2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第二册） 拓展二 数列求和常用的方法（精练）（教师版含解析）.docx

1、拓展二 数列求和常用的方法(精练)【题组一 裂项相消法】1(2021福建省连城县第一中学高二月考)已知数列，其前项和记为，满足，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，即是等差数列，且公差， 又，所以，即(2)因为，所以，即.2(2021江西上高二中高二月考 )设数列前项和为，若，且(1)求的通项公式(2)设，求前项的和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，且 当时，得或(舍)；当时， 由得，因为，所以，可得，所以是以3为首项，公差为的等差数列，所以.(2)由(1)中结论得，所以.3(2021辽宁阜新高二期末)在等差数列中，

2、是数列的前n项和，已知，.(1)求的通项公式；(2)若_，求数列的前项和.(在；两个条件中选择一个补充在第(2)问中，并对其求解，如果多写按第一个计分)【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】(1)等差数列中，是数列的前n项和，已知，.设首项为，公差为，所以，解得，故.(2)由(1)得：选条件时，故；选条件时，当n为偶数时，；当为奇数时，所以.4(2021全国高二单元测试)已知等比数列的各项均为正数，且2a1+3a21，a329a2a6，等差数列满足b25，b6+b830()求数列的通项公式；()求数列的前n项和【答案】()；().【解析】()依题意.()，.5(2021全国高二专题练习)已

3、知正项等差数列an的前n项和为Sn，且满足，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b1a1，bn1bnan1，求数列的前n项和Tn.【答案】(1)an2n1；(2)【解析】(1)设正项等差数列an的首项为a1，公差为d，an0，则解得an3(n1)22n1.(2)bn1bnan1，且an2n1，bn1bn2n3.当n2时，bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b1(2n1)(2n1)53n(n2)，当n1时，b13满足上式，bnn(n2).Tn6(2021河南信阳高中高二月考)已知各项均为正数的等差数列的公差为4，其前n项和为且为的等比中项(1)求的通项公式；(2)

4、设，求数列的前n项和；(3)求证：.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析.【解析】(1)因为数列是公差为4的等差数列，所以.又，所以，即，解得或(舍去)，所以.(2)因为，所以.(3)，单调递增，n=1时，最小为，因为，所以所以.【题组二 错位相减法】1(2021辽宁阜新高二期末)已知数列的前项和为，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：数列的前项和为，且满足，当时，整理得：；当时，得：，整理得：(常数)，故数列是以1为首项，为公比的等比数列；(2)由(1)得：.所以，所以，得：，所以：，整理得：.故：.2(2021全国

5、高二课时练习)已知等比数列an满足：a1，a1，a2，a3成等差数列，公比q(0，1).(1)求数列an的通项公式；(2)设bnnan，求数列bn的前n项和Sn.【答案】(1) an ；(2) Sn2(n2).【解析】(1)设等比数列an的公比为q，a1，因为a1，a2，a3成等差数列，所以2a2a1a3，即得4q28q30，解得q或q，又因为q(0，1)，所以q，所以an.(2)根据题意得bnnan， 两式相减得：，所以.3(2021全国高二专题练习)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根.(1)求an的通项公式；(2)若数列的前n项和为Sn，求证：Sn2.【答案】(1)

6、ann1；(2)证明见解析.【解析】(1)方程x25x60的两根为2,3，因为an是递增的等差数列，所以a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而a1.所以an的通项公式为ann1.(2)证明：设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.因为，所以Sn2.4(2021全国高二专题练习)数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.【答案】(1)证明见解析；(2)Sn=.【解析】(1)证明：由已知可得1，即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列.(2)由(1

7、)得，1(n1)1n，所以ann2.从而bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1，n3n1.所以Sn.5(2021全国高二专题练习)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an.(1)证明：数列an是等比数列；(2)设bn=(2n)an，求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)证明见解析；(2)Tn=(2n)2n+3.【解析】(1)证明：当n=1时，a1=S1=2a1，所以a1=1，当n2时，an=SnSn1=(2an1)(2an11)，所以an=2an1， 所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列.(2)由(1)知，a

