd，即7bd，代入 2 a bc d，得6ab由2b 知4a，所以 ab最小为 42如图竖式中，使得乘积最小的两个乘数的和是多少？0321【分析】首先可得到：1311011321例 48第 9 级下优秀 A 版 教师版3721，最小的可能性1001=7 11 137 143，此时两个乘数之和为 160：14317100

17、11432431想想练练：如图竖式中，乘积最大可以是多少？321【分析】首先可得到：1317111321注意到乘积不能超过 3000，3000171768，所以最大只能是 173 和 17 相乘1731712111732941【铺垫】把 19 这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大.【分析】941852763【铺垫】用数字 1、2、3、4、5、6、7、8 组成两个四位数（不重复使用），P 是这两个四位数的乘积，请问 P 的最大值是什么？答案请用 的形式表示（不需将它乘开）.【分析】85317642【拓展】在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可

18、能小，那么乘积最小是9第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲640【分析】由于被乘数乘以 6 得到的数的个位数字为 4，所以被乘数的个位数字为 4 或 9，如果为 9，那么被乘数乘以乘数的十位数字得到的数的个位数字不可能为 0，与题意不符，所以被乘数的个位数字为 4，且乘数的十位数字为 5，所以乘数为 56由于被乘数乘以 6 得到的五位数至少为 10004，而10004616672，所以被乘数大于1667，而被乘数的个位数字为 4，所以被乘数至少为 1674，乘积最小为16745693744【拓展】已知一个五位回文数等于 45 与一个四位回文数的乘积（即45abcbadeed），那么这个

19、五位回文数最大的可能值是_【分析】根据题意，45abcbadeed，则abcba 为 45 的倍数，所以 a 应为 0 或 5，又a 还在首位，所以 a=5，现在要让 abcba 尽可能的大，首先需要位数高的尽可能的大，所以令9b,8c，则abcba=59895=36 是 9 的倍数，用 5989545=1331 符合条件，所以这个五位回文数最大的可能值是 59895.【拓展】在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小，那么乘积最小是68【分析】由于被乘数乘以 6 得到一个五位数，而乘以乘数的十位数字得到一个四位数，所以乘数的十位数字小于 6，乘数可能是 16，26，36，46 和

20、56它们能得到的最小乘积分别是8000 16128000，400026104000，277836100008，217446100004，178656100016其中最小的为 100004，所以乘积最小为 100004在“”内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小，那么商最小是多少？（学案对应：学案 4）6350例 510第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】如右式，填上能确定的数，用字母表示某些方格内的数因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的每一位都不小于 2，那么商的最小可能值为 262，如果可以构造成功那么就是 262 了.可知3c 或 8当2a 时，由5b

21、ca，推知3c，所以8c，进而得7b，此时题中算式为 2043678262，满足题意，所以商的最小值为 2626338550abc【拓展】在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大那么，商的最大值是_000727rqnmkjihgfedcba00072【分析】如右式，用字母来表示方格内的数字易知0f 为了使商最大，首先令9d，则e 最大为 8(若e 也为 9，则02km nh ij，则07km n 的百位数字不能为 0)再由80abckm n知08125abckm n，由7abcgqr知78001256.4gqrabc，所以6g 若6g，由9d 知 d 是g 的1.5 倍

22、，则 271.5800 1.51200h ijqr，矛盾，所以6g 不合题意；若5g，由 70051408005160abc，而140811208016081280abckm n，此时0km n 只可能为 1200 或 1208，150abc 或 151，但15091350，151 91359，均不可能为 2h ij，所以5g 不成立；若4g，由 70041758004200abc，而175915759220091800abch ij ，也不成立；若3g，可得以下两式符合题意：24507502509803，24605532519803，所以商的最大值为 980311第 9 级下 优秀 A 版教

23、师版第 11 讲自然数 M 乘以 13 的积的末三位是 123，求 M 的最小值.【分析】法 1：转化为竖式谜，不断利用尾数分析逐步推出 M 的每一位：13131313171471313131319191252123123123123我们并不需要考虑千位或更高位，M 只需要最小值，则只需要满足末三位，前面得几无所谓，减少无用的计算量.法 2:123M 一定是 13 的倍数，而 13 的倍数满足其后三位与前面隔开，差是 13 的倍数12313=96，那么 6123 一定是 13 的倍数，且为满足条件的最小自然数那么题中所求的最小整数为 612313=4711.将 1、3、5、7、9 填入等号左边

24、的 5 个方框中，2、4、6、8 填入等号右边的 4 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为多少？=+【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，所以右侧的除法只能是 62，构造315796284 2.将 1，3，5，7，9 填入等号左边的 5 个方框中，2，4，6，8 填入等号右边的 4 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？心里的数字谜摩比和大宽曾经打过一个赌.摩比说：“我能看穿你心里面想的数字，要不要我们打个赌，输的人要打扫一个礼拜的厕所.”大宽欣然同意.摩比说：“你把你想的数先加上 3，再乘 3，再减 3，最后再除以 3，然

