2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理 1.docx

1、1.2.2组合课后篇巩固探究基础巩固1.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为()A.4B.8C.28D.64解析由于“村村通”公路的修建是组合问题,故共需要建C82=28(条)公路.答案C2.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动,若选出的4人中既有男生又有女生,则不同的选法共有()A.140种B.120种C.35种D.34种解析若选1男3女有C41C33=4(种);若选2男2女有C42C32=18(种);若选3男1女有C43C31=12(种);所以共有4+18+12=34(种)不同的选

2、法.选D.答案D3.已知Cn+17-Cn7=Cn8,则n等于()A.14B.12C.13D.15解析由题意,得Cn+17=Cn+18,故7+8=n+1,解得n=14.答案A4.某施工小组有男工7人,女工3人,现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组,不同的选法有()A.C103种B.A103种C.A31A72种D.C31C72种解析每个被选的人都无顺序差别,是组合问题.分两步完成.第1步,选女工,有C31种选法;第2步,选男工,有C72种选法.故共有C31C72种不同的选法.答案D5.某电视台连续播放5个广告,其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运广告.要求最后必须播放奥运广告,且2个奥运

3、广告不能连续播放,则不同的播放方式有()A.120种B.48种C.36种D.18种解析最后必须播放奥运广告有C21种播放方式,2个奥运广告不能连续播放,倒数第2个广告是商业广告有C31种播放方式,故共有C21C31A33=36(种)不同的播放方式.答案C6.若已知集合P=1,2,3,4,5,6,则集合P的子集中含有3个元素的子集数为.解析由于集合中的元素具有无序性,因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题,共有C63=20(个)子集.答案207.不等式Cn2-n5的解集为.解析由Cn2-n5,得n(n-1)2-n5,n2-3n-100.解得-2n5.由题设条件知n2,且nN*,n=2

4、,3,4.故原不等式的解集为2,3,4.答案2,3,48.若对任意的xA,则1xA,就称A是“具有伙伴关系”的集合.集合M=-1,0,13,12,1,2,3,4的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为.解析具有伙伴关系的元素组有-1;1;12,2;13;3;共4组,所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的非空集合中的元素,可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组,又集合中的元素是无序的,因此,所求集合的个数为C41+C42+C43+C44=15.答案159.某区有7条南北向街道,5条东西向街道.(如图)(1)图中有多少个矩形?(2)从A点走向B点最短的走法有多少种?解(1)

5、在7条南北向街道中任选2条,5条南北向街道中任选2条,这样4条线可组成一个矩形,故可组成矩形有C72C52=210(个).(2)每条东西向的街道被分成6段,每条南北向街道被分成4段,从A到B最短的走法,无论怎样走,一定至少包括10段,其中6段方向相同,另4段方向也相同,每种走法,即是从10段中选出6段,这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的),共有C106=C104=210(种)走法.10.假设在100件产品中有3件是次品,从中任意抽取5件,求下列抽取方法各有多少种?(只列式子,不用写出具体数字)(1)没有次品;(2)恰有两件是次品;(3)至少有2件次品.解(1)没有次品的抽法就是从9

6、7件正品中抽取5件的抽法,共有C975种抽取方法.(2)恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽2件的抽法,共有C973C32种抽取方法.(3)至少有2件次品的抽法,按次品件数来分有两类:第一类,从97件正品中抽取3件,并从3件次品中抽取2件,有C973C32种抽取方法.第二类,从97件正品中抽取2件,并将3件次品全部抽取,有C972C33种抽取方法.按分类计数原理有C973C32+C972C33种抽取方法.能力提升1.楼道里有12盏灯,为了节约用电,需关掉3盏不相邻的灯,则关灯方案有()A.72种B.84种C.120种D.168种解析需关掉3盏不相邻的灯,即将这3盏灯

7、插入9盏亮着的灯形成的10个空中,所以关灯方案共有C103=120(种).答案C2.下列等式不正确的是()A.Cnm=n!m!(n-m)!B.Cnm=Cnn-mC.Cnm=m+1n+1Cn+1m+1D.Cnm=Cn+1m+1答案D3.已知集合A=5,B=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()A.33B.34 C.35D.36解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C21A33=12(个);所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C21A33+A33=18(个);所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C31=

8、3(个).故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33(个),故选A.答案A4.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有()A.50种B.60种C.120种D.210种解析先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C61,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A52种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C61A52=120(种),故选C.答案C5.某班班会

9、准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为()A.360B.520 C.600D.720解析当甲、乙两人中只有一人参加时,有C21C53A44=480(种)方法;当甲、乙两人都参加时,有C22C52(A44-A22A33)=120(种)方法.由分类加法计数原理知,不同的发言顺序共有480+120=600(种),故选C.答案C6.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4位朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有.解析依题意,就所剩余的1本进行分类:第1类,剩余的是1本画册,此

10、时满足题意的赠送方法有4种;第2类,剩余的是1本集邮册,此时满足题意的赠送方法有C42=6(种).因此,满足题意的赠送方法共有4+6=10(种).答案107.已知集合A=1,2,3,4,B=7,8,9,A为定义域,B为值域,由A到B的不同函数有个.解析由函数定义知,定义域中的每一个元素在值域B中都有唯一的象,值域B中的每一个元素,都有原象(不一定唯一),由此可知,A中恰好有两个元素和B中的某一元素对应,共有C42A33=36(个).答案368.4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中,则恰好有1个空盒子的放法有种(用数字作答).解析由题意知,必有1个盒子内放入2个小球,从4个小球中取

11、出2个小球,有C42种取法,此时把它看作1个小球,与另2个小球共3个小球放入4个盒子中,有A43种放法,所以满足题意的放法有C42A43=144(种).答案1449.(1)计算:C85+C10098C77.(2)求证:Cm+2n=Cmn+2Cmn-1+Cmn-2.(1)解原式=C83+C10021=876321+1009921=56+4950=5006.(2)证明由组合数的性质Cn+1m=Cnm+Cnm-1可知,右边=(Cmn+Cmn-1)+(Cmn-1+Cmn-2)=Cm+1n+Cm+1n-1=Cm+2n=左边.所以原等式成立.10.有9本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下

12、,各有多少种分法?(1)甲得4本、乙得3本、丙得2本;(2)一人得4本、一人得3本、一人得2本;(3)甲、乙、丙各得3本.解(1)分三步完成:第1步,从9本不同的书中,任取4本分给甲,有C94种方法;第2步,从余下的5本书中,任取3本给乙,有C53种方法;第3步,把剩下的书给丙,有C22种方法,所以甲得4本、乙得3本、丙得2本,共有C94C53C22=1260(种)不同的分法.(2)分两步完成:第1步,按4本、3本、2本分成三组有C94C53C22种方法;第2步,将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有A33种方法,所以一人得4本、一人得3本、一人得2本,共有C94C53C22A33=7560(种)不同的分法.(3)用与(1)相同的方法即可求解,可得甲、乙、丙各得3本,共有C93C63C33=1680(种)不同的分法.