8、n=2n1，所以bn=(2n1)2n1，所以Tn=1+32+522+(2n3)2n2+(2n1)2n1，2Tn=12+322+(2n3)2n1+(2n1)2n，得Tn=1+2(21+22+2n1)(2n1)2n=1+2(2n1)2n=(32n)2n3，所以Tn=(2n3)2n+3.6(2021全国高二专题练习)设数列an的前n项和为Sn，且.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=，求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)an=3n-1；(2)Tn=.【解析】(1)由，得(n2)，得，又，a1=1，an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.(2)由(1)得，bn=，Tn=，Tn=，

9、两式相减，得Tn=，Tn=.【题组三 分组求和法】1(2021全国高二专题练习)数列的前n项和为，则( )A1010B1010C2020D2020【答案】A【解析】由题意，数列，即，则.故选：A.2(2021全国高二专题练习)设，为数列的前n项和，求的值是( )AB0C59D【答案】A【解析】令 则 +可得：，.故选：A3(2021全国)已知数列an满足：a11，an12ann2(nN*)(1)求证：数列ann1是等比数列；(2)求数列an的前n项和Sn.【答案】(1)首项为1，公比为2的等比数列；(2)2n.【解析】(1)由已知得，所以2，所以数列ann1是首项为1，公比为2的等比数列(2)

10、由(1)知：ann12n1，an2n11n，Sna1a2an(122n1)(12n1)Sn(2n1)(n2n)2n.4(2021全国高二专题练习)求和：【答案】【解析】由题意知，当为偶数时，可得；当为奇数时，为偶数，可得综上可得，.5(2021全国高二专题练习)在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.【答案】(1)见解析；(2)当q1时，Snn；当q1时，Sn.【解析】(1)设等差数列an的公差是d.a3a8(a2a7)2d6，d3，a2a72a17d23，解得a11，数列an的通项公式

11、为an3n2.(2)数列anbn是首项为1，公比为q的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1，Sn147(3n2)(1qq2qn1)(1qq2qn1)，故当q1时，Snn；当q1时，Sn.6(2021全国高二专题练习)各项均为正数的等比数列an，a11，a2a416，数列bn的前n项和为Sn，且Sn(nN)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)若cnanbn，求数列cn的前n项和Tn.【答案】(1) an2n1，bn3n1；(2)2n1.【解析】(1)设公比为q，a11，a2a416，q416，q0，q2，an2n1，Sn，当n2时，bnSnSn13n1当n1时，b1

12、S12满足上式，bn3n1；(2)cnanbn2n13n1Tnc1c2cn(20212n1)(253n1)2n17(2021全国高二课时练习)已知等比数列中，且，成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)当数列为正项数列时，若数列满足，求数列的前项和【答案】(1)或 ；(2) 【解析】(1)记的公比为，由，得，解得或2又由，得，解得当时，此时；当时，此时综上，数列的通项公式或(2)由已知，得，则，所以【题组四 倒序相加法】1(2021全国高二课时练习)设函数，利用课本(苏教版必修)中推导等差数列前项和的方法，求得的值为( )ABCD【答案】B【解析】，设，则，两式相加得，因此，.故选：B.2(2021全国高二课时练习)已知函数，数列为等比数列，则_【答案】【解析】，数列是等比数列，设，则，得，故答案为：3(2021全国)已知函数，正项等比数列满足，则等于_【答案】【解析】因为，所以因为数列是等比数列，所以，即设 ，又 ，+，得，所以4(2021全国高二课时练习)设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_【答案】【解析】，因此，所以.故答案为：.5(2021全国高二专题练习)函数f(x)(xR)，若x1x21，则f(x1)f(x2)_，若nN*，则f()f()f()f()_.【答案】 【解析】函数，又，；由题得所以两式相加得，所以所以.故答案为：；