2020年一模几何综合压轴题（解析版）.docx

1、2020 年一模几何综合压轴题 1在菱形 ABCD 中，ADC120P 为菱形 ABCD 内对角线 BD 右侧一点（1）如图 1，连接 AP、BP、DP，若BPD2BAD，求证：APBP+DP；（2）如图 2，过点 P 作 PECD 于点 E，PFBD 于点 F，PGBC 于点 G连接 EF、FG、EG，若 AB6，求 EFG 面积的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）EFG 面积的最大值为 9 34【分析】（1）通过把 DP 边逆时针旋转 60可证 DPE 为等边三角形，然后证明 B，P，E 三点共线 证明 ADPBDE 即可（2）首先计算出 BCD 的面积得到 PE，PF，PG 三条线段

2、的关系，再用含 PE，PF，PG的式子表示出 EFG 的面积，最后使用均值不等式求出最大值【详解】解：（1）证明：如图 1 所示将 DP 绕点 D 逆时针旋转 60至 DE，连接 PEEDP60，PDEDDPE 为等边三角形，故DPE60由四边形 ABCD 为菱形，ADC120，DAB60BPD2BAD260120BPD+DPE180，故 B、P、E 三点共线由菱形性质得 ADABCBCD，又DAB60，ADB 为等边三角形，ADBDAB60ADB+BDPEDP+BDP即ADPBDE在 ADP 和 BDE 中，ADBDADPBDEPDED ADPBDE（SAS）APBEBP+PEBP+DP故

3、APBP+DP（2）如图 2 所示，设 AC、BD 相交于点 H，连接 DP、BP、CP四边形 ABCD 为菱形，ABBCCDDABD6ACBD，DHBH 1 BD32CH223693 3CDDH116 3 39 322BDCSBD CH 设 PEa，PFb，PGc则 SBDCSBPD+SDPC+SCPB 111222BD aCD bBC c 1()9 32 BDabc a+b+c3 3 DBCBCDCDB60，PEDC，PFBD，PGBCDBC+FPG180，BCD+EPG180，CDB+FPE180FPGEPGFPE120在 PFE 中，以 PF 为底边，则它的高为sin60sin60PE

4、a，在 PFG 中，以 PF 为底边，则它的高为sin60sin60PGc，在 PGE 中，以 PG 为底边，则它的高为sin60sin60PEa，SEFGSPFE+SPFG+SPGE 111sin60sin60sin60222b ab cc a 3()4abbcca2()0ab，则222abab，同理可得：222acac，222bcbc，由式得：2（a+b+c）22（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）+4ab+4bc+4ac2ab+2bc+2ac+4ab+4bc+4ac6（ab+bc+ac）2

5、6()2(3 3)54abbcac，ab+bc+ac9339 3()9444EFGSabbcac故 EFG 面积的最大值为 9 34【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质、等边三角形的性质与判定、全等三角形判定与性质、均值不等式证明最值解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题，本题综合性很强2如图，在 ABC 中，BAC90，ABAC6，ADBC 于点 D点 G 是射线 AD 上一点（1）若 GEGF，点 E，F 分别在 AB，AC 上，当点 G 与点 D 重合时，如图所示，容易证明 AE+AF 2 AD当点 G 在线段 AD 外时，如图所示，点 E 与点 B

6、重合，猜想并证明 AE，AF 与 AG 存在的数量关系（2）当点 G 在线段 AD 上时，AG+BG+CG 的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由【答案】（1）AE+AF 2 AG，证明见解析；（2）存在，最小值为 3 6+3 2【分析】（1）如图，过点 G 作 HGAG 交 AB 延长线于点 H，由等腰直角三角形可得DABDAC45，AGHG，由“ASA”可证 AGFHGE，可得 AFBH，可得结论；（2）如图，将 ABG绕点A 顺时针旋转60得到 ABG，连接GG，BC，过点 B作BNAC，交 CA 的延长线于点 N，由旋转的性质可得 AG+BG+CGGG+BG+

7、CG，则当点 B，点 G，点 G，点 C 共线时，AG+BG+CG 的值最小，最小值为 BC 的长，由 30角所对直角边是斜边一半和勾股定理可求解【详解】解：（1）AE+AF 2 AG，理由如下：如图，过点 G 作 HGAG 交 AB 延长线于点 H，BAC90，ABAC6，ADBC，DABDAC45，AHGBAD45，AGHG，AH 2 AG，EGFAGH90，AGFEGH，又AHGFAG45，AGFHGE（ASA），AFBH，AHAE+BHAE+AF 2 AG；（2）如图，将 ABG 绕点 A 顺时针旋转 60得到 ABG，连接 GG，BC，过点 B作BNAC，交 CA 的延长线于点 N，

