❤重难点07三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）（原卷版）.docx

1、重难点突破07 三角形的6种模型（A字、8字、飞镖、老鹰抓小鸡、双角平分线模型、三角形折叠）目 录题型01 A字模型题型02 8字模型题型03 飞镖模型题型04 老鹰抓小鸡模型题型05 双角平分线模型题型06 三角形折叠模型题型01 A字模型【模型介绍】图形像“A”字，故曰“A”字模型.已知图示结论（性质）已知ABC，延长AB至D，延长AC至E1+2=A+1801（2023陕西西安西安高级中学校考模拟预测）将一把直尺与一块直角三角板按如图所示的方式放置，若1=125，则2的度数为（）A35B40C45D552（2020四川广安中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30的角后得到一个六

2、边形BCDEMN，则l+2的度数为（）A210B110C150D1003（2023河北秦皇岛统考二模）如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形下列判断正确的是（）结论：变成五边形后外角和不发生变化；结论：变成五边形后内角和增加了360；结论：通过图中条件可以得到1+2=240；A只有对B和对C、都对D、都不对4（2023广东广州统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的1与2的和总是一个定值则1+2= 度5（2023贵州贵阳统考一模）如图，在四边形纸片中，D50，若沿图中虚线剪去D，则12 6（2021全国九年级专题练习）如图所示，DAE的两边上各有一

3、点B,C，连接BC，求证DBC+ECB=180+A题型02 8字模型【模型介绍】图形像“8”字，故曰“8”字模型.已知图示结论（性质）已知AD，BC相交于OA+B=C+D已知线段AP平分BAD，线段CP平分BCDP=12 (B+D)7（2023下北京海淀七年级北京市十一学校校考期中）如图，AD、BC相交于点O，连接AB、CD下列结论正确的是（）ABOD=BBAOCDCBOD=C+DDAOC=A+C8（2023黑龙江大庆统考三模）如图，CAD和CBD的平分线相交于点P，若C=28，D=22，则P的度数为（）A22B25C28D309（2023河北邢台邢台三中校考一模）如图，AD与BC交于点O，甲

4、、乙两人要证明A+B=D+C，做法如下：甲：BOD是AOB和DOC的外角，BOD=A+B=D+C，故得证乙：作一圆通过A，B，C，D四点，A与C对同弧BD，B与D对同弧ACA=C，B=D，A+B=D+C对于甲、乙两人的做法，以下结论正确的是（）A甲、乙两人的做法都是正确的B甲的做法正确，乙的做法错误C乙的做法正确，甲的做法错误D甲、乙两人的做法都是错误的10（2023陕西榆林统考一模）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”例如，在图1中，AOB的内角AOB与COD的内角COD互为对顶角，则AOB与COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：A十B=C十D

5、(1)如图1，在“对顶三角形”AOB与OOD中，AOB=70，则C十D= (2)如图2，在ABC中，AD、BE分别平分BAC和ABC，若C=60，ADE比BED大6，求BED的度数11（2020全国九年级专题练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把AOD和BOC叫做对顶三角形结论：若AOD和BOC是对顶三角形，则A+DB+C结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即A+B+ACE+ADB+E的度数解：连接CD，由对顶三角形的性质得：B+E1+2，在ACD中，A+ACD+ADC180，即A+3+1+2+4180，A+ACE+B+E+ADB180即五角星的五个内角之和为180解决问

6、题：（1）如图，A+B+C+D+E+F；（2）如图，A+B+C+D+E+F+G；（3）如图，A+B+C+D+E+F+G+H；（4）如图，A+B+C+D+E+F+G+H+M+N；请你从图或图中任选一个，写出你的计算过程12（2020全国九年级专题练习）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H六个角的和13（2020全国九年级专题练习）（1）如图，求A+B+C+D+E+F的度数；（2）如图，求A+B+C+D+E+F+G+H的度数；（3）如图，求A+B+C+D+E+F+G的度数14（2021下江苏苏州七年级苏州市第十六中学校考阶段练习）（1）已知：如图的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A+B=C+

7、D（2）如图，AP,CP分别平分BAD,BCD，若ABC=36,ADC=16，求P的度数（3）如图，直线AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE，若ABC=,ADC=，则P=_用、的代数式表示）15（2019下河南新乡七年级校联考期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”如图2，在图1的条件下，DAB和BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出A、B、C、D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；（3）图2中，当D50度，B40度时，求P

