2022-2023学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2 不等式 2.2.4 均值不等式及其应用 第1课时 基本不等式学案 新人教B版必修第一册.docx

1、第1课时基本不等式课堂探究素养提升强化创新性题型1对基本不等式的理解经典例题例1(1)不等式a12a(a0)中等号成立的条件是()Aa0Ba12Ca1Da2状元随笔举反例、基本不等式逐个判断明确基本不等式成立的条件逐个判断(2)给出下列命题：若xR，则x1x2；若a0，b0，则ab1ab2；不等式yx+xy2成立的条件是x0且y0.其中正确命题的序号是_状元随笔基本不等式的两个关注点(1)正数：指式子中的a，b均为正数，(2)相等：即“”成立的条件跟踪训练1设0ab，则下列不等式中正确的是()Aababa+b2Baaba+b2bCaabba+b2Dabaa+b2b状元随笔利用基本不等式时先要确

2、定成立的条件，有的要适当变形处理题型2利用基本不等式求最值例2(1)若x0，则y12x13x的最小值为()A2B22C4D8(2)已知t0，求yt24t+1t的最小值方法归纳1利用基本不等式求最值的策略2通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解提醒：利用基本不等式求函数最值，千万不要忽视等号成立的条件跟踪训练2已知x0，y0，且xy8，则 (1x)(1y)的最大值为()A16B25C9D36状元随笔展开(1 x)(1 y)将x y 8代入用基本不等式求最值题型3利用

3、均值不等式借助拼凑法求最值例3(1)已知x2，求x1x2的最小值；(3)已知0x1时，求x2+8x1的最小值方法归纳1负数在均值不等式中的应用当所给式子均小于0时，也可以利用均值不等式求最值，但是要注意不等号方向的变化2通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用均值不等式的前提跟踪训练3(1)当x1时，试求y3(x1)12x1的最大值；(2)设0x1，则求y2x24x+4x1的最小值易错点利用基本不等式求最值例若正数x，y满足x3y5xy，则3

4、x4y的最小值是()A245B285C5D6【错解】由x3y5xy5xy23xy，因为x0，y0，所以25x2y212xy，即xy1225.所以3x4y212xy2121225245，当且仅当3x4y时取等号，故3x4y的最小值是245.状元随笔错误的根本原因是忽视了两次使用基本不等式，等号成立的条件必须一致【正解】由x3y5xy可得15y+35x1，所以3x4y(3x4y)15y+35x95+45+3x5y+12y5x13523x5y12y5x135+1255，当且仅当x1，y12时取等号，故3x4y的最小值是5.【答案】C第1课时基本不等式课堂探究素养提升例1【解析】(1)因为a0，根据均

5、值不等式aba+b2，当且仅当ab时等号成立，故a12a中等号成立当且仅当a1.(2)只有当x0时，才能由基本不等式得到x1x2 x1x2，故错误；当a0，b0，由基本不等式可得ab1ab2 ab1ab2，故正确；由基本不等式可知，当yx0，xy0时，有yx+xy2 yxxy2成立，这时只需x与y同号即可，故错误【答案】(1)C(2)跟踪训练1解析：0aba2abb2aabb，0ab2aab2baa+b2b，又aba+b2，所以aaba+b20)的最小值是2.【答案】(1)C(2)见解析跟踪训练2解析：因为x0，y0，且xy8，所以(1x)(1y)1xyxy9xy9x+y2294225，因此当

6、且仅当xy4时，(1x)(1y)取最大值25.答案：B例3【解析】(1)因为x0.则3x12x12x(3x)2 12x3x12，当且仅当12x3x，即x2时，3x12x取得最大值为12. (2)因为x2，所以x20，所以x1x2x21x222 x21x224，所以当且仅当x21x2(x2)，即x3时，x1x2的最小值为4.【解析】(3)因为0x0，所以x(82x)122x(82x)122x+82x228，所以当且仅当2x82x0x0，所以t2 x19x128，当且仅当x19x1，即x4时，t的最小值为8.【答案】(1)12(2)见解析(3)见解析(4)见解析跟踪训练3解析：(1)因为x1，所以x10，所以3(x1)12x13(x1)12x12 3x112x112，当且仅当3(x1)12x1，即x1时，3(x1)12x1取得最大值12. (2)由题得x(12x)122x(12x)122x+12x2218.当且仅当2x12x，即x14时取到等号所以x(12x)的最大值为18.解析：(3)2x24x+4x12x12+2x12(x1)2x1.因为x1，所以2(x1)2x122x12x14(当且仅当x2时取等号)，因此2x24x+4x1的最小值是4.