8、ABAB6，AGAG，BAB60，GAG60，BGBG，AGG是等边三角形，AGGG，AG+BG+CGGG+BG+CG，当点 B，点 G，点 G，点 C 共线时，AG+BG+CG 的值最小，最小值为 BC 的长，BACBAB+BAC60+90150，BAN30，BN3，AN3 BN33，CN6+33，BC22CNB N263 39（）3 63 2，AG+BG+CG 的最小值为3 63 2【点睛】（1）考查综合运用旋转的知识作辅助线证明的能力对于与等腰直角三角形有关的证明题往往要进行图形的 90旋转，把要证明的要素集中到一个熟悉的图形中进行（2）考查综合利用旋转的知识解决几何最值问题对于线段和或

9、差的最值问题，常常要通过轴对称和旋转60把要求的线段之和或差转化为俱有固定端点的折线，然后据两点之间线段最短来解决3在 ABC 中，AECD 且 AECD，CAE+2BAE90（1）如图 1，若 ACE 为等边三角形，CD23，求 AB 的长；（2）如图 2，作 EGAB，求证：AD 2 BE；（3）如图 3，作 EGAB，当点 D 与点 G 重合时，连接 BF，请直接写出 BF 与 EC 之间的数量关系【答案】（1）AB3 2；（2）证明见解析；（3）13130CEBF【分析】（1）求出BAE15，CBA45，过点 A 作 ANBC 于点 N，则 ABN 为等腰直角三角形，求出 AN 的长，

10、则 AB 的长可求出；（2）过点 C 作 CMAB 于点 M，设EAB，得出 AMDM 12 AD，ACCDAE，证明 ACMEAG（AAS），得出 EGAM，证出 EBG 为等腰直角三角形，可得出 BE 2 EG 2 AM22AD则结论得证（3）过点 F 作 FHAB 于点 H，过点 C 作 CMAB 于点 M，设 BDa，由（2）可知 DEa，AD2a，AMDMa，证出 BECE 2 a，求出 BF655a则可得出答案【详解】解：（1）ACE 为等边三角形，CAEACBCEA60，CAE+2BAE90，BAE15，CBACEABAE601545，如图，过点 A 作 ANBC 于点 N，AB

11、N 为等腰直角三角形，在等边 ACE 中，ANsin60AE33CD2 3223，AB 2 AN3 2（2）证明：如图，过点 C 作 CMAB 于点 M，设EAB，CAE+2BAE90，CAE902，AECD，ACD2，CAB902+90，ACM，CM 平分ACD，AMDM 12 AD，ACCDAE，在 ACM 和 EAG 中，EGAAMCEAGACMAEAD ，ACMEAG（AAS），EGAM，AD2AM2EG，ACAE，CAE902，CEA45+，又CEAB+EAG，B45，EGAB，EBG 为等腰直角三角形，BE 2 EG 2 AM22ADAD 2 BE（3）如图，BF 与 EC 之间的

12、数量关系为13013CEBF 过点 F 作 FHAB 于点 H，过点 C 作 CMAB 于点 M，设 BDa，由（2）可知 DEa，AD2a，AMDMa，DECM，BDDM，BECE 2 a，DEa，AD2a，ADE90，AE22DEAD 5 a，CDAE，DEAB，EFDADE90EDFDAE，DEFAED，DEAEEFDE，5aaEFa，EF55 a，AF5 a55 a 4 55a，14EFAF，45AFAE FHDE，AFHAED，45FHAHAFDEADAE，FH 48,55aAH a，DH2a 85 a 25 a，BHa+2755a a，BF22BHFH655a21065135CEa

13、BFa=13013即 BF 与 EC 之间的数量关系为 13130CEBF【点睛】本题是图形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明4如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 为对角线，过点 D 作 DEDC 交直线 AB 于点 E，过点 E 作 EHAD 于点 H，过点 B 作 BFAD 于点 F（1）如图 1，若BAD60，AF3，AH2，求 AC 的长；（2）如图 2，若 BFDH，在 AC 上取一点 G，连接 DG、GE，若DGE75，CDG45CAB，求证：

