2021新高考数学二轮总复习学案：2-2　热点小专题一、函数的零点及函数的应用 WORD版含解析.docx

1、2.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用必备知识精要梳理1.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.2.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)与y=g(x)的图象交点的横坐标.3.判断函数零点个数的方法:(1)利用零点存在性定理判断法;(2)代数法:求方程f(x)=0的实数根;(3)几何法:对于不易求根的方程,将它与函数y=f(x)的图象联系起来,利用函数的性质找出零点或利

2、用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时,可用求导的方法判断函数的单调性.关键能力学案突破热点一判断函数零点所在的区间【例1】(1)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)(2)(2020湖北恩施高中月考,理11)已知单调函数f(x)的定义域为(0,+),对于定义域内任意x,f(f(x)-log2x)=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的区间为()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,主

3、要利用函数零点的存在性定理进行判断.首先看函数y=f(x)在区间a,b上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.【对点训练1】设定义域为(0,+)的单调函数f(x)对任意的x(0,+),都有ff(x)-ln x=e+1,若x0是方程f(x)-f(x)=e的一个解,则x0可能存在的区间是()A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)热点二判断函数零点的个数【例2】函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4解题心得判断函数y=f(x)的零点个数时,常用以下方法:(1)解方程:当对

4、应方程易解时,可通过解方程,判断函数零点的个数;(2)根据函数的性质结合已知条件进行判断;(3)通过数形结合进行判断,画函数图象,观察图象与x轴交点的个数来判断.【对点训练2】(2020山东滨州二模改编,16)设f(x)是定义在R上且周期为6的周期函数,若函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,函数y=f(x)在区间-n,n(其中nN*)上的零点的个数的最小值为an,则a11=.热点三已知函数零点个数求参数范围【例3】(2020山东潍坊二模,16)已知函数f(x)=lnx,x1,2x3-3x2+1,x0,g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是()A.-1,

5、0)B.-1,+)C.0,+)D.1,+)热点四函数的应用【例4】(2020山东,6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天解题心得解决函数应用问题的步骤(1

6、)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义.【对点训练4】(2020全国,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 193)()A.60

7、B.63C.66D.69核心素养微专题(一)例析“逻辑推理”在函数零点问题上的应用【例1】已知函数f(x)=|x+3|,x0,x3-12x+3,x0,设g(x)=kx+1,且函数(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限,则实数k的取值范围为.核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:函数(x)=f(x)-g(x)的图象经过四个象限等价于(x)在x0和x0时,过定点(0,1)的直线g(x)要在y轴左侧有交点,则k13当k=13,且x0时,f(x)g(x)恒成立,(x)不过第三象限,即此时k0,13;当k-9(当k=-9时,直线g(x)与曲线f(x)相切,同样k=-9不符合题意),即k(-9,0

8、);k=0也符合题意.综上可知,k-9,13.【例2】已知函数f(x)=x3-3x+2a,xa,x3+3x-4a,xa,若存在x00,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是.核心素养分析解题的“逻辑推理”过程如下:函数f(x)=x3-3x+2a,xa,x3+3x-4a,x0,所以不符合题意,当a0时,若xa,则有x3=3x-2a,若xa,则有x3=-3x+4a,由图可知只需讨论射线y=3x-2a,xa与y=x3相切的临界情形即可.设切点为(m,n)(m0),由y=x3,得y=3x2,所以有3m2=3,得m=-1,所以n=(-1)3=-1,将切点坐标(-1,-1)代入直线方程y=3x-2a,得

9、a=-1.从而a的取值范围是-1,0).【跟踪训练】(2019浙江,9)设a,bR,函数f(x)=x,x0,13x3-12(a+1)x2+ax,x0.若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点,则()A.a-1,b0B.a0C.a-1,b-1,b02.2热点小专题一、函数的零点及函数的应用关键能力学案突破【例1】(1)B(2)C解析(1)由图象知12b21,得1b2,f(x)=2x-b,所以g(x)=ex+f(x)=ex+2x-b,则g(-1)=1e-2-b0,g(0)=1-b0,所以g(0)g(1)0.故选B.(2)因f(x)在(0,+)上单调,且f(f(x)-log2x)=3,设t=f(x)

10、-log2x,则f(x)=log2x+t,又由f(t)=3,f(t)=log2t+t=3,观察易知t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5,因为g(3)0,所以零点所在的区间为(3,4).对点训练1D解析令f(x)-lnx=k,则f(x)=lnx+k.由ff(x)-lnx=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=lnk+k=e+1,可知k=e.故f(x)=lnx+e,所以f(x)=1x,x0.所以f(x)-f(x)=lnx-1x+e.令g(x)=lnx-1x+e-e=lnx-1x,x(0,+).因为g(x)=lnx-1x在(0,+)内的图象是连续的,且g(1)=-

11、10,所以存在x0(1,e),使g(x0)=0.故选D.【例2】B解析函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,即2x|log0.5x|=1,整理得|log0.5x|=12x.令g(x)=|log0.5x|,h(x)=12x,画出g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.故选B.对点训练27解析由y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,得y=f(x)为奇函数,易知f(0)=0.可令x=-3,则f(-3+6)=f(-3),即f(3)=f(-3)=-f(3),可得f(-3)=f(3)=0,当n=1,

12、2时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0;当n=3,4,5时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0;当n=6,7,8时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0;当n=9,10,11时,f(x)在-n,n上,有f(0)=0,f(3)=f(-3)=0,f(6)=f(-6)=0,f(9)=f(-9)=0,即a11=7.【例3】-40,14解析当x1,e时,f(x)=lnx,f(x)为增函数,所以,f(x)min=f(1)=ln1=0,当x-1,1)时,f(x)=2x3-3x2+1,令f(x)=6x2-6x=0,解得x1=1

13、(舍)或x2=0,且有f(x)在(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,因为f(-1)=-2-3+1=-4f(1),故函数f(x)在-1,e上的最小值为-4;令t=f(x),由g(x)=0,得t2-t=-a,作出函数y=f(x)的图象,如图所示:直线y=t与函数y=f(x)的图象最多只有三个交点,所以0t1,即说明方程t2-t=-a有两个(0,1)内的不等实根,亦即函数y=t2-t在(0,1)内的图象与直线y=-a有两个交点,因为y=t2-t=t-122-14,根据y=t2-t的图象可知,-14-a0,即实数a的取值范围为0a14.对点训练3B解析要使得方程g(x)=f(x)+x+a有

14、两个零点,等价于方程f(x)=-x-a有两个实根,即函数y=f(x)的图象与直线y=-x-a的图象有两个交点,从函数图象可知,必须使得直线y=-x-a位于直线y=-x+1的下方,所以-a1,即a-1.故选B.【例4】B解析由R0=3.28,T=6,R0=1+rT得3.28=1+6r,r=2.286=0.38,e0.38t=2,即0.38t=ln2,0.38t0.69,t0.690.381.8(天),故选B.对点训练4C解析由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19-3,所以t*66.核心素养微专题(一)【例1】-9,13【例2】-1,0)跟踪训练C解析当x0时,由x=ax+b,得x=b1-a,最多一个零点取决于x=b1-a与0的大小,所以关键研究当x0时,方程13x3-12(a+1)x2+ax=ax+b的解的个数,令b=13x3-12(a+1)x2=13x2x-32(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示,可以发现分类讨论的依据是32(a+1)与0的大小关系.若32(a+1)0,即a0,即a-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=32(a+1)为奇重零点穿过,当b0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=b1-a0,故-1a1,b0,选C.