25、后把结果告诉我，我能马上知道你心里想的那个数.”大宽：“我算出的结果是 100.”摩比立刻说出了大宽心里想的数字.你知道大宽心里想的是哪个数吗？答案：98.杯赛提高附加题12第 9 级下优秀 A 版 教师版=+【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，所以右侧的除法只能是 62，构造715396248 3.将 1、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，0、2、4、6、8 填入等号右边的 5 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？=-+【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数，最小为248609，左侧可以构造出1759394.将 1、

26、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，0、2、4、6、8 填入等号右边的 5 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最小为多少？=+【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数.左侧除法可能是除以 1 或者9 除以 3，最小的结果是 9351725，右侧可以构造 28604255.将 1、3、5、7、9 填入等号左边的 5 个方框中，0、2、4、6、8 填入等号右边的 5 个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为多少？=-+【分析】可以发现等式左边的和肯定是奇数，则右侧除法的商是奇数.右侧最大时应该为 80 多除以2，

27、由于必须是奇数所以只能是 86，0486247，左侧可以构造出 93751476.在下面的算式 中填入四个运算符号 、（每个符号只填一次），则计算结果最大是_.12345 【分析】为了得到最大结果必须用“”连接 4 和 5，那么 4 和 5 前边一定是“+”，通过尝试得到：11234520 3.7.(1)2013 乘以自然数 a 的结果的末两位为 99，求 a 的最小值.(2)2013 乘以自然数 b 的结果的末四位为 2012，求 b 的最小值.【分析】利用竖式数字谜，从个位逐步向前推即可.(1)先定个位，然后定十位：201336039992013236039402699(2)先定个位，然后

28、逐步定：201348052201220132480524026201213第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲201392480524026181172012201349248052402618117805220128.1991 乘以自然数 m 的结果的末四位为 8888，求 m 的最小值.【分析】先定个位，然后逐步定：199181592888881991681592811946888819915681592811946995588881991856815928119469955888881.数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位借位分析法、分

29、解质因数法、奇偶分析法等2.数字谜中的最值问题除了数字谜问题常用的分析方法外，还会利用到最值问题的方法，最常用的是枚举比较法与极端分析法1.将数字 1，1，2，3，3 填入下面竖式中加数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？+【分析】极端分析，最大值为 331+21=352，最小值为 113+23=136.2.如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字“美妙数学花园”代表的 6位数最小为_家庭作业知识点总结14第 9 级下优秀 A 版 教师版2007美妙数学花园好好好好【分析】“好”为 2，要使算式满足则必有(美 数 花)20要使“美妙数学花园”代表的 6 位数最小，则美 数

30、 花=3+8+9，妙 学 园=15=4+5+6即“美妙数学花园”代表的 6 位数最小为 3485963.将数字 09 不重复的填入下面竖式中减数与被减数的位置，则结果的最大值是多少？【分析】极端分析：最大值为 98765-10234=88531.（附最小值为 46012-35987=10025）4.在下面乘法竖式的每个方格中填入一个数字，使算式成立.那么，乘积的最大值等于_.2006【分析】首先可得到22606066所以最大值为3042260860866885.在内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小那么商的最小值是15第 9 级下 优秀 A 版教师版第 11 讲106【分析】商的十

31、位大于商的百位，所以商的十位最小为 7，个位最小为 1，所以商的最小可能值是671当商是 671 时，由“除数 699”和“除数 7110”得5157 除数116 2，那么除数是16所以1073616671满足题意且商最小，所以商的最小值为 6716.满足图中算式的三位数 abc 最小值是多少？2010abc【分析】为了使得三位数最小，那么 a1，由于三个积的十位数字为 0、1、0，那么 b 可为 0，则个位上必须能进位，那么 c 不能为 1，最小为 2则abc 最小值为 102.【学案 1】用数字 09 各一次构成 5 个两位数，则这 5 个两位数和的最大值和最小值分别为多少？【分析】极端分

32、析：最大值为：94+83+72+61+50=360，最小值为 10+26+37+48+59=180【学案 2】将数字 19 填入下图竖式的 9 个方格中，每个数字只能用一次，那么和的最小值为多少？2013【分析】四个数的所有数字之和为129201351，除以 9 余 6，所以和除以 9 余 3，最小为 3126，然而此时加数的四位数无法构造，逐步调整为 3135构造 4 29 0 6218 73135，所以最小值 3135【学案 3】将数字 15 不重复的填入下面的被减数与减数的位置，则结果的最大值和最小值分别为多少？若是 04 呢.A 版学案16第 9 级下优秀 A 版 教师版【分析】极端分

33、析：1-5 的最大值为 543-12=531，最小值为三位数，至少为 100，考虑当 1 被用过后，个位最小为 2 与 5，可以为 142-35=107.0-4 的最大值为 432-10=422，最小值为 130-24=106.【学案 4】如下面除法竖式的每个方框中填入适当的数字，使竖式成立，并使商尽量的小那么，商的最小值是_00072【分析】显然商十位是 0，如果商的千位是 2，则除数 22 ，只能是12，从而除数6 ，乘以商的个位之后不可能等于7如果商的千位是 3，因为除数乘以商的百位后等于00，商的个位只能是 1 或 2如果商的个位是 1，则除数等于7，商的百位最少是 4，此时 750 等数符合条件如果商的个位是 2，则除数等于 7，此时商的百位必须大于 4所以，商的最小值是 3401