14、DG62CG【答案】（1）AC2 37；（2）证明见解析【分析】（1）注意到CBA120，于是作 AMCB 于 M，先求出 CM 与 AM 的长度，再由勾股定理算出 AC 长度（2）由已知条件可以直接判断出 DEHBAF，然后可推出 CDDE，于是连接 CE，作ENAC 于 N，连接 DN，可以证明 DGN 是等腰直角三角形以及 CDGEDN，注意到EGD75，从而EGN30，所证结论就自然成立了【详解】（1）四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，CDAB，CDAB，BFAD 于 F，AFB90，BAD60，AB2AF6，BF3 AF33，EHAD 于 H，AE2AH4，EH3

15、AH23，DEDC 交 AB 于 E，DEA90，AD2AE8，CBAD8，如图 1，作 AMCB 于 M，则ABMBAD60，BM（1/2）AB3，AM3 BM33，CMCB+BM11，在 Rt ACM 中：AC22CMAM 121 272 37（2）如图 2，作 ENAC 于 N，连接 DN、CE，则CNE90四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，CDAB，CDAB，DEDC 交 AB 于 E，CDEDEA90，EHAD 于 H，DHDEHA90，BFAD 于 F，DFBAFB90，DHEBFA，DEH+HEAHEA+BAF90，DEHBAF，DHBF，DEHBAF（AAS）

16、，DEBACD，CDE 是等腰直角三角形，DCEDEC45，CDECNE90，C、D、N、E 四点共圆，DNCDEC45，CDG45CAB，CDG+CAB45，CDAB，CABDCG，DGNDCG+CDG45DNC，DGN 是等腰直角三角形，GDN90，DGDN，CDG+GDEGDE+EDN90，CDGEDN，CDGEDN（SAS），ENCG，CGD75，CGNCGDDGN30，GN3 EN3 CG，DG22GN62CG【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、特殊直角三角形的性质、勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大第二问，设计巧妙，熟练识别与构造全等三角形是

17、破解的关键5如图 1 和图 2，在 ABC 中，AB13，BC14，513BHAB.探究：如图 1，AHBC 于点 H，则 AH_，AC_，ABC 的面积ABCS_.拓展：如图 2，点 D 在 AC 上（可与点 A、C 重合），分别过点 A、C 作直线 BD 的垂线，垂足为 E、F，设 BDx，AEm，CFn，（当点 D 与 A 重合时，我们认为ABDS0）.（1）用含 x、m 或 n 的代数式表示ABDS及CBDS；（2）求(m+n)与 x 的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个 x 值，有时只能确定唯一的点 D，指出这样的 x 的取值范围.发现：请你确定一条直线，

18、使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.【答案】探究：12，15，84；拓展：（1）ABD1=2Smx，12CBDSnx；（2）168mnx；x=565 时，（mn）的最大值为 15；当14x 时，（mn）的最小值为 12；（3）565x 或1314x；发现：565.【分析】探究：由513BHAB，AB=13，可得 BH 的长，即可求出 CH 的长，利用勾股定理求出 AH、AC 的长即可；拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；（2）首先由（1）可得2ABDSmx，2CBDSnx，再根据 SABD+SCBD=SABC=84，即可求出（m+n）与 x 的

19、函数关系式，然后由点 D 在 AC 上（可与点 A，C 重合），可知 x 的最小值为 AC 边上的高，最大值为 BC 的长；根据反比例函数的性质即可得答案；（3）由于 BCBA，所以当以 B 为圆心，以大于 565 且小于 13 为半径画圆时，与 AC 有两个交点，不符合题意，故根据点 D 的唯一性，分两种情况：当 BD 为 ABC 的边 AC 上的高时，D 点符合题意；当 ABBDBC 时，D 点符合题意；发现：由于 ACBCAB，所以使得 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC 所在的直线【详解】探究：513BHAB，AB=13，BH5，2213512AH，HC9，2212

20、915AC，SABC=12 1214=84，故答案为 12，15，84；拓展：解：（1）由三角形面积公式得出：ABD1=2Smx，12CBDSnx；（2）2ABDSmx，2CBDSnx，CBDABD2S2S168mnxxx，AC 边上的高为：22 845615155ABCS，x 的取值范围为：56145x，（mn）随 x 的增大而减小，565x 时，（mn）的最大值为：15；当14x 时，（mn）的最小值为 12；（3）BCBA，只能确定唯一的点 D，当以 B 为圆心，以大于 565 且小于 13 为半径画圆时，与 AC 有两个交点，不符合题意，当 BD 为 ABC 的边 AC 上的高时，即

