2020年高考数学学霸纠错笔记 函数（含解析） (2).docx

1、换元求解析式时忽略自变量范围的变化已知，求f（x）的解析式.【错解】令，则xt21，所以f（t）3（t21）2t2，即有f（x）2x2.【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“”是有范围限制的利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件【试题解析】令，则t0，且xt21，所以f（t）3（t21）2t2（t0），即f（x）2x2（x0）【参考答案】f（x）2x2（x0）利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围1已知，则A BC D【解析】（换元法）：令，则，所以，所以故选A【答案】A注意：用替换后，要注意的取值范围为，忽略了这一点，在求时就

2、会出错.本题也可用配凑法，具体解析过程如下：，又，所以故选A分段函数的参数范围问题设函数,则满足的a的取值范围是A B0,1CD1，）【错解】当a1时，f（a）3a1，此时f（f（a）3（3a1）19a4，方程无解当a1时，此时，方程恒成立，故选D【错因分析】对字母a的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a1与1的大小进行探讨，即参数a的分界点应该有2个，a或a1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论【试题解析】当时，,，显然.当a1时，故.当时，故.综合知a.【参考答案】C求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f（x0）时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再

3、代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集2已知函数=是上的减函数,那么的取值范围是A(0,3) BC(0,2) D【解析】为上的减函数，时，单调递减，即，则；时，单调递减，即,且,即.综上，的取值范围是,故选D.【答案】D对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误若函数f（x）x22ax4的单调递减区间是（，2，则实数a的取值范围是_.【错解】函数f（x）的图象的对称轴为直线xa，由于函数在区间（，2上单调递减，因此a2，即a2.【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调【试题解析】因为函数f（x）的单调递减区间为（，2，且函数f（x）的图象的对称

4、轴为直线xa，所以有a2，即a2.【参考答案】a2单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义3已知函数在2，8上是单调函数，则k的取值范围是ABCD【解析】根据题意，函数的对称轴为x，若f（x）在2，8上是单调函数，必有2或8，解可得：k4或k16，即k的取值范围是（，416，+）；故选D【答案】D忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）（x1）；（2）f（x）.【错解】（1）f（x）（x1）.，

5、f（x）为偶函数（2） ，f（x）f（x）且f（x）f（x），f（x）为非奇非偶函数【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）有时还需要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性【试题解析】（1）由0得x|x1，或x1，f（x）定义域关于原点不对称，f（x）为非奇非偶函数（2）由得1x1且x0，定义域关于原点对称，又1x1且x0时，f（x），f（x）为奇函数【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件函数奇偶性判断的方法（1）定义法：（2）图象法：

6、即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数此法多用在解选择填空题中4下列函数是奇函数的是ABCD【解析】，所以A为非奇非偶函数，所以B为偶函数，所以C为奇函数，所以D为偶函数，故选C.【答案】C判断函数的奇偶性，应先求函数的定义域，奇函数、偶函数的定义域应关于原点对称，不关于原点对称的既不是奇函数也不是偶函数.再找与的关系，若，则函数为偶函数；若，则函数为奇函数.因忽略幂底数的范围而导致错误化简（1a）（a1）2（a） _.【错解】（1a）（a1）2（a）（1a）（a1）1（a）（a）.【错因分析】忽略了题中有（a），即相当于告知a0，故a0，这样，（a

7、1）2（a1）1.实际上在解答本类题时除了灵活运用运算法则外还要关注条件中的字母是否有隐含的条件【试题解析】由（a）知a0，故a1c，ab，又b70514（57）2（78125）2c70710（75）2（16807）2，bc，abc，故选A【答案】A忽略了对数式的底数和真数的取值范围对数式log（a2）（5a）b中，实数a的取值范围是A（，5）B（2,5）C（2，）D（2,3）（3,5）【错解】由题意，得5a0，a5.故选A【错因分析】该解法忽视了对数的底数和真数都有范围限制，只考虑了真数而忽视了底数【试题解析】由题意，得2a3或3a0恒成立，14a0，a，即a的范围为（，）【错因分析】以上解

8、法错误在于没有准确地理解ylog2（x2xa）值域为R的含义根据对数函数的图象和性质，我们知道，当且仅当f（x）x2xa的值能够取遍一切正实数时，ylog2（x2xa）的值域才为R.而当0恒成立，仅仅说明函数定义域为R，而f（x）不一定能取遍一切正实数（一个不漏）要使f（x）能取遍一切正实数，作为二次函数，f（x）图象应与x轴有交点（但此时定义域不再为R）【试题解析】要使函数ylog2（x2xa）的值域为R，应使f（x）x2xa能取遍一切正数，要使f（x）x2xa能取遍一切正实数，应有14a0，a，所求a的取值范围为，）【参考答案】，）1求复合函数单调性的具体步骤是：（1）求定义域；（2）拆分

9、函数；（3）分别求yf（u），u（x）的单调性；（4）按“同增异减”得出复合函数的单调性2复合函数yfg（x）及其里层函数g（x）与外层函数yf（）的单调性之间的关系（见下表）.函数单调性yf（）增函数增函数减函数减函数g（x）增函数减函数增函数减函数yfg（x）增函数减函数减函数增函数7已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是A（1，3 B（1，3） C（0，1） D3，+）【解析】由函数在（0，2）上为减函数，可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，故有，解得.故选A【答案】A不论还是，都有为减函数，又在（0，2）上为减函数，则，这是求解本题的关键.零点存在性定理使用条件不清致误函