8、的度数（4）图2中D和B为任意角时，其他条件不变，试问P与D、B之间存在着怎样的数量关系（直接写出结果，不必证明）题型03 飞镖模型【模型介绍】图形像“飞镖”，故曰飞镖模型.已知图示结论（性质）已知四边形ABCDC=A+B+D已知四边形ABCD，线段BO平分ABC，线段OD平分ADCO=12 (A+C)16（2013湖北鄂州中考真题）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是（）A165B120C150D13517（2023山东淄博统考一模）如图，点F是ABC的内心，连接BF，CF，若BFC=112，则A=（）A44B45C50D5518（2023上河北邯郸八年级统考期末）如图，用

9、铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且A=70，BCD=120，若使ABC、ADC平分线的夹角E的度数为100，可保持A不变，将BCD （填“增大”或“减小”） 19（2023河北邯郸统考一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若A，B，BCD保持不变，则将图中D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”20（2021全国九年级专题练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果A=52,B=25，C=30,D=35,E=72，那么F的度数是（）A72B70C

10、65D6021（2021全国九年级专题练习）如图，若EOC=115，则A+B+C+D+E+F= 22（2019全国九年级专题练习）如图，ABC中，(1)若ABC、ACB的三等分线交于点O1、O2，请用A表示BO1C、BO2C；(2)若ABC、ACB的n等分线交于点O1、O2On-1（O1、O2On-1依次从下到上），请用A表示BO1C，BOn-1C23（2020下七年级统考课时练习）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC与A、B、C之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以

11、下三个问题：如图2，把一块三角尺XYZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若A=50，直接写出ABX+ACX的结果；如图3，DC平分ADB，EC平分AEB，若DAE=50,DBE=130，求DCE的度数；如图4，ABD,ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若BDC=140,BG1C=77，求A的度数24（2021下江苏镇江七年级统考期中）模型规律：如图1，延长CO交AB于点D，则BOC=1+B=A+C+B因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“BOC=A+B+C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用（1）直接应用：如图2，A=60,B=2

12、0,C=30，则BOC=_；如图3，A+B+C+D+E+F=_；（2）拓展应用：如图4，ABO、ACO的2等分线（即角平分线）BO1、CO1交于点O1，已知BOC=120，BAC=50，则BO1C=_；如图5，BO、CO分别为ABO、ACO的10等分线(i=1,2,3,8,9)它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、O9已知BOC=120，BAC=50，则BO7C=_；如图6，ABO、BAC的角平分线BD、AD交于点D，已知BOC=120,C=44，则ADB=_；如图7，BAC、BOC的角平分线AD、OD交于点D，则B、C、D之间的数量关系为_题型04 老鹰抓小鸡模型已知图示结论（性质）A+

13、O=1+2口诀：腋下两角之和等于上下两角之和A+O=2-125（2019上广东珠海八年级珠海市文园中学校考阶段练习）如图,将ABC沿着DE翻折,使B点与B点重合,若1+2=80,则B的度数为（）A20B30C40D5026（2022上湖北恩施八年级期末）如图，把ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，A=60，1=96，则2 的度数为（）A30B24C25D2627（2020下江苏常州七年级校联考期中）如图，将ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A，若B=60，C=80，则1+2等于() A40B60C80D14028（2022下河南南阳七年级校考阶段练习）如图，在四边形纸片ABCD中，A=8

14、0，B=75，将纸片折叠，使点C，D落在AB边上的点C，D处，折痕为EF，则1+2=（）A40B50C60D7029（2023下河南郑州八年级校考开学考试）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读已知在ABC中，请根据题意，探索不同情境中1+2（或1-2）与A的数量关系(1)如图，若A60，沿图中虚线DE截去A，则1+2 (2)如图，翻折后，点A落在点A处，若1+2=110，求B+C的度数(3)如图，ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，若1=80，2=28，则A的度数为 30（2022下山东烟台七年级统考期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这

15、项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读已知在ABC中，请根据题意，探索不同情境中1+2（或12）与A的数量关系(1)如图，若A80，沿图中虚线DE截去A，则1+2_(2)如图，若A80，沿图中虚线DE将A翻折，使点A落在BC上的点A处，则1+2=_(3)如图，翻折后，点A落在点A处，若1+280，求B+C的度数(4)如图，ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A处，若180，224，求A的度数31（2019下江苏宿迁七年级校联考期中）如图1，将ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C的位置，（1）若1=200,2=500，则C= ；若C=420，则1+2= ；探索C 、1与2