21、x=565 时，BD 与 AC 有一个交点，符合题意，当 ABBDBC 时，即1314x时，BD 与 AC 有一个交点，符合题意，x 的取值范围是565x 或1314x，发现：ACBCAB，AC、BC、AB 三边上的高中，AC 边上的高最短，过 A、B、C 三点到这条直线的距离之和最小的直线就是 AC 所在的直线，最小值为 AC边上的高的长 565.【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关性质及定理是解题关键.6如图，在正方形 ABCD中，6,ABM是对角线 BD上的一个动点102DMBD，连接 AM，过点 M 作 MNAM交 BC 于点 N（

22、1）如图，求证：MAMN；（2）如图，连接,AN O为 AN 的中点，MO 的延长线交边 AB 于点 P，当1318AMNBCDSS时，求 AN 和 PM 的长；（3）如图，过点 N 作 NHBD于 H，当2 5AM 时，求 HMN的面积【答案】（1）见解析；（2）2 13AN；5 133PM；（3）面积为3.【分析】（1）过点 M 作 MFAB 于 F，作 MGBC 于 G，由正方形的性质得出ABD=DBC=45，由角平分线的性质得出 MF=MG，证得四边形 FBGM 是正方形，得出FMG=90，证出AMF=NMG，证明 AMFNMG，即可得出结论；（2）证明 Rt AMNRt BCD，得出

23、2AMNBCDSANSBD，求出 AN=2 13，由勾股定理得出BN=22ANAB=4，由直角三角形的性质得出 OM=OA=ON=12 AN=13，OMAN，证明 PAONAB，得出 OPOABNAB，求出 OP=2 133，即可得出结果；（3）过点 A 作 AFBD 于 F，证明 AFMMHN 得出 AF=MH，求出 AF=12 BD=12 6 2=3 2，得出 MH=3 2，MN=2 5，由勾股定理得出 HN=222MNMH，由三角形面积公式即可得出结果【详解】（1）证明：过点 M 作 MFAB于 F，作 MGBC于G，如图所示：90AFMMFBBGMNGM ，四边形 ABCD是正方形，9

24、0,ABCDAB,45ADABABDDBC，,MFABMGBC，MFMG，90ABC，四边形 FBGM 是正方形，90FMG，90FMNNMG，MNAM，90AMFFMN，AMFNMG，在 AMF和 NMG中，AFMNGMMFMGAMFNMG ()AMFNMG ASA，MAMN；（2）解：在 Rt AMN中，由（1）知：MAMN，45MAN，45DBC，MANDBC，Rt RtAMNBCD，2AMNBCDSANSBD 在 Rt ABD中，6ABAD，6 2BD，221318(6 2)AN，解得：2 13AN，在 Rt ABN中，2222(2 13)64BNANAB，在 Rt AMN中，,MAM

25、N O是 AN 的中点，113,2OMOAONANOMAN，90AOP，AOPABN，PAONAB，PAONAB，OPOABNAB，即：1346OP，解得：2 133OP，2 135 131333PMOMOP；（3）解：过点 A 作 AFBD于 F，如图所示：90AFM，90FAMAMF，MNAM90AMN，90AMFHMN，FAMHMN，NHBD，90AFMMHN，在 AFM和 MHN中，FAMHMNAFMMHNAMMN ()AFMMHN AAS，AFMH，在等腰直角 ABD中，AFBD，116 23 222AFBD，3 2MH，2 5AM 2 5MN222(2 5)(3 2)2HNMNMH

26、，113 22322HMNSMH HN，HMN的面积为3【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键7(1)方法选择如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，连接 AC，BD，ABBCAC求证：BDADCD.小颖认为可用截长法证明：在 DB上截取 DMAD，连接 AM 小军认为可用补短法证明：延长CD至点 N，使得 DNAD请你选择一种方法证明(2)类比探究【探究 1】如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，连接 AC，

27、BD，BC 是O 的直径，ABAC试用等式表示线段 AD，BD，CD之间的数量关系，并证明你的结论【探究 2】如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，连接 AC，BD若 BC 是O 的直径，30ABC，则线段 AD，BD，CD之间的等量关系式是_(3)拓展猜想如图，四边形 ABCD是O 的内接四边形，连接 AC，BD若 BC 是O 的直径，:BC AC ABa b c，则线段 AD，BD，CD之间的等量关系式是_【答案】(1)方法选择：证明见解析；(2)【探究 1】：2BD CDAD；【探究 2】32BDCDAD；(3)拓展猜想：caBDCDADbb.【分析】（1）方法选择：根据等边三角形的