10、数的零点个数为A0 B1C2 D3【错解】因为，所以函数有一个零点，故选B【错因分析】函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出函数的定义域.通过作图（图略），可知函数的图象不是连续不断的，而零点存在性定理不能在包含间断点的区间上使用.【试题解析】函数的定义域为，当时，；当时，.所以函数没有零点，故选A【参考答案】A零点存在性定理成立的条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理.8已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是ABCD【解析】函数的图象如图：若函数存在零点，则实数a的取值范围是（0，+）故选D【答案】D一、函数（1）映射：设A，B是两个非空

11、的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射.（2）函数：非空数集非空数集的映射，其要素为定义域、对应关系，函数的值域.求函数定义域的主要依据：分式的分母不为0；偶次方根的被开方数不小于0；对数函数的真数大于0；指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；正切函数中，的取值范围是，且.求函数定义域的类型与方法（1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义（3）复合函数问题：若f（x）的定义域为

12、a，b，f（g（x）的定义域应由ag（x）b解出；若f（g（x）的定义域为a，b，则f（x）的定义域为g（x）在a，b上的值域注意f（x）中的x与f（g（x）中的g（x）地位相同；定义域所指永远是x的范围二、函数的性质（1）函数的奇偶性如果对于函数yf（x）定义域内的任意一个x，都有（或），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）（2）函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质给定区间D上的函数f（x），若对于任意，当时，都有 （或），则称f（x）在区间D上为单调增（或减）函数反映在图象上，若函数f（x）是区间D上的增（减）函数，则图象在D上的部分从左到右是上升（下降）的如果函数f（x）在

13、给定区间（a，b）上恒有f （x）0（f （x）0），则f（x）在区间（a，b）上是增（减）函数，（a，b）为f（x）的单调增（减）区间（3）函数的周期性设函数yf（x），xD，如果存在非零常数T，使得对任意xD，都有f（xT）f（x），则函数f（x）为周期函数，T为yf（x）的一个周期（4）最值一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f（x）M（或f（x）M）；存在，使得，那么称M是函数yf（x）的最大值（或最小值）三、函数图象（1）函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题，即对函数图象的掌握有三方面的要求：会画各种简单函数的图象；能依据

14、函数的图象判断相应函数的性质；能用数形结合的思想以图辅助解题（2）利用函数图象的变换作图平移变换，.伸缩变换，.对称变换，.四、函数与方程、函数的应用1函数的零点（1）函数的零点：对于函数f（x），我们把使f（x）0的实数x叫做函数f（x）的零点（2）函数的零点与方程根的联系：函数F（x）f（x）g（x）的零点就是方程f（x）g（x）的根，即函数yf（x）的图象与函数yg（x）的图象交点的横坐标（3）零点存在性定理：如果函数yf（x）在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f（a）f（b）0，那么，函数yf（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b）使得f（c）0, 这个c也就是方

15、程f（x）0的根2二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解应用二分法求函数零点近似值（方程的近似解）时，应注意在第一步中要使：（1）区间的长度尽量小；（2），的值比较容易计算，且.3应用函数模型解决实际问题的一般步骤如下： 与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题解答这类问题的关键是建立相关的函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答1已知，则ABCD【答案】B【解析】即则故选B【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小2设f

16、(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x0，且a1)的图象可能是【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.8已知单调函数，对任意的都有，则A2 B4C6 D8【答案】C【解析】设，则，且，令，则，解得，故选C【名师点睛】解答本题的关键是借助换元法求得函数的解

17、析式，然后再求函数值，主要考查学生的变换能力9设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（） B（log3）（）（）C（）（）（log3） D（）（）（log3）【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案10函数，关于的方程有4个不相等实根，则实数的取值范围是A BC D【答案】C【解析】根据题意画出函数的图象，如图.令，原问题等价于关于的方程有两个根，每个值对应两个x值，故有两种情况：；.当属于情况时，将代入得到，此

18、时方程的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意；当属于情况时， 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点11已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 【答案】C【解析】当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb

19、0，得x=b1-a，则yf（x）axb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，当a+10，即a1时，y0，yf（x）axb在0，+）上单调递增，则yf（x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10，即a1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，

20、b-16（a+1）3，则a1，b0.若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是_【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，两点连线的斜率，综上可知，满足在(0,9上有8个不同的实数根的k的取值范围为.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素.20设函数已知

21、，且，则实数a=_，b=_【答案】，1【解析】，所以，解得【思路点睛】先计算，再将展开，进而对照系数可得含有，的方程组，解方程组可得和的值21定义在实数集上的函数满足，当时，则函数的零点个数为_【答案】【解析】定义在上的函数，满足，为上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，易知的图象在上单调递增，且当时，当时，的图象与函数的图象无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.【名师点睛】函数零点个数(方程根)的三种判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性

22、定理：利用定理不仅要求函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.22在直角坐标系中，如果相异两点，都在函数的图象上，那么称，为函数的一对关于原点成中心对称的点（，与，为同一对）函数的图象上有_对关于原点成中心对称的点【答案】3【解析】关于原点的对称图象的解析式为，因此关于原点对称的点的个数实际上就是在上解的个数又当时，考虑与在上的图象的交点的个数如下图所示，它们有3个公共点，从而函数的图象上有3对关于原点成中心对称的点23已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是_【答案】【解析】存在，使得，即有，化为，可得，即，由，可得.则实数的最大值是.【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解.