16、之间的数量关系，并说明理由；（2）直接按照所得结论，填空：如图中，将ABC纸片再沿FG、MN折叠，使点A、B分别落在ABC内点A、B的位置，则1+2+3+4+5+6= ；如图中，将四边形ABCD按照上面方式折叠，则1+2+8= ；若将n边形A1A2A3An也按照上面方式折叠，则1+2+2n= ；（3）如图，将ABC纸片沿DE折叠，使点C落在ABC边AC上方点C的位置， 探索C、1与2之间的数量关系，并说明理由.题型05 双角平分线模型已知图示结论（性质）已知BD、DC分别平分ABC、ACBD=90+12A已知BD、DC分别平分EBC、FCBD=90- 12A已知BE、EC分别平分ABC、ACD

17、E=12A32（2023青海统考一模）如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，CE是ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若A=60，则BEC的度数是 33（2023山东青岛统考一模）【阅读理解】三角形内角和定理告诉我们：如图，三角形三个内角的和等于180如图，在ABC中，有A+ABC+C=180，点D是AB延长线上一点由平角的定义可得ABC+CBD=180，所以CBD=A+C从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【初步应用】如图，点D，E分别是ABC的边AB，AC延长线上一点，（1）若A=60，CBD=110，则ACB=_；（2）若A=60，CBD=110，

18、则CBD+BCE=_；（3）若A=m，则CBD+BCE=_【拓展延伸】如图，点D，E分别是ABC的边AB，AC延长线上一点，（4）若A=60，分别作CBD和BCE的平分线交于点O，则BOC=_；（5）若A=60，分别作CBD和BCE的三等分线交于点O，且CBO=13CBD，BCO=13BCE，则BOC=_；（6）若A=m，分别作CBD和BCE的n等分线交于点O，且CBO=1nCBD，BCO=1nBCE，则BOC=_34（2021全国九年级专题练习）如图，在ABC中，B=58，三角形两外角的角平分线交于点E，则AEC= 35（2021全国九年级专题练习）如图，BA1和CA1分别是ABC的内角平分

19、线和外角平分线，BA2是A1BD的平分线，CA2是A1CD的平分线，BA3是A2BD的平分线，CA3是A2CD的平分线，以此类推，若A=，则A2020= 36（2021全国九年级专题练习）（1）如图所示，在ABC中，BO,CO分别是ABC和ACB的平分线，证明：BOC=90+12A（2）如图所示，ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，证明：BDC=90-12A（3）如图所示，ABC的内角平分线BD和外角平分线CD相交于点D，证明：D=12A37（2020全国九年级专题练习）（1）如图（a），BD平分ABC，CD平分ACB.当A=60时，求D的度数.猜想A与D有什么数量关系？并证明你的结论.（

20、2）如图（b），BD平分外角CBP，CD平分外角BCQ，（1）中的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）.题型06 三角形折叠模型已知图示结论（性质）将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时2=2C将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时2C=1+2或 C=12（1+2）将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时2C=2-1或 C=12（2-1）38（2023江苏无锡江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，在ABC中，A=20，D为AB的中点，E为AC边上一点，将ADE沿着DE翻折，得到ADE，连接AB当A

21、B=AD时，则AEC的度数为 39（2023江西模拟预测）如图，在ABC中，C=90，B=30，点P是边AB上一点，点D是边AC上一点，将ABC沿PD折叠，使点A落在边BC上的A处，若APAC，则PDA的度数为 40（2023上江苏八年级专题练习）如图，有一个三角形纸片ABC，A=65，B=75，将纸片一角折叠，使点C落在ABC外若2=20，则1的大小为 41（2020上湖南常德九年级校考期中）如图，在ABC中，C=90，BC=6，D，E分别在AB、AC上，将ADE沿DE折叠，使点A落在点A处，若A为CE的中点，则折痕DE的长为 42（2020山西校联考二模）综合与实践：直角三角形折叠中的数学

22、。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题在RtABC中，ABC=90,AB=3,BC=4（1）如图1，勤学组将点A沿DE折叠，使得点A与点B重合，折痕交AB于点D,交AC于点E,则DE的长为 如图2，乐学组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A落在AC边上，折痕交AC于点E,则BE的长为 （2）如图3，博学组将点C沿EF折叠，使得点C与点A重合，折痕交AC于点E,交BC于点F,求线段EF的长度；如图4，善思组在博学组的基础上，将点B沿FC折叠，使得点B的对应点B落在AF上，则GF的长度为_ （3）如图5，奋进组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A落在BC边上，求BE的长度；如图6，创新组在奋进组的基础上，将点C沿AF折叠，使得点C的对应点C落在AC上，折痕交AC于点F,再把AFC展开，将点C沿FG折叠，使得点C的对应点C落在FA的延长线上，折痕交AC于点G,得到如图7所示的图形，请直接写出FG的长43（2021上云南昆明八年级统考期末）如图，在三角形纸片ABC中，A60，B70，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC外，若218，则1的度数为（）A50B118C100D90