28、性质得到ACB=ABC=60，如图，在 BD 上截取DM=AD，连接 AM，由圆周角定理得到ADB=ACB=60，得到 AM=AD，根据全等三角形的性质得到 BM=CD，于是得到结论；（2）类比探究：如图，由 BC 是O 的直径，得到BAC=90，根据等腰直角三角形的性质得到ABC=ACB=45，过 A 作 AMAD 交 BD 于 M，推出ADM 是等腰直角三角形，求得 DM=2 AD 根据全等三角形的性质得到结论；【探究 2】如图，根据圆周角定理和三角形的内角和得到BAC=90，ACB=60，过 A 作 AMAD交 BD 于 M，求得AMD=30，根据直角三角形的性质得到 MD=2AD，根据

29、相似三角形的性质得到 BM=3 CD，于是得到结论；（3）如图，由 BC 是O 的直径，得到BAC=90，过 A 作 AMAD 交 BD 于 M，求得MAD=90，根据相似三角形的性质得到 BM=cb CD，DM=ab AD，于是得到结论【详解】(1)方法选择：ABBCAC，60ACBABC ，如图，在 BD上截取=DM AD，连接 AM，60ADBACB ，ADM是等边三角形，AMAD，ABMACD，120AMBADC ，ABMACD AAS，BMCD，BDBMDMCDAD；(2)类比探究：如图，BC 是O 的直径，90BAC，ABAC，45ABCACB ，过 A 作 AMAD交 BD于 M

30、，45ADBACB ，ADM是等腰直角三角形，AMAD，45AMD，2DMAD，135AMBADC ，ABMACD，ABMACD AAS，BMCD，2BDBMDMCDAD；探究 2如图，若 BC 是O 的直径，30ABC，90BAC，60ACB，过 A 作 AMAD交 BD于 M，60ADBACB ，30AMD，2MDAD，ABDACD，150AMBADC ，ABMACD，3BMABCDAC，3BMCD，32BDBMDMCDAD；故答案为32BDCDAD；(3)拓展猜想：caBDBMDMCDADbb；理由：如图，若 BC 是O 的直径，90BAC，过 A 作 AMAD交 BD于 M，90MAD

31、，BAMDAC，ABMACD，BMABcCDACb，cBMCDb，ADBACB，90BACNAD，ADMACB，ADACbDMBCa，aDMADb，caBDBMDMCDADbb.故答案为caBDCDADbb.【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键8如图，在 Rt ABC 中，90ACB，ACBC，取边 BC 上一点 D，连结 AD，E 是 AD延长线上一点，连结 BE 并延长，交 AC 延长线于点G （1）如图 1，若 BEAE，15DAB，1BD ，求 BG 的长；（2）如图 2，连结 E

32、C，过点 A 作 AFEC交 EC 延长线于点 F，且FACBAE求证：2GEDECE【答案】（1）3 1BG ；（2）见解析【分析】（1）想求 BG 的长，由于 CBG 是直角三角形，可用解直角三角形的方法求解，因为15DAB，ABC 是等腰直角三角形，根据图形中角之间的关系可以得到30CBGCAD，那么在 RtACD中，,CD AC AD 三边既有和差关系，又有倍数关系，这种情况可设CD为 x，则 AD为2x，1ACBCx，根据勾股定理列出方程，解之即可.（2）证明线段之间的和倍关系，基本思路是通过证线段相等进行等量代换，将间接关系转化为直接关系.本题可过C 作CMCE，交 AD于 M，先

33、通过条件FACBAE 证明CME为等腰直角三角形，得到2MECE和CMCE；下一步通过证明 CMDECGVV得到 MDEG，将 ME 分成GEDE即可.【详解】解:（1）90ACB，ACBC45CABCBA，90BCG15DAB30CAD60CDAEDB ，BEAE90AEGAEB 30CBG60G12CGBG，12CDAD设CD为 x，则 AD为 2x，1ACBCx222ADCDAC22221xxx解得1322x 3322BC 解得3 1BG 证明：过C 作CMCE，交 AD于 M90MCE90BCGMCDECG FACBAE 45FAEBAC AFEC45FAEFEA 45CMECEM CMCE90BCGDEG 180GCDE180CDECDMGCDM CMDECGVV MDEG在 Rt CMEV中2MECE2GEDECE【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的性质与判定，含有30 角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等知识，通过条件与问题作出合适辅助线，熟练运用定理逐步推理